Войти в мой кабинет
Регистрация
ГОТОВЫЕ РАБОТЫ / КУРСОВАЯ РАБОТА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Понятие и свойства треугольника паскаля.

irina_krutaya 420 руб. КУПИТЬ ЭТУ РАБОТУ
Страниц: 35 Заказ написания работы может стоить дешевле
Оригинальность: неизвестно После покупки вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100% с помощью сервиса
Размещено: 12.08.2019
Объектом исследования является практические аспекты применения треугольника Паскаля.Предмет исследования ? треугольник Паскаля.Цель исследования заключается в анализе, обобщении и актуализации материала по теме «треугольник Паскаля». В ходе исследования были поставлены следующие задачи: ? рассмотреть понятие и свойства треугольника Паскаля; ? представить исторические сведения о Блезе Паскале и его треугольнике; ? исследовать алгоритм построения треугольника Паскаля; ? изученить свойства треугольника Паскаля; ? рассмотреть практические приложения треугольника Паскаля; ? рассмотреть алгоритм расчета биномиальных коэффициентов и некоторые комбинаторные тождества с ними связанные; ? проанализировать решение комбинаторных задач с помощью треугольника Паскаля. Теоретико-методологическую основу исследования составили труды Гарднера М., Мандельброта Б., Секованова В.С., Шредера М. и др.?
Введение

Треугольник Паскаля является, пожалуй, одной из наиболее известных и изящных числовых схем во всей математике. Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный «Трактат об арифметическом треугольнике». Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года ? даты выхода в свет трактата. Треугольник Паскаля ? бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел. Курсовая работа посвящена рассмотрению треугольника Паскаля и его свойства. В работе рассмотрены свойства диагоналей треугольника Паскаля и практическое применение треугольника Паскаля. Актуальность данной работы не вызывает сомнения, поскольку обусловлена, с одной стороны большим интересом к теме «Треугольник Паскаля» в современной науке, с одной стороны и её недостаточной разработанностью.
Содержание

ВВЕДЕНИЕ 1. ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА ПАСКАЛЯ 1.1. Исторические сведения о Блезе Паскале и его треугольнике 1.2. Построение треугольника Паскаля 1.3. Свойства треугольника Паскаля. 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА ПАСКАЛЯ 2.1. Приложения треугольника Паскаля 2.2. Биномиальные коэффициенты и некоторые комбинаторные тождества с ними связанные 2.3. Решение комбинаторных задач с помощью треугольника Паскаля ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Список литературы

Отрывок из работы

1. ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА ПАСКАЛЯ 1.1. Исторические сведения о Блезе Паскале и его треугольнике Блез Паскаль (1623 ? 1662) французский математик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики. Блез Паскаль родился 19 июня 1623 г. в г. Клермон-Ферран. Его отец славился своим интересом к наукам, в том числе и математике, что и сыграло важную роль в жизни мальчика. Природа наделила Паскаля необычайными способностями, но обделила здоровьем. Заметив сильный интерес сына к геометрии, отец запретил ему заниматься ей, так как мальчик не раз бывал на грани жизни и смерти. Однако, после того, как он сам доказал, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, отец сдался и не стал ему ничего запрещать. Открытия Паскаля до сегодняшнего дня служат в сфере гидравлики и вычислительной техники Арифмометр Паскаля был создан по принципу античного таксометра – устройства, которое предназначалось для расчета расстояния, только немного видоизмененного Вместо 2 колес использовалось уже 6, что позволило выполнять расчеты шестизначными числами.. В данной вычислительной машине колеса могли вращаться только в одном направлении. Производить суммирующие операции на такой машине было легко. Например, нам необходимо высчитать сумму 10+15=? Для этого необходимо вращать колесо пока не выставится значение первого слагаемого 10, потом крутим это же колесо до значения 15. При этом указатель сразу же показывает 25. То есть подсчет происходит в полуавтоматическом режиме. Вычитание на такой машине невозможно произвести, так как колеса не вращаются в обратном направлении. Делить и умножать арифмометр Паскаля не умел. Но даже в таком виде и с такими функциональными возможностями эта машина была полезной и ей с радостью пользовался Паскаль-старший. Машина производила быстрые и безошибочные математические действия по суммированию. Паскаль-старший даже вложил деньги в производство паскалин. Но это принесло только разочарование, так как большинство бухгалтеров и счетоводов не хотели принимать такое полезное изобретение. Они считали, что при введении таких машин в действие им придётся искать другую работу. В 18 столетии арифмометры Паскаля широко использовались моряками, артиллеристами и ученными для арифметических сложений. Это изобретение саботировалось со стороны финансистов более 200 лет. В свое время Паскаль видоизменил опыт Эванджелиста Торричелли и сделал вывод, что над жидкостью в трубке должна образоваться пустота. Он купил дорогостоящие стеклянные трубки и проводил опыты без использования ртути. Вместо неё он применил воду и вино. В ходе экспериментов выяснилось, что вино имеет свойство подыматься выше, чем вода. Декорт в свое время доказывал, что над жидкостью должны располагаться ее пары. Если вино испаряется быстрее воды, то накопившиеся пары вина должны препятствовать поднятию жидкости в трубке. Но на практике предположения Декарта были опровергнуты. Паскаль предположил, что атмосферное давление воздействует одинаково на тяжелые и легкие жидкости. Данное давление способно затолкнуть в трубку больше вина, так как оно легче. Паскаль, который долгое время экспериментировал с водой и вином, установил, что высота подъема жидкостей меняется в зависимости от погодных условий. В 1647 году было сделано открытие, которое свидетельствуют о том, что атмосферное давление и показания барометра зависят от погоды. Чтобы окончательно доказать то, что высота подъёма столбика жидкости в трубке Торричелли зависит от изменения атмосферного давления, Паскаль просит своего родственника подняться с трубкой на гору Пюи-де-Дом. Высота этой горы составляет 1465 метров над уровнем моря и имеет на вершине меньшее давление, чем у ее подножья. Так Паскаль сформулировал свой закон: на одном расстоянии от центра Земли – на горе, равнине или водоеме атмосферное давление имеет одинаковое значение. С 1650 года Паскаль с трудом передвигается, так как был поражен частичным параличом. Врачи считали, что его болезнь связана с нервами и ему необходимо встряхнуться. Паскаль стал посещать игорные дома и одно из заведений имело название «Папе-Рояль», которым владел герцог Орлеанский. В этом казино судьба свела Паскаля с шевалье де Мере, который обладал необычными математическими способностями. Он поведал Паскалю, что при бросании кости в подряд 4 раза, выпадение 6 составляет более 50%. Мере делая небольшие ставки в игре выигрывал, используя свою систему. Такая система работала, только при бросании одной кости. При переходе на другой стол, где производился бросок пары костей, система Мере не приносила прибыль, а наоборот только убытки. Такой подход натолкнул Паскаля на мысль, в которой он захотел рассчитать вероятность с математической точностью. Это был настоящий вызов судьбе. Паскаль решил решить данную задачу при помощи математического треугольника, который был известен даже в древности (например, Омар Хайям упоминал о нем), который потом получил название – треугольник Паскаля. Эта пирамида, состоящая из чисел, каждое из которых равно суме пары чисел расположенных над ним. Рисунок 1. Треугольник Паскаля Такой треугольник позволяет точно рассчитать вероятность выпадения в игре «орел-решка». Если мы подбрасываем монетку один раз, то результат вероятности мы видим во второй горизонтальной строке – одно выпадение «решка» и одно «Орел» (50/50). Также можно рассматривать варианты 2, 3, 4 бросков и т.д. Данное изобретение было революционным. Оказывается удачу можно предсказать. По теории Паскаля неудачи можно не опасаться, если теория ее вероятности существенно мала. Такую вероятность можно легко рассчитать по статистическим данным. Открытие Паскаля используют экономисты различных стран мира. Его теорию применяют в страховых компаниях и торговых биржах. А известно ли вам, что Паскаль подал идею создания современной рулетки для казино. Он предложил сначала рассчитывать вероятность выигрыша игры в лото из 36 билетов. Треугольник Паскаля ? арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятности и обладает занимательными свойствами Мартин Гарднер пишет в книге «Математические новеллы»: «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике». Рисунок 2. Вариант построения треугольника, предложенный Гуго Штейнгаузом Предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смаликом, а тремя, соответственно, розовым. Это один из вариантов построения треугольника, предложенный Гуго Штейнгаузом в его классическом «Математическом калейдоскопе». Рисунок 3. Треугольник Яна Хуэя Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год. Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием mеru-рrаstааrа встречается в комментарии индийского математика Х века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. Рисунок 4. Mеru-рrаstааrа, комментарии индийского математика Халаюдхи В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике» . Треугольник Паскаля ? бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел, а строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел, именно поэтому он так ценен для многих ученых. Однако, хоть треугольник и назван именем Паскаля, изначально идея принадлежала китайским ученым. Способ образования треугольника Паскаля можно было бы, конечно, задать и не прибегая к понятиям «закон Паскаля» или «строка Паскаля»: треугольник Паскаля ? это просто бесконечная числовая Таблица «треугольной формы», в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел. В такой форме треугольник Паскаля появился в сочинении Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», изданном в 1665 г. уже после смерти автора. Более точно, в указанном сочинении была опубликована следующая таблица1), в которой каждое число А равно сумме предшествующего числа в том же, что и А, горизонтальном ряду, и предшествующего числа в том же, что и А, вертикальном ряду. Рисунок 5. Треугольник Паскаля из «Трактата об арифметическом треугольнике» Таким образом, наш равнобедренный треугольник Паскаля отличается от «треугольника», рассматривавшегося самим Паскалем, поворотом на 45°. Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего «треугольника»; некоторые из применений будут рассмотрены в сле дующих параграфах. Сейчас мы приведем для примера лишь три свойства «треугольника», найденные самим Паскалем; при этом мы (только в этом месте нашего изложения!) будем исходить из того расположения «треугольника» на плоскости, которое было указано Паскалем. Однако еще за столетие до выхода в свет трактата Паскаля его таблица ? только не в «треугольной», а в «прямоугольной» форме ? была опубликована в «Общем трактате о числе и мере» (1556? 1560), вышедшем частично также только после смерти его автора, которым был выдающийся итальянский математик Никколо Тарталья. Таблица Тартальи имела следующий вид): Рисунок 6. Таблица Тартальи Здесь верхняя строка состоит из единиц; в каждой из остальных строк самое левое число есть единица, а каждое следующее число образуется посредством сложения двух чисел, стоящих непосредственно перед ним и над ним. Таблицу, предложенную Тартальей, естественно было бы называть прямоугольником Тартальи. За два с половиной века до Тартальи другой выдающийся итальянский математик ? Леонардо из Пизы, более известный сейчас под именем Фибоначчи, ? написал свою знаменитую «Книгу об абаке* 2)». Одна из задач этой книги ? задача о размножении кроликов ? приводила к последовательности чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…. в которой каждый член, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих членов. Эта последовательность носит название ряда Фибоначчи; члены ряда Фибоначчи называются числами Фибоначчи. Между рядом Фибоначчи и треугольником Паскаля существует любопытная связь. Образуем для каждой восходящей диагонали прямоугольного треугольника Па скаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел. По лучим для первой диагонали 1, для второй 1, для третьей 2, для четвертой 3, для пятой 5. Мы получили не что иное, как пять начальных чисел Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел п-й диагонали есть п-е число Фибоначчи. Действительно, для п = 1 и п = 2 совпадение усматривается непосредственно, для дальнейших значений п совпадение обеспечивается тем, что суммы, вычисленные для любых двух последовательных диагоналей, будучи сложены друг с другом, дают сумму, вычисленную для диагонали, непосредственно следующей за этими двумя. Нетрудно показать, что сумма п первых чисел ряда Фибоначчи равна 2 ? 1. Поэтому сумма всех членов треугольника Паскаля, лежащих как на самой п-й диагонали, так и выше этой диагонали, равна 2? 1. Ряды чисел, заполняющих отдельные вертикали прямоугольного треугольника Паскаля, волновали умы математиков в еще более ранние времена. 1.2. Построение треугольника Паскаля Треугольник Паскаля - это просто бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину. Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но, сколько в этом таится чудес. На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей. Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника, получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 - совершенные числа, 36 - квадратное число, 8 и 21 - числа Фибоначчи. Рисунок 7. Построение треугольника Паскаля Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее. А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,...) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... В нашем мире и нашем измерении это невозможно, возможно только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов. А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты. Даже беглого взгляда, брошенного на треугольник Паскаля, достаточно, чтобы отметить следующие любопытные факты: 10 ядер можно сложить и в виде тетраэдра и в виде плоского треугольника. А 56 гиперядер, образующих тетраэдр в пятимерном пространстве, можно уложить в обычный привычный трехмерный тетраэдр, однако, если бы мы попытались выложить из 56 ядер треугольник, то одно ядро осталось бы лишним. А вот еще два интересных свойства треугольника Паскаля. Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще - ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но, кстати, 120 - тетраэдральное число. Следовательно, взяв все шары, из которых сложены 8 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр. Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную последовательность Фибоначчи. Числа Фибоначчи часто встречаются в комбинаторных задачах. Рассмотрим ряд из n стульев. Сколькими способами можно рассадить на них мужчин и женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? При n=1, 2, 3, 4, ... число способов соответственно равно 2, 3, 5, 8, ..., то есть совпадает с числами Фибоначчи. Паскаль, по-видимому, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в ХIХ веке. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (х+у)n по степеням х и у. Например, (х+у)2=х2+2ху+у2 и (х+у)3=х3+3х2у+3ху2+у3. Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 - в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (х+у)n, достаточно взглянуть на n-ую строку треугольника. Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений. В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего r различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и r-ой строки. Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой где n! ? факториал числа n. А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле причем, они же и являются, как мы выяснили, строками треугольника Паскаля, связывая непостижимым образом этот треугольник с комбинаторикой и разложением двучлена по степеням . Рассмотрим строку, состоящую из одного числа ? единицы. Назовем эту строку нулевой строкой Паскаля. Образуем из нее по закону Паскаля новую строку, которую назовем первой строкой Паскаля. Из первой строки Паскаля по закону Паскаля образуем вторую строку Паскаля и т. д. Поскольку при переходе к каждой следующей строке число членов этой строки возрастает на единицу, то в n-й строке Паскаля будет п + 1 число. Вследствие симметрии строк Паскаля, треугольник Паскаля симметричен относительно своей биссектрисы. 1.3. Свойства треугольника Паскаля. Свойство 1. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно. Рисунок 8. Свойство 1. Свойство 2. Первая диагональ треугольника Паскаля – это натуральные числа, идущие по порядку. Рисунок 9. Свойство 2. Свойство 3. Вдоль второй диагонали треугольника выстроены треугольные числа (Треугольное число ? это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число ? это сумма n первых натуральных чисел) и их обобщения на случай пространств всех размерностей. Рисунок 10. Свойство 3. Свойство 4. Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра)
Не смогли найти подходящую работу?
Вы можете заказать учебную работу от 100 рублей у наших авторов.
Оформите заказ и авторы начнут откликаться уже через 5 мин!
Похожие работы
Служба поддержки сервиса
+7(499)346-70-08
Принимаем к оплате
Способы оплаты
© «Препод24»

Все права защищены

Разработка движка сайта

/slider/1.jpg /slider/2.jpg /slider/3.jpg /slider/4.jpg /slider/5.jpg