ГЛАВА 1 ИЗУЧЕНИЕ ПРОГРЕССИЙ КАК МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА
1.1 Анализ темы «Прогрессии»
В учебнике, «Алгебра 9класс», Ю.Н.Макарычева и др., учебный материал организован в основном индуктивно с отдельными элементами дедуктивности. Индуктивность выражается в том, что каждый новый факт вводится чаще всего путём рассмотрения конкретных примеров. Как мы и видим на с. 84, 93 [7] сначала рассматривают определённую последовательность, затем находят закономерность и только потом дают определение. Дедуктивность выражается в том, что отдельные свойства понятий доказываются. Дедукция (от лат. deductio - выведение), так и на с.89-90 выводят формулу сумму n первых членов арифметической прогрессии.
В 3 главе «Арифметическая и геометрическая прогрессии» вводятся понятия «члены последовательности», «n-ый член последовательности», «арифметическая прогрессия», «разность арифметической прогрессии», «геометрическая прогрессия», «знаменатель геометрической прогрессии», «сумма бесконечной геометрической прогрессии». На мой взгляд, явно определены такие понятия как «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия». Проведем анализ определения: арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
Термин - арифметическая прогрессия.
Род- последовательность.
Видовые отличия - каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом (или в таком виде: an+1= an+d где a1и d заданы, n -любое натуральное),
Это определение рекурсивное, так как в видовых отличиях указаны действия получения последующего члена, если известен предыдущий. Видовые отличия можно расписать подробнее: второй член равен сумме первого и какого-то числа, третий равен второму, сложенному с этим же числом, и т.д.
Понятия «разность арифметической прогрессии» вытекает из определения «арифметическая прогрессия», аналогично «знаменатель геометрической прогрессии» из определения «геометрическая прогрессия».
Определение «сумма бесконечной геометрической прогрессии» описывается на основе анализа конкретной задачи
Ядерный материал - формирование преставлений о понятии числовой последовательности, арифметической и геометрической прогрессиях как частных случаях числовых последовательностей; о трех способах задания последовательности: аналитическом, словесном и рекуррентном;
Учебные задачи - изучить определение арифметической и геометрической прогрессии; вывести формулы n-го члена; уметь применять ранее изученный материал о последовательностях; уметь выстраивать логическую цепочку доказательств, аргументировать способ решения.
Основные методы обучения – индуктивный по логике, по источникам – беседа и упражнения, по степени самостоятельности – репродуктивный, по управлению – показ образцов учителем и работа с книгой.
Средства обучения – печатные (учебникии учебные пособия, рабочие тетради, раздаточный материал), наглядные плоскостные (плакаты, иллюстрации настенные, магнитные доски) и аудиовизуальные (слайды).
Приемы работы – показ учителем на доске образцов решения (преобразования), заполнение таблицы для сравнения арифметической и геометрической прогрессий, самостоятельная работа.
Проведём анализ задачного материала 3 главы.
Основные методы решения задач на прогрессии (в том числе с помощью систем уравнений).
1. Все данные выражаются через первый член и разность (знаменатель) прогрессии и далее решается система уравнений.
2. Более короткие решения получаются при использовании формулы для выражения аn через равностоящие члены, т.е. аn-s и an+s.
Данная глава состоит из двух параграфов. Первый параграф «Арифметическая прогрессия» содержит 9 заданий обязательного уровня. (№№343, 344, 345, 347, 352, 353, 363, 370, 372). Второй параграф «Геометрическая прогрессия» содержит 7 заданий обязательного уровня (№№387, 388, 389, 391, 408, 409, 420).
Дополнительные упражнения к главе 3 содержат 23 задачи повышенной сложности (№432, 436, 437, 441, 448, 449, 452-458, 460, 461, 463, 465, 472-474, 478, 481, 482).
Выделим задачи на доказательства №№364, 465, 469, 470, 471.
В математике важна взаимосвязь методов решения задач, приведу пример задачи, которую можно решить несколькими способами.
Задача. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 132, а сумма второго и третьего членов равна 110. Найдите первые три члена этой прогрессии.
Решение. Пусть (bn) – данная геометрическая прогрессия. По формуле n - го члена геометрической прогрессии bn=b1*qn-1, где b1 – первый член прогрессии, q – ее знаменатель, выразим данные члены прогрессии: b2=b1q, b3=b1q2.
Составим и решим систему уравнений:
b1+b2=132 b1+b1q=132 b1(1+q)=132
b2+b3=110 b1q+b1q2=110 b1q(1+q)=110
b1(1+q)=132 b1=72
q*132=110 q=5/6
Ответ: 72; 60; 50
Другое решение : Пусть (b1) – данная геометрическая прогрессия.
По свойству геометрической прогрессии b1b3= . По условию задачи:
b1+b2=132 b1=132-b2
b2+b3=110 откуда b2= 110-b2
Перемножив, получаем: b1b=(132-b2)(110-b2)
Полученное уравнение перепишем в виде: *(110 – b2) или
откуда b2 = 60. Тогда b1 = 72, b3 = 50
Ответ: 72; 60; 50.
1.2 Методические рекомендации к изучению темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе математики средней общеобразовательной школы
Изучение прогрессий в средней общеобразовательной школе происходит в 9 классе. В соответствии с возрастной периодизацией – это дети подросткового и раннего юношеского возраста. В 9 классе средней общеобразовательной школы развитие познавательных процессов детей достигает такого уровня, что они оказываются практически готовыми к выполнению всех видов умственной работы взрослого человека, включая самые сложные. Познавательные процессы школьников приобретают такие качества, которые делают их совершенными и гибкими, причем развитие средств познания несколько опережает собственно личностное развитие детей.
В подростковом и юношеском возрасте активно идет процесс познавательного развития. В это время оно происходит в основном в формах, мало заметных как для самого ребенка, так и для внешнего наблюдателя.
Подростки и юноши уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. У девятиклассников уже отмечается способность делать общие выводы на основе частных посылок и, напротив, переходить к частным умозаключениям на базе общих посылок, т.е. способность к индукции и дедукции. Именно поэтому при изучении формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий, а также формул суммы п первых членов прогрессий, для их доказательства нужно использовать метод математической индукции.
К этому возрасту дети усваивают многие научные понятия, обучаются пользоваться ими в процессе решения различных задач. Это означает сформированность у них теоретического или словесно-логического познавательных процессов. Поэтому изложение темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» преподается на достаточно высоком уровне абстракции.
Особенно заметным в эти годы становится рост сознания и самосознания детей, представляющий собой существенное расширение сферы осознаваемого и углубление знаний о себе, о людях, об окружающем мире. Развитие самосознания ребенка находит свое выражение в изменении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда. Прежние «детские» мотивы, характерные для младшего школьного возраста, теряют свою побудительную силу. На месте их возникают и закрепляются новые, «взрослые» мотивы, приводящие к переосмыслению содержания, целей и задач деятельности. Хотя игра и является «детским» мотивом, но при изучении прогрессий она способствует активизации познавательной деятельности учащихся, способствует увеличению заинтересованности учеников в результатах своей деятельности по усвоению материала.
В подростковом возрасте активно совершенствуется самоконтроль деятельности, являясь вначале контролем по результату или заданному образцу, а затем – процессуальным контролем, т.е. способностью выбирать и избирательно контролировать любой момент или шаг в деятельности, что можно использовать при организации проверки знаний учащихся по вопросам прогрессий. Вплоть до юношеского возраста у многих детей еще отсутствует способность к предварительному планированию деятельности, но вместе с тем налицо стремление к саморегуляции. Оно, в частности, проявляется в том, что на интересной, интеллектуально захватывающей деятельности или на такой работе, которая мотивирована соображениями престижности, подростки могут длительное время удерживать внимание, быть в состоянии переключать или распределять его между несколькими действиями и поддерживать довольно высокий темп работы. Именно поэтому при изучении темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в девятом классе необходимо использовать методы активизации познавательной деятельности учащихся, рекомендовать творческие задания, подготовку рефератов, докладов, проведение исследовательской работы по данной теме. Например, на уроках решения задач на прогрессии можно использовать нестандартные задачи (практического, экономического или исторического характера, а также в виде кросснамберов).
В подростковом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память, и скоро она достигает такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредствованной памяти. Как реакция на более частое практическое употребление в жизни логической памяти замедляется развитие механической памяти. У подростков возникают проблемы с запоминанием, и жалобы на плохую память намного чаще, чем у младших школьников. Наряду с этим появляется интерес подростков к способам улучшения запоминания. Поэтому при рассмотрении теоретического материала по прогрессиям необходимо использовать схемы, позволяющие облегчить процесс запоминания теоретических аспектов изучения темы.
А.Н.Леонтьев исследовал, как идет развитие двух основных видов памяти – непосредственной и опосредственной – в течение детства и установил особенности их преобразования в старшем школьном возрасте. Он показал, что с увеличением возраста идет постепенное улучшение непосредственного запоминания, причем быстрее, чем опосредствованного. Одновременно с этим от дошкольного к младшему школьному возрасту увеличивается разрыв, существующий между продуктивностью непосредственного и опосредствованного запоминания. Затем – уже в подростковом и юношеском возрасте – прирост продуктивности непосредственного запоминания замедляется, и одновременно с этим увеличивается продуктивность опосредствованного запоминания.
С возрастом меняются и отношения между памятью и мышлением. В раннем детском возрасте память является одной из основных психических функций, и в зависимости от нее строятся все остальные психические процессы. Мышление ребенка в этом возраста во многом определяется его памятью: мыслить – значит вспоминать. В младшем школьном возрасте мышление обнаруживает высокую корреляцию с памятью и развивается в непосредственной зависимости от нее. Решающий сдвиг в отношениях между памятью и другими психическими функциями происходит в подростковом возрасте. Исследования памяти детей данного возраста показали, что для подростка вспоминать – значить мыслить. Его процесс запоминания сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям, поэтому при изучении формул, свойств важно, чтобы ученики понимали идею, смысл, логику их получения.
Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. К началу юношеского возраста такое желание несколько уменьшается, и вместо него появляется больше доверия к чужому опыту, основанного на разумном отношении к его источнику. Следовательно, при изучении прогрессий с сильными учениками полезна исследовательская работа, успешно рассматривается поиск применения прогрессий к решению текстовых задач практического характера.
Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные и престижные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности. Именно поэтому на уроках, посвященных решению задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», необходимо использовать нестандартные задачи: исторического и практического характера, повышенной трудности, из сборников по подготовке к ЕГЭ.
