Глава 1. Психолого-педагогические основы развития интереса учащихся к изучению математики через эстетический потенциал исторические задач
1.1. Активизация познавательной деятельности учащихся основной школы с помощью исторических фактов по математике
Вопросы активизации учения учащихся относятся к числу наиболее актуальных проблем современной педагогической науки и практики. Реализация принципа активности в обучении имеет определенное значение, т. к. обучение и развитие носят деятельностный характер, и от качества учения как деятельности зависит результат обучения, развития и воспитания учащихся. Особая значимость активизации учения школьников состоит в том, что учение, являясь отражательно преобразующей деятельностью, направлено не только на восприятие учебного материала, но и на формирование отношения учащихся к самой познавательной деятельности. По словам Л.Д. Столяренко [21] деятельность протекает более эффективно и дает более качественные результаты, если у учащихся имеются сильные, яркие и глубокие мотивы, вызывающие желание действовать активно, преодолевать неизбежные затруднения, настойчиво продвигаясь к намеченной цели. Учебная деятельность протекает более успешно, если у учеников сформировано положительное отношение к учению, есть познавательный интерес и потребность в познавательной деятельности.
Математика отличается высокой абстрактностью понятий, строгостью рассуждений (доказательств), полнотой аргументации преобразований и т. п., что делает необходимым предъявление учебного материала со значительным акцентом на его синтаксический состав. Данное обстоятельство во многих случаях подвигает учащихся к формальному запоминанию формулировок, терминов и символов. Особенно это свойственно школьникам с пониженной обучаемостью, испытывающим трудности и в абстрагировании, и в обобщении, и в свернутом оперировании знаниями. Полноценное усвоение математического материала возможно лишь при активном участии обучающихся в учебно-познавательной деятельности.
Проблема стимулирования, побуждения школьников к учению не нова, она была поставлена еще в 40-50-е гг. М.А. Даниловым, Р.Г. Лембергом и др. В последующие годы к ней было привлечено внимание ведущих российских методистов (В.Г. Разумовский, А.В. Усова и др.). Они решали задачу формирования положительных мотивов учения в качестве одной из самых главных в обучении математике, ибо высокий уровень мотивации учебной деятельности на уроке и интереса к учебному предмету – это первый фактор, указывающий на эффективность урока.
Пути и средства активизации умственной деятельности учащихся на уроках математики являлись предметом исследования ряда ученых. Так в работах Ю.М. Колягина делается упор на систематическое использование поисковых задач и проблемных заданий, вызывающих у школьников интеллектуальные затруднения.
П.М. Эрдниевым выдвинута и развита концепция укрупнения дидактических единиц усвоения в обучении математике, в рамках которой активизация умственной деятельности учащихся обеспечивается посредством специальной организации математических упражнений, обеспечивающих интегрированный характер мыслительной деятельности [26].
Т.И. Шамова, О.Б. Епишева, Л.М. Фридман и др. ученные активизацию познавательной деятельности школьников на уроках математики, прежде всего, связывают с формированием приемов продуктивного мышления, обеспечивающих интенсивность психических процессов на математическом материале [25].
По мысли А.А. Столяра, Н.К Рузина, Б.С. Каплан и др. структуризация учебного материала, касающаяся как отдельных понятий, теорем, так и целых его фрагментов тематической направленности, делает обучающихся полноценными хозяевами своих знаний, создает необходимые условия для осознанного выполнения математической деятельности в различных ее фазах.
Исследования педагогов-математиков показывают, что в процессе приобретения учащимися знаний, умений и навыков важное место занимает их познавательная активность, умение учителя активно руководить ею. Поиски путей активизации познавательной деятельности учащихся, развитие их познавательных способностей и самостоятельности – задача, которую призваны решать педагоги, психологи, методисты и учителя.
Одним из путей активизации познавательной деятельности обучающихся основной школы при изучении математики является использование элементов истории математики. Курс математики основной школы может создать условия для того, чтобы школьники увидели мировоззренческие аспекты математики, осознали генезис математических идей и пути к некоторым математическим открытиям, оценили роль математики в решении прикладных проблем.
Отечественной школой накоплен большой опыт включения элементов истории в обучение школьного курса математики. Создана библиотека специальной литературы. Среди значительных книг по истории математики для школы можно назвать работы таких авторов, как И.И. Баврин, С.Е. Белозеров, В.В. Бобынин, Б.В. Болгарский, Г.И. Глейзер, Б.В. Гнеденко, Ю.А. Дробышев, Б.А. Кордемский, К.А. Малыгин, Г.Н. Попов, К.А. Рыбников, О.А. Саввина и др. Большинство из них адресовано учителю, рекомендуя ему использовать тот или иной материал из истории математики в рамках школьной программы.
Так, В.В. Бобынин видит ресурс в использовании элементов истории математики, как особом методе преподавания, как одном из способов мотивации учебной деятельности школьников. Он отмечает, что, используя историко-генетический метод преподавания («метод, развивающий в преподавании положения и выводы науки именно таким образом, как они развивались в действительности»), можно по-разному строить учебный процесс.
Вопросам использования элементов истории математики посвящено немалое количество и современных диссертационных исследований (например, Д.В. Смолякова и др.).
Использование в обучении элементов истории развития математики способствует осознанию значения математики в повседневной жизни человека; формированию представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математической науки, о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления [3].
Курс математики основной школы может создать условия для того, чтобы школьники увидели, как сложилась та или иная математическая теория, в силу каких причин возникла, как и с чем связана, как работает наука математика, какими методами она изучает окружающую действительность, каковы ее возможности и ограничения. С этой целью необходимо систематически наполнять предмет материалом исторического развития математики. Выполнять эту работу следует постепенно. Включение элементов истории должно быть оправдано содержанием конкретного материала и методически грамотно продумано.
К.А. Малыгин [5] выделяет следующие цели введения элементов истории в обучение математике:
- история математики развивает научное мировоззрение;
- использование исторических сведений является одним из критериев интересности содержания учебного материала, служит для развития познавательного интереса учащихся к математике;
- исторические сведения служат для развития творческих способностей учащихся, так как включение сведений о творчестве крупных ученых, о том, как они приходили к постановке своих исследований, как находили метод решения, как формулировали окончательный результат, позволяет создать творческую атмосферу на уроках, помогает понять, что в процессе творчества нет ничего необычного, сверхъестественного, а цели достигаются в результате упорного труда;
- элементы истории служат средством нравственного воспитания учащихся, воспитания чувства гордости за достижения отечественной математики.
Что касается содержания исторического материала, которое полезно включить в определенные темы курса математических дисциплин основной школы, то в нашем исследовании мы опираемся на следующие требования к ним. Во-первых, дополняя традиционное содержание курса математики основной школы историческими сведениями, оно должно соответствовать существующей программе. Во-вторых, подбирая содержание учебного материала исторического характера, на наш взгляд, необходимо учитывать принцип развивающей функции обучения. В-третьих, содержание должно быть внешне привлекательным, любопытным, захватывающим.
Основной формой обучения в школе является урок. Стоимость нескольких минут урока по историческим отступлениям окупается ростом интереса к науке, отражая отдельные факты.
На уроке можно выделить следующие формы использования исторического материала (классификация по объему предлагаемой информации): историческая справка; исторический экскурс; историческая задача; сочинение на историческую тему; реферат, посвященный истории математики; проект по истории математики.
Кроме того, выделяют и такие формы и методы организации учебного материала [2]: короткое сообщение ученика или доклад ученика; беседа или рассказ учителя; урок или семинар по определенной теме.
Независимо от формы передачи исторической информации использованное время не может считаться потраченным впустую, если учитель смог представить исторический факт в тесной связи с теоретическим материалом, изученным на уроке.
В настоящее время трудно представить нашу жизнь без интернета. Практически каждый человек имеет возможность выхода в ресурсы глобальной сети. Стремительное развитие информационно-коммуникационных технологий приводит к острой дискуссии о месте и роли социальных сетей в современном образовательном процессе. В нашем исследовании мы не оставили без внимания использование социальной сети для активизации познавательной деятельности учащихся с помощью исторических фактов при обучении математике. Как отмечает О.С. Самсонова [18], социальная сеть определяется как онлайн-сервис, позволяющий создавать социальные связи, строить взаимоотношения, распространять разнообразную информацию.
Можно использовать конкретнее публичные страницы в социальной сети ВКонтакте в качестве средства введения исторических сведений в обучение математике. Например, создать публичную страницу «История математики», где размещать интересные факты по истории математики, высказывания об ученых и прочие исторические сведения. Для организации обратной связи можно предложить подписчикам поучаствовать в онлайн-викторинах, основанных на малоизвестных фактах из жизни известных математиков. На наш взгляд, использование социальных сетей для ознакомления учащихся с историей развития математики позволит повысить интерес учащихся к изучаемому материалу, сформировать математическую культуру обучаемых.
В распоряжении каждого учителя математики должен быть исторический материал по изучаемым темам школьного курса математики, которым он может распорядиться по собственному усмотрению, в соответствии со своим опытом, вкусом, а также уровнем развития обучаемых и профилем класса. В помощь учителю могут быть также разработаны электронные дидактические материалы (мультимедийные слайды-визуализации) в виде исторических фактов ко всем темам школьного курса математики.
Таким образом, использование в обучении элементов истории развития математики способствует осознанию значения математики в повседневной жизни человека; формированию представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математической науки, о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.
Курс математики основной школы может создать условия для того, чтобы школьники увидели, как сложилась та или иная математическая теория, в силу каких причин возникла, как и с чем связана, как работает наука математика, какими методами она изучает окружающую действительность, каковы ее возможности и ограничения. С этой целью необходимо систематически наполнять предмет материалом исторического развития математики. Включение элементов истории должно быть оправдано содержанием конкретного материала и методически грамотно продумано.
1.2. Составляющие эстетического потенциала школьной математической задачи
Развивающая парадигма образования, переход к которой в отечественной школе обозначился еще в прошлом столетии, ориентирует на поиск новых технологий обучения и воспитания детей, обеспечивающих не только усвоение знаний и формирование умений и навыков, но и интенсивное интеллектуальное развитие обучаемых. В ряду первоочередных задач предметных методик становятся задачи изыскания методических средств, позволяющих эффективно реализовать развивающий потенциал содержания учебного предмета, его основных дидактических единиц.
Математику относят к числу фундаментальных предметов школьного образования не только потому, что математические знания нужны школьникам при изучении других дисциплин, а также необходимы в быту и в дальнейшей профессиональной деятельности каждого человека, но еще и потому, что она обладает высоким развивающим потенциалом, способствующим совершенствованию ума и всей психики в целом. В обучении этот развивающий потенциал должен быть полноценно реализован. А это, в свою очередь, побуждает к теоретическому описанию этого потенциала, построению его моделей [12].
Сказанное напрямую касается эстетического аспекта математического содержания, необычайно важного как для общеобразовательной, так и для профильной школы.
О значимости эстетического потенциала математической науки говорили многие выдающиеся ученые прошлого и настоящего. Известно высказывание Д. фон Нейтмана о том, что математика «движима почти исключительно эстетическими мотивами». Выдающийся физик прошлого столетия А. Пуанкаре не без основания полагал, что «люди, посвященные в ее тайны, вкушают наслаждения, подобные тем, которые дает нам живопись и музыка. Они восторгаются изящной гармонией чисел и форм; они приходят в восхищение, когда какое-нибудь новое открытие раскрывает перед ними неожиданные перспективы» [26].
Изучением красоты математической науки занимались многие зарубежные и отечественные философы, математики, психологи и педагоги. Наиболее четко характеристика эстетической привлекательности математического объекта дана Г. Биркгофом в виде формулы:
M = O/C,
где M – мера красоты объекта, O – мера порядка, а C – мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта.
С формулой математической красоты, предложенной Г. Биркгофом, созвучны критерии, предложенные В.Г. Болтянским. По его мнению, красота математического объекта (формулы, задачи, теоремы и т.п.) может характеризоваться изоморфизмом между этим объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданностью ее появления: КРАСОТА = НАГЛЯДНОСТЬ + НЕОЖИДАННОСТЬ = ИЗОМОРФИЗМ + ПРОСТОТА + НЕОЖИДАННОСТЬ.
В работах И.Г. Зенкевича, В.Т. Ковешникова, О.А. Кобалия и других исследователей обращено внимание на то, что красивые математические задачи и поиск изящных методов их решения являются факторами, способствующими воспитанию эстетического вкуса учащихся, развитию общей культуры школьников.
Г.И. Саранцев признаками проявления прекрасного в содержании математики считает: соответствие математического объекта его стандартному, стереотипному образу; порядок, логическую строгость; простоту; универсальность использования этого объекта в различных разделах математики; оригинальность, неожиданность [19].
Н.В. Гусевой предложена модель эстетического потенциала школьной математики. Автором выделено внешнее проявление прекрасного, так называемые линии внешней эстетики: эстетика геометрической формы, аналитической записи, оформления решения задач и др., и линии внутренней эстетики: смысла, математического содержания, числовых превращений, числовых закономерностей, математического рассуждения и т. д.
В контексте деятельностного подхода к обучению математике, все более утверждающемуся в теории и практике школьного математического образования, важнейшим средством усвоения знаний становятся задачные конструкции (цепочки, блоки, циклы, системы задач). В этой связи основной упор в достижении дидактических целей, в том числе и раскрытия эстетического потенциала школьной математики, сегодня должен делаться на математические задачи.
В работах отдельных исследователей уже предпринимались попытки охарактеризовать эстетический потенциал математической задачи. Так, Б.А. Кордемский в своих книгах приводит собрания задач, неизменно вызывающих восторг у школьников и учителей математики. Г.И. Саранцев полагает, что эстетические мотивы продвигают решение задачи [19]. М.С. Якир в статье «Что же такое красивая задача» приводит ряд характеристик, полученных в ходе дискуссии, таких как непредсказуемость, неожиданность, простота, революционный шаг, оптимизм, труд и др.
Оценивая положительно предложения, высказанные этими и другими авторами, заметим, что они еще не дают целостного представления об эстетическом потенциале школьной математической задачи.
Предлагая свой вариант решения этого вопроса, будем исходить из структуры задачи, предложенной Ю.М. Колягиным. Любая задача, по мнению этого автора, содержит такие компоненты, как начальное состояние (A) или условие задачи; конечное состояние (B) или заключение-вопрос; решение задачи (R) или способ преобразования условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого и базис решения задачи (C) – обоснование решения.
Восприятие задачи начинается с изучения ее формулировки, решение же пока еще остается вне поля зрения решающего. Из школьной практики известно, что одни задачи вызывают у школьников желание их решать в большей мере, а другие – в меньшей. Это желание вызывается формулировкой задачи, информацией, включенной в нее, содержанием, фигурирующим в ней. Задача может быть внешне привлекательна для ребенка, ее формулировка может вызывать у него любопытство, интерес. Из чего следует, что эстетический потенциал задачи присущ прежде всего таким ее компонентам, как условие (A) и заключение (B). Назовем эту эстетику задачи внешней эстетикой, непосредственной данной человеку в его зрительных, слуховых или иных ощущениях. Она может проявляться в следующем: в наличии необычной формулировки условия или заключения (сказочной, стихотворной формы); в наличии красивого чертежа или рисунка к условию задачи; в наличии неожиданных (числовых, геометрических, алгебраических и др.) соотношений, содержащихся в тексте; в использовании особой аналитической записи (представленной, например, в симметричной форме или с использованием всех цифр, записанных в порядке возрастания, и т. п.); в присутствии в формулировке задачи исторического, прикладного или иного познавательного материала и т.д. [10].
Поскольку все такие эстетические проявления непосредственно связаны с формулировкой, информацией, содержащейся в ней, то разумно назвать этот аспект эстетики математической задачи информационно-содержательным.
Однако одной внешней привлекательностью эстетический потенциал математической задачи не исчерпывается. Хорошо известно, что человека увлекает и сам процесс решения, а точнее говоря, процесс поиска решения, процесс преобразования выражения, процесс логического обоснования утверждения или цепочки утверждений, процесс построения графика сложной функции, процесс применения алгоритма, правила или формулы. Эти эстетические проявления прямо соотносимы с таким компонентом математической задачи, как базис решения (С), непосредственно не представленным в формулировке задачи и не данным человеку в его ощущениях. Этот аспект эстетики математической задачи условно можно назвать поисково-эвристическим. Он особенно свойствен задачам на достраивание фигур; на перекраивание фигур; на определение маршрута; на переливание жидкостей; на построение всевозможных сечений и др.
При решении подобных задач, ученику приходится овладевать нестандартными способами решения, использовать в процессе обдумывания хода решения разнообразные мыслительные операции: анализ, синтез, сравнение, классификацию, аналогию, обобщение – и тем самым развивать свои интеллектуальные способности [5].
Эстетические чувства вызывает и найденный в результате способ решения задачи или полученный ответ. Здесь внутренняя эстетика переплетается с внешней. Внутреннее удовлетворение от найденного решения усиливается в случае привлекательности того выражения, посредством которого выражен (записан) полученный результат. Решающий стремится придать результату более совершенную форму: более компактную запись, более лаконичное предложение, более красивый рисунок или чертеж. Учитель же, проверяющий решение ученика, как правило, дает ему советы аналогичного толка. Здесь, как видим, эстетические проявления связаны с компонентом способ решения (R) или с продуктом решения. Может появиться и желание найти другие решения (другие продукты) задачи. С каждым найденным решением прирастает потенциал этого аспекта эстетики математический задачи. Одновременно увеличивается и потенциал поисково-эвристической эстетики. Наконец может появиться и желание видоизменить исходную задачу и найти ее решения, что приведет к появлению новых продуктов и будет способствовать развитию творческих начал обучаемого. Разумно назвать этот аспект эстетики математической задачи продуктивно-творческим [12]. Он свойствен задачам, которые имеют: простой ответ при наличии громоздкого решения; числовой ответ при отсутствии числовых данных в условии; несколько способов решения; оригинальное решение; неожиданный ответ; контрастность формулировки задачи и ее решения и др.
Очевидно, реальной математической задаче в конкретных условиях обучения может быть свойствен как один или два из охарактеризованных выше аспектов эстетического воздействия на ребенка, так и все три одновременно. Каждый из них усиливает совокупный эффект эстетической значимости задачи для школьника. Решение таких задач, сопровождаемое переживанием глубоких эстетических чувств, способствует не только активизации мыслительной деятельности учащегося, но и духовному обогащению ребенка, становлению его личности.
