1 Теоретические аспекты применения математических аналогий при изучении курса физики в средней школе
1.1 Метод аналогий
Аналогия – рассуждение, результатом которого является выявление соответствия или сходства между предметами, процессами и понятиями, используется человечеством со времен Античности и является неотъемлемой частью научных заключений на протяжении всей истории физики. Нам известно немало примеров удачного использования аналогии, зачастую, лежащего в основе открытия новых закономерностей в физических процессах, сыгравшего немаловажную роль в изучении явлений и структуры мира природы. Так, аналогия со сливовым пудингом Томсона или аналогия «солнечной системы» Резерфорда, применявшиеся для описания их представлений атома сыграли важную роль в понимании и изучении атомов. Аналогия между статикой и динамикой материальной точки при условии учёта силы инерции в динамике как обычной силы, рассматриваемая Даламбером, вылившаяся в принцип Даламбера, стала одним из бесспорно неоценимых моментов в истории становления механики. Такие ученые, как Оппенгеймер, Максвелл, Бойль, Гюйгенс и Кекуле внесли свой вклад в развитие науки, используя мышление по аналогии в своих открытиях. Однако обучение по аналогии может рассматриваться не только в научном контексте. Проявление медицинского сюжета как абстрактного используется в экономике для прогнозирования возможных вариантов развития ситуации, аналогичной медицинской. Преподаватели истории прибегают к аналогии для объяснения политических процессов, происходивших в истории малоизученных племен, основываясь на известных данных о других народах [4].
Рассуждение по аналогии является процессом представления информации об объектах в виде систем отношений, которые можно сравнивать, противопоставлять и комбинировать по-новому в зависимости от контекста цели. Аналогическое рассуждение требует своего рода исследования, использующего уже имеющиеся знания и опыт для попытки решить возникшую проблему, критически оценить имеющееся решение, а также объяснить или интерпретировать ситуацию. Это одна из ключевых особенностей процесса обучения, так как каждый процесс обучения включает в себя сравнение уже известного и нового, знакомого и незнакомого, а также поиск сходства между ними. Качественное обучение происходит, когда учащиеся не только способны запоминать знания, но и переносить его в новые ситуации.
Физика сыграла решающую роль в понимании фундаментальных законов природы: её концепции и методы лежат в основе прогресса всех других отраслей науки и технологий, а также в становлении человечества таким, каким оно представляется сейчас. Физика, по сути, наука об абстракциях, которые нелегко понять, если они не связаны с повседневным жизненным опытом. Рассуждение по аналогии – один из величайших источников развития физических теорий, кроме того, это важный инструмент в физическом образовании, как на уровне среднего школьного образования, так и высшего. Учителя физики, так же как и ученые, часто используют аналогии для объяснения понятий учащимся. Эти понятия часто представляют собой сложные, трудно визуализируемые системы с взаимодействующими частями: атомы, электрический ток, электромагнитные волны. При этом преподавателями используются различного рода аналогии – от ненаучных, жизненных сравнений, позволяющих учащимся лучше понять суть процесса, до указания на совпадающие математические выкладки. Рассмотрим виды использующихся аналогий подробнее.
По характеру уподобляемых объектов различают два вида аналогии: аналогию свойств и аналогию отношений.
Аналогия свойств – умозаключение, в котором объектом уподобления выступают два сходных единичных предмета, а переносимым признаком – свойства этих предметов.
Аналогия свойств основывается на наличии у двух предметов нескольких сходных свойств, что приводит к выводу, что некоторые другие свойства также могут быть сходны. Такое заключение имеет пол собой логическую основу – сходство уподобляемых предметов в целом, либо их сходство в определенной группе существенных признаков, характеризующих предмет со стороны отдельных его качеств и свойств.
Обладание света следующими свойствами звука: отражение, преломление, прямолинейное распространение в однородной среде и т.д., а также тот факт, что звук имеет свойство волнового процесса, позволили сделать заключение, что свет – волновой процесс. Эту аналогию, использовавшуюся ещё Гюйгенсом и Ломоносовым, смело можно назвать наиболее ярким примером аналогии свойств [15].
Аналогия отношений – умозаключение, в котором объектом уподобления выступают сходные отношения между двумя парами предметов, а переносимым признаком – свойства этих отношений.
Отличие этого вида от аналогии свойств заключается в том, что для сравниваемых предметов необязательно наличие сходных свойств, но у них имеются сходные отношения с другими предметами. Примером такой аналогии является планетарная модель атома Резерфорда. В её основе лежит сравнение отношения между ядром атома и электронами, вращающимися вокруг него, с отношением между Солнцем и планетами. Здесь взаимодействие противоположно направленных сил – сил притяжения и отталкивания – между планетами и Солнцем, сопоставляется с взаимодействием противоположно направленных сил – сил притяжения и отталкивания между ядром атома и электронами. Однако в данной аналогии планеты не сравниваются с электронами, а Солнце – ядром атома.
Природа предметов, отношения которых рассматриваются, не влияют на аналогию отношений, однако они уподобляются друг другу. Благодаря этому существенно повышается образность нашего мышления, но в то же время снижается вероятность истинности сделанных по такой аналогии выводов.
По характеру выводного знания (по степени достоверности заключения) аналогия может быть строгой, нестрогой, ложной.
Наиболее распространена в науке строгая (или сильная) аналогия, характеризующаяся зависимостью переносимого признака от других сходных признаков. Строгая аналогия дает достоверный вывод.
Строгая аналогия бывает двух видов.
Аналогия первого вида лежит в основе метода моделирования, т.е. изучение объектов с помощью моделей и использует в качестве научной методологии теорию, объясняющая связь сходных признаков и переносимого. Известно, что единство природы обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разнообразным областям явлений. В физике такие аналогичные явления не редкость. Аналогичными уравнениями описываются корпускулярно-волновые свойства света и аналогичные свойства электронов, колебательные процессы различной природы – математическая идентичность дифференциальных уравнений, их описывающих, лежит в основе электромеханической аналогии.
При аналогии второго вида в качестве общей методологии применяются следующие условия: 1) общие признаки должны быть в точности одинаковыми у сравниваемых предметов; 2) связь общих признаков и переносимого не должна зависеть от специфики сравниваемых предметов.
Нестрогая (слабая) аналогия имеет широкую область применения. Она используется там, где переносимый признак непосредственно не связан со сходным, но может иметь место. Данная форма аналогии дает вероятное, а иногда ложное, ошибочное знание.
Пример нестрогой аналогии: испытание модели корабля в бассейне и заключение, что настоящий корабль будет обладать теми же параметрами, испытание прочности моста на модели, затем построение настоящего моста. Если все правила построения и испытание модели строго выполнены, то этот способ приближается к строгой аналогии.
Для повышения степени вероятности выводов по нестрогой аналогии следует выполнить ряд условий:
Число общих признаков должно быть возможно большим;
Необходимо учитывать степень существенности сходных признаков;
Общие признаки должны быть по возможности более разнородными;
Необходимо учитывать количество и существенность пунктов различия
Переносимый признак должен быть того же типа, что и сходные признаки.
В случае нарушения данных правил, вероятность правильных выводов по данной аналогии устремится к нулю. Такая аналогия может дать ложное заключение, т.е. стать ложной. Ложные аналогии иногда используются специально, чтобы запутать противника, т. е. являются софистическим приемом, или же делаются непреднамеренно, как результат незнания правил построения аналогий или отсутствия реальных знаний об объектах и их свойствах, на основе которых проводится аналогия. Примером может служить аналогия Марса с Землей в отношении возможной жизни на нем, которая не подтвердилась после полета космического корабля к этой планете, оказавшейся безжизненной.
Несмотря на свои преимущества и полезность, аналогии также могут вызывать нарушения правильности обучения в зависимости от отношения аналог/цель. Если учитель использует аналогию, незнакомую учащемуся, развитие понимания посредством использования этой конкретной аналогии ограничено. Существенным аспектом методики преподавания физики является эффективное использование аналогии [11].
Если аналогии уместны, они способствуют изучению концепций, потому что они побуждают студентов выстраивать связи между прошлыми знакомыми знаниями и опытом и новыми контекстами и проблемами.
На основе исследований, посвященных изучению применения метода аналогий в различных школах, в 1998 году профессор David Treagust и его коллеги разработали руководство Focus-Action-Reflection (FAR) [18]. Метод Фокус-Действие-Рефлексия включает три этапа и напоминает этапы планирования экспертного обучения и модель исследования в действии. Для начала преподаватель определяется с выбором аналогии, уместной для объяснения сложно визуализируемой или абстрактной концепции.
На этапе «Фокус» рассматриваются начальные условия использования данной аналогии: степень её сложности, какие идеи или предварительные знания имеются у учащихся на данный момент. «Действие» относится к непосредственному знакомству учеников с аналогией, когда учитель обращает пристальное внимание класса на выявление общих признаков у аналога и цели, а также оговаривает совместно с учащимися их особенности. Выясняется степень понятности аналогии, не сбивает ли она с толку?
Этап «Действие» обычно включает как минимум три шага: знакомство с аналогом, сопоставление общих признаков, а затем обсуждение с учениками, где аналогия ломается. Например, знание закона всемирного тяготения Ньютона помогает понять и запомнить закон Кулона о силе электрического взаимодействия. Оба являются законами обратных квадратов, и оба имеют константы. Однако, несмотря на то, что законы схожи, важно подчеркнуть различия между ними. В законе Ньютона гравитационная сила взаимодействия зависит от массы объекта; для сравнения, электрическая сила взаимодействия в законе Кулона зависит от электрического заряда частицы или объекта. Более того, хотя в обоих законах есть константы, в законе Ньютона она весьма мала, тогда как в законе Кулона это очень большое число. Еще одним отличием является то, что гравитационная сила только притягивает, в то время как электрическая сила притягивает, когда заряды разные, но отталкивает, когда они оба имеют один знак.
«Рефлексия» происходит после использования аналогии, когда учитель обсуждает ясность и полезность аналогии и делает выводы. Этот этап осуществляется многими компетентными учителями в различных педагогических процессах. Таким образом, рассмотренное руководство помогает учителям усилить преимущества и свести к минимуму ограничения использования аналогий, использующихся во время беседы в классе или в учебниках. Соответственно, можно предположить, что способность учителя реализовать данные этапы при рассмотрении аналогий на уроках физики способствует более глубокому и качественному обучению детей. Использование аналогии в процессе обучения играет большую роль в развитии интеллектуальной сферы школьников, целенаправленно формирует приемы умственной деятельности, развивает у учащихся мышление более высокого порядка, память, а также навыки, необходимые для развития ответственной гражданской позиции. Следовательно, большой интерес представляет изучение возможностей применения метода аналогий на уроках физики, а также подробное рассмотрение некоторых из них.
1.2 Электромеханическая аналогия
Одна из наиболее трудных тем для изучения в школьном курсе физики – электромагнитные колебания. Демонстрационные эксперименты не могут в должной мере обеспечить понимание учащимися электромагнитных процессов, поэтому для объяснения материала применяется электромеханическая аналогия, поскольку колебания и волны различной физической природы описываются одинаковыми понятиями и уравнениями.
Обоснование единого подхода к колебаниям и волнам различной физической природы состоит в том, что единые законы колебаний и волн, охватывающие как механические (в частности акустические), так и электромагнитные (в частности, световые) колебания и волны, являются отражением многочисленных общих черт, объективно присущих этим процессам. Именно отсюда проистекает и целесообразность единого «колебательного» подхода [2].
Вместе с тем, между единым учением о колебаниях и волнах и классификацией разделов физики по формам движения материи нет, конечно, никакого противоречия. Из существования качественно различных форм движения (механических, электромагнитных и т. п.) никак не вытекает, что у них не может быть весьма существенных, объективно им присущих общих черт. Именно такие черты и изучаются в физике колебаний и волн, что в свою очередь не исключает, а, наоборот, предполагает отчетливое понимание качественных различий между механическими и электромагнитными колебаниями и волнами [13].
Рассмотрим сходство процессов периодического изменения величин, обеспечивающее эффективность и целесообразность использования электромеханической аналогии свободных колебаний, опираясь на таблицу 1.
Таблица 1 – применение метода электромеханической аналогии.
Механика Электродинамика
Координата х Заряд q
Скорость v_x=x^' Сила тока i=q^'
Ускорение a_x=v_x^' Скорость изменения силы тока i'
Масса m Индуктивность L
Жесткость k Величина, обратная электроемкости 1/C
Сила F Напряжение U
Второй закон Ньютона F=?p/?t Закон Фарадея ?_i=|?Ф/?t|
Закон Гука F=k?l Ёмкость плоского конденсатора C=q/U
Период колебаний пружинного маятника T=2?v(m/k) Формула Томпсона T=2?vLC
Вязкость ? Сопротивление R
Сила сопротивления вязкой среды F=kv Закон Ома I=U/R
Потенциальная энергия деформирован-ной пружины (kx^2)/2 Энергия электрического поля конденсатора q^2/2C
Кинетическая энергия (mv^2)/2 Энергия магнитного поля катушки (Li^2)/2,
Импульс mv Поток магнитной индукции Li
Закон сохранения импульса
(p_1 ) ?+(p_2 ) ?+?+(p_n ) ?=const Закон сохранения магнитного потока Ф=Ф_е+Ф_i=const
Аналогия в условиях, при которых порождаются механические и электромагнитные колебания объясняет имеющийся одинаковый характер изменения механических и электрических величин – периодическое изменение координаты тела x и проекции его скорости, происходящее при механических колебаниях, аналогичное изменению заряда конденсатора q и сила тока в цепи i при электромагнитных колебаниях. Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывает сила упругости F, пропорциональная смещению тела от положения равновесия, при этом коэффициентом пропорциональности является жесткость пружины k. Разрядка конденсатора (появление тока) обусловлена напряжением U между пластинами конденсатора, которое пропорционально заряду q. Коэффициентом пропорциональности является величина, обратная емкости, так как U=1/C q.
Подобно тому, как вследствие инертности тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием силы и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю, электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу, когда это напряжение становится равным нулю. Индуктивность контура L играет туже роль, что и масса тела m в механике. Соответственно кинетической энергии тела (mv^2)/2 отвечает энергия магнитного поля тока (Li^2)/2, а импульсу тела mv отвечает поток магнитной индукции Li.
Зарядке конденсатора от батареи соответствует сообщение телу, прикрепленному к пружине, потенциальной энергии (kx^2)/2 при смещении тела на расстояние x_m от положения равновесия.
Сравнивая это выражение с энергией конденсатора q^2/2C, замечаем, что жесткость k пружины играет при механическом колебательном процессе такую же роль, как величина 1/C, обратная емкости при электромагнитных колебаниях, а начальная координата x_m соответствует заряду q_m.
Возникновение в электрической цепи тока i за счет разности потенциалов соответствующих появлению в механической колебательной системе скорости v_x под действием силы упругости пружины. Моменту, когда конденсатор разрядится, а сила тока достигнет максимума, соответствует прохождение тела через положение равновесия с максимальной скоростью. Далее конденсатор начнет перезаряжаться, а тело смещаться влево от положения равновесия. По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю. Этому состоянию соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю.
Покажем, что уравнения, описывающие свободные незатухающие электромагнитные колебания в контуре и колебания горизонтального пружинного маятника, действительно являются математически одинаковыми [10].
Запишем закон сохранения энергии для пружинного маятника, получим E_k+ E_n=E, где E_k=(mv^2)/2, E_n=(kx^2)/2, подставим: (mv^2)/2+(kx^2)/2=(kx_m^2)/2=const (1).
Так как (mv^2)/2> (Li^2)/2 и (kx^2)/2>q^2/2C, получим q^2/2C+(Li^2)/2=(q_m^2)/2C=const (2). Это уравнение, как и предыдущее, следует из закона сохранения энергии. В уравнении (2) i=q' – мгновенное значение силы тока, qm – максимальный заряд на конденсаторе (он не должен вызвать пробоя). Делаем вывод о зависимости силы тока от величины за¬ряда и находим значение максимальной силы тока:
(Li_m^2)/2=q^2/2C, i_m^2=(q_m^2)/CL, из чего следует i_m=q_m/vLC при q=0.
Решаем уравнение (2): производная полной энергии по времени равна нулю, так как энергия постоянна.
Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей: ((Li^2)/2)^'+(q^2/2C)^'=0 или ((Li^2)/2)^'=-(q^2/2C)^'(3).
Физический смысл уравнения (3) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак «минус» указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Поэтому полная энергия не меняется.
Вычислим обе производные: L/2 2ii^'=-1/2C qq^', откуда Lii^'=-(qq^')/C.
Так как i>q^', тогда Li^' q=-qi/C, а i^'>q^'', получим Lq^'' i=-qi/C.
Окончательный результат вычислений: q^''=-1/LC q (4). Получившееся уравнение является основным уравнением, описывающем процессы в колебательном контуре.
Рассмотрим колебания вертикального пружинного и математического маятников.
Выведем груз из положения равновесия, растянув пружину на длину x_m и отпустим. (Амплитудное растяжение пружины x_m должно быть таково, чтобы был справедлив закон Гука и выводимая на его основе формула потенциальной энергии пружины.)
Рисунок 1 ? Пружинный маятник
Мгновенные значения координаты груза х в процессе колебаний лежат в пределах –x_m?x?x_m. По закону сохранения энергии имеем:
(k(x_0+x_m )^2)/2-mgx_m=(k(x_0+x_m )^2)/2-mgx+(mv^2)/2 (5), где x_0=mg/k – статическое растяжение пру¬жины (потенциальную энергию груза в поле силы тяжести отсчитываем от уровня равно¬весия груза). Учитывая, что v=|v_x | и v=x^', получим уравнение колебаний:
k/2 ((m^2 g^2)/k^2 +2 mg/k x_m+x_m )-mgx_m=k/2 ((m^2 g^2)/k^2 +2 mg/k x+x)-mgx+(m(x^' )^2)/2.
Преобразуем: k/m x^2+(x^' )^2=k/m x^2=const (6).
Отсутствие в полученном уравнении ускорения свободного падения g, имеющееся в уравнении (5), позволяет сделать вывод о независимости от g колеба¬ний груза на пружине.
