§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Теория дифференциальных уравнений (ДУ) возникла в 17 веке под влиянием потребностей механики и физики почти одновременно с дифференциальным и интегральным исчислением. Простейшие ДУ встречались уже в работах Ньютона и Лейбница. Термин «ДУ» принадлежит Лейбницу. Разработка Ньютоном методов решения задач небесной механики сводились к двум проблемам: 1) определение скорости движения в данный момент времени по данному пути; 2) определение пройденного пути за определенный момент времени при известной скорости. Главными понятиями Ньютона считались производная пути по времени и интеграл и общая задача состояла в вычислении производных и интегрирование дифференциальных уравнений.
Определение. Соотношение вида
, (1)
содержащее независимую переменную , неизвестную функцию и ее производные, называется дифференциальным уравнением.
Определение. Наивысший порядок производной от искомой функции, входящий в уравнение, называется порядком этого уравнения.
Определение. Функция , определенная вместе с соответствующими производными в некоторой области , называется решением уравнения (1) в этой области, если имеет место тождество
.
Определение. называется общим решением уравнения (1), если здесь содержатся все решения (1). Каждое отдельно взятое решение называется частным решением уравнения (1).
Общее решение данного уравнения включает произвольную постоянную и является записью всего многообразия решений. Придавая произвольной постоянной конкретные численные значения, мы получим конкретные, частные решения. Общее решение ДУ (1) содержит произвольных постоянных .
Определение. Функция называется общим интегралом уравнения (1), если это соотношение содержит все решения (1).
Если функции, входящие в ДУ, зависят от одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).
ДУ 1-го порядка в общем виде записывается так:
- неявный вид.
Иногда это уравнение удается разрешить относительно производной и привести к виду
- (3)
явный вид.
Определение. Пусть функция определена в области , однозначна и непрерывна по совокупности переменных. Область называется областью определения уравнения (3).
Основной задачей дифференциальных уравнений является задача Коши:
а)
Требуется найти решение уравнения 1-го порядка, удовлетворяющее начальному условию .
б)
Требуется найти решение уравнения -го порядка, удовлетворяющее начальным условиям.
§2. Голоморфное решение задачи Коши
Определение. Функция называется голоморфной в точке , если она разложима в некоторой окрестности этой точки в степенной ряд по степеням :
, . (1)
На голоморфную функцию и на ее разложение в степенной ряд в указанной окрестности накладываются следующие условия:
1) определена, т.е. имеет конечное значение;
2) ряд сходится;
3) сумма ряда совпадает с .
Приведем примеры голоморфных функций.
Пример 1.
Функция является аналитической в точке , т.к. ее можно разложить в степенной ряд и это ряд сходится справа на .
Частным случаем голоморфных функций являются целые функции, для которых разложение в ряд (1) имеет место в окрестности любой точки , а ряд сходится при всех значениях .
Пример 2.
Многочлены от - целые функции в точке , т.к. аргумент можно разложить в степенной ряд и это ряд сходится справа при всех .
Пример 3.
Функция является голоморфной в точке , т.к. ее можно разложить в ряд, т.е.
и этот ряд сходится справа в области , .
Аналогично можно дать определение аналитической функции переменных.
Определение. Функция называется голоморфной в точке , если выполняется равенство
,
причем ряд сходится справа , …, .
Из курса математического анализа нам известно, что в разложении функции одной переменной коэффициенты выражаются через значения функции и ее производных в точке по формулам:
и .
Тогда разложение (1) в ряд можно написать так:
,
где полученный ряд называется рядом Тейлора.
Таким образом, если функцию в окрестности точки можно разложить в ряд Тейлора, то она голоморфна в этой точке.
Следовательно, полученную функцию , голоморфную в точке можно асимптотически представить при в виде :
.
Если , то получим асимптотическое представление
Тогда мы можем функцию в точке линеаризовать:
Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка:
(4)
Эта задача имеет решение
(5)
аналитическое в точке , если функция (5) голоморфна в точке , т.е. если
или
Тогда линеаризация решения задачи Коши (4) в точке имеет вид:
Если рассмотреть это с геометрической точки зрения, то график функции в малой окрестности точки можно заменить отрезком касательной к нему в точке с абсциссой и угловым коэффициентом . Т.е. мы получим линейную функцию.
Пример 4.
Решить дифференциальное уравнение и подчинить его начальному условию , т.е. найти голоморфное решение этой задачи Коши:
(6)
Решение. Дважды проинтегрируем заданное уравнение:
.
Подчиним общее решение начальному условию и найдем . Следовательно, искомое решение имеет вид
Это решение представимо в окрестности начального значения , т.е. в окрестности нуля, известным степенным рядом:
,
Линеаризацией в точке 0 будет функция .
Чтобы найти голоморфное решение данной задачи Коши можно использовать метод последовательного дифференцирования данного дифференциального уравнения. Тогда решение будем искать в виде ряда Тейлора. А еще можно голоморфное решение искать методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим первый метод.
Представим искомое решение в виде ряда Тейлора по степеням
. (7)
Подчиним его начальному условию . Коэффициент при найдем из дифференциального уравнения при условии, что . При заданном начальном условии получим
.
Продифференцируем заданное уравнение и получим
. (8)
Подставим в это выражение и при и получим
.
Продифференцируем уравнение (8), не забывая , что , и получим:
.
При имеем .
И т.д. Подставим начальное условие и полученные значения производных в точке в (7) и получим разложение
, .
Рассмотрим второй метод – метод неопределенных коэффициентов. При этом методе голоморфное решение задачи Коши (6) ищется в виде
. (9)
Здесь являются неопределенными коэффициентами и ряд (9) считается сходящимся. Применим теорему о тождестве степенных рядов. Коэффициенты можно определить так: 1) подставим (9) в дифференциальное уравнение задачи (6);
2) уравняем коэффициенты при одинаковых степенях.
Сначала найдем
.
Теперь подставим и (9) в дифференциальное уравнение задачи Коши (6) и имеем
.
Раскроем скобки и приведем подобные. Получим
Уравняем коэффициенты при одинаковых степенях
Решая эту систему уравнений, найдем, что все . Подставим эти коэффициенты в ряд (9) и получим решение задачи Коши (6) в виде
, .
Решим задачу Коши для дифференциальных уравнений высших порядков
(10)
Задача (10) имеет решение
(11)
голоморфное в точке , если функция (11) голоморфна в точке , т.е. представить как:
, ,
т.е.
.
В случае уравнения го порядка также можно использовать метод последовательного дифференцирования данного дифференциального уравнения или методом неопределенных коэффициентов и найти коэффициенты .
Теперь рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений
