Онлайн поддержка
Все операторы заняты. Пожалуйста, оставьте свои контакты и ваш вопрос, мы с вами свяжемся!
ВАШЕ ИМЯ
ВАШ EMAIL
СООБЩЕНИЕ
* Пожалуйста, указывайте в сообщении номер вашего заказа (если есть)

Войти в мой кабинет
Регистрация
ГОТОВЫЕ РАБОТЫ / КУРСОВАЯ РАБОТА, ПЕДАГОГИКА

Задачи на геометрический и физический смысл производной в школьном курсе мтематики

baby_devochka 504 руб. КУПИТЬ ЭТУ РАБОТУ
Страниц: 42 Заказ написания работы может стоить дешевле
Оригинальность: неизвестно После покупки вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100% с помощью сервиса
Размещено: 07.06.2022
Цель исследования – рассмотреть методические особенности решения задач на геометрический и физический смысл производной в школьном курсе математики. Задачи исследования: 1. Рассмотреть основные вопросы теории по теме «Производная функции» 2. Описать геометрический смысл производной функции и его применение 3. Описать механический смысл производной первого и второго порядков функции 4. Провести анализ учебно-методической литературы по теме «Геометрический и физический смысл производной» 5. Рассмотреть решение задач с применением геометрического смысла производной 6. Рассмотреть решение задач с применением физического смысла производной 7. Разработать материалы занятий по темам «Применение геометрического смысла производной к решению задач» и «Применение физического смысла производной к решению задач» Объект исследования – процесс обучения математике в старшей школе. Предмет исследования – задачи школьного курса математики, решаемые с применением геометрического и физического смысла производной. Методы исследования: 1. Теоретические (классификация, дедукция, синтез, анализ, моделирование); 2. Эмпирические (моделирование, описание, группировка). Структура исследования. Работа состоит из введения, 2-ух глав, заключения и списка использованных источников.
Введение

Актуальность исследования заключается в том, что на сегодняшний день необходимы учебные программы и учебники по школьным предметам, позволяющие эффективно дифференцировать усвоение материала учащимися. Это возможно реализовать с помощью межпредметных и внутрипредметных связей. Важность межпредметных и внутрипредметных связей обусловлена тем, что они в процессе обучения помогают систематизировать и расширить знания учащихся, формировать навыки и умения самостоятельной познавательной деятельности. Роль внутрипредметных связей в процессе обучения велика, так как они влияют на цель обучения. А также внутрипредметные связи способствуют определению логических связей между понятиями, формируют мировоззрение, уменьшают затраты учебного времени, тем самым устраняя перегрузку учащихся. Практика показывает, что относительно нетрудно подготовить учащихся давать определение производной, вычислять ее и, используя основные правила дифференцирования, находить производную функции в точке. Учащиеся без каких-либо усилий решают задачи на исследование функции с применением производной. Приступая к изучению этой темы, нужно определить правильный путь введения производной, объяснить учебный материал на доступном уровне для понимания всеми учащимися. Можно отметить, что учащийся сможет определять производную в разных приложениях, например, в физике, геометрии, если сумеет использовать её определение для нахождения значения производной, показать геометрический и физический смыслы.
Содержание

Введение 3 Глава 1. Основные вопросы теории дифференциального исчисления в школьном курсе математики 6 1.1. Производная функции: понятие, основные правила дифференцирования 6 1.2. Геометрический смысл производной функции 8 1.3. Механический смысл производной первого и второго порядков 11 1.4. Анализ учебно-методической литературы по теме «Геометрический и физический смысл производной» 13 Выводы по главе 1 20 Глава 2. Методические аспекты решения задач на геометрический и физический смысл производной 21 2.1. Решение задач на геометрический смысл производной 21 2.2. Решение задач с применением физического смысла производной 28 2.3. Методические разработки занятий по темам «Применение геометрического смысла производной к решению задач» и «Применение физического смысла производной к решению задач» 32 Выводы по главе 2 37 Заключение 38 Список использованных источников 40
Список литературы

1. Алгебра и начала анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В.Ткачев и др. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016. – 463 с. 2. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М. В. Ткачева и др. – 18–е изд. – Москва: Просвещение. – 2012. – 464 с. 3. Балдин, К.В. Краткий курс высшей математики / К.В. Балдин. – М.: Дашков и К, 2015. – 510 c. 4. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 5-е изд., стер. –Москва: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с. 5. Башмаков М.И. Математика: Учебник для 10 класса. Базовый уровень / М.И. Башмаков. – М.: Изд. центр «Академия», 2007. – 304 с. 6. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. – 16-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2010. – 736 с. 7. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике / Н.В. Богомолов. – М.: Юрайт, 2012. – 156 с. 8. Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задчах / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев. – 6-е изд., испр. – СПб.: Лань, 2011. – 480 с. 9. Вавилов, В.В. Задачи по математике. Алгебра / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник и др. – М.: Физматлит, 2007. – 456 c. 10. Вавилов, В.В. Задачи по математике. Последовательности, функции и графики / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник. – М.: Физматлит, 2008. – 328 c. 11. Виленкин, Н.Я. Алгебра и начала математического анализа. 10класс. Учебник для учащихся общеобразоват. организаций (углубленный уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 352 с. 12. Денищева, Л.О. Методика обучения математике для средней (старшей) школы, основанная на использовании МЭШ / Л.О. Денищева, А.А. Жданов. – М.: Книга-Мемуар, 2019. – 107 с. 13. Ильин, В.А. Математический анализ. Начальный курс / В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. – 2-е изд., - перераб. – М.: Изд-во МГУ, 2015. - 662 с. 14. Катышева, Д.Н. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие / Д.Н. Катышева. – СПб.: Лань П, 2016. – 736 c. 15. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред. А.Н. Колмогорова. – 2-е изд. - М.: Просвещение, 2013. – 384 с. 16. Ляхова, Н.Е. Касание плоских кривых / Н.Е. Ляхова // Вестник ТГПИ. Физико-математические и естественные науки. – Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та. – 2008. – № 1. – С. 12-18. 17. Марченко, И.С. Полный курс математики. 1-4 кл / И.С. Марченко. – М.: Эксмо, 2017. – 272 c. 18. Мерзляк, А.Г. Алгебра и начало математического анализа. 10 класс / А.Г. Мерзляк, Д.А. Номировский, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2019. – 366 с. 19. Могильницкий, В.А. Производная и ее применение: учебное пособие / В.А. Могильницкий, С.А. Шунайлова. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2011. - 107 с. 20. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. – 14-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2016. – 400 с. 21. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе / Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002. – 223 с. 22. Теория и методика обучения математике в школе / под общ. ред. Л.О. Денищевой. – М.: БИНОМ. Лаб. знаний, 2011. – 247 с. 23. Узорова, О.В. Полный курс математики: 3-й кл. Все типы заданий, все виды задач, примеров, уравнений, неравенств / О.В. Узорова. – М.: АСТ, 2019. – 320 c. 24. Федиенко, В. Математика. Современные отечественные и зарубежные методики / В. Федиенко. – М.: Издательский дом «Школа», 2019. – 310 c. 25. Шапкин, А.С. Задачи с решениями по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию: Учебное пособие для бакалавров / А.С. Шапкин, В.А. Шапкин. – М.: Дашков и К, 2015. – 432 c. 26. Яковлев, И.В. Материалы по математике: Теоретическое пособие / И.В. Яковлев. – М.: Мнемозина, 2013. – 30 с.
Отрывок из работы

Глава 1. Основные вопросы теории дифференциального исчисления в школьном курсе математики 1.1. Производная функции: понятие, основные правила дифференцирования Производная функции (в точке) – это понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, которая имеет конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке) [15]. - правая производная - левая производная Теорема 1. Если функции f и g дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируемы функциии f+g, fg, f/g (при условии, что g(x)?0), и при этом (f(x)+g(x))?=f?(x)+g?(x) (1) (f(x)g(x))?=f?(x)g(x)+f(x)g?(x) (2) ( (f(x))/(g(x)) )? = ( (f^' (x)g(x)- f(x)g'(x) )/((g(?x))?^2 ) ), g(x)?0 (3) Доказательство. Обозначим ?f=f(x+?x)?f(x) и ?g=g(x+?x)?g(x). Тогда ?f/?x >f?(x), ?g/?x >g?(x) при ?x>0, так как существуют f?(x) и g?(x). Кроме того, f(x+?x) = f(x)+?f, g(x+?x) = g(x)+?g, где ?f>0, ?g>0, так как функции f и g непрерывны в точке x [15]. 1. Если y = f(x) + g(x), то ?y = f(x+?x) + g(x+?x) ? f(x) ? g(x) = ?f+?g, откуда ?у/?x = ?f/?x + ?g/?x Правая часть этой формулы имеет при ?x>0 предел, равный f?(x)+g?(x). Поэтому существует предел левой части, который по определению равен (f(x)+g(x))?. Формула (1) доказана. 2. Если y = f(x)g(x), то ?y = f(x+?x)g(x+?x)?f(x)g(x) = (f(x)+?f)(g(x)+?g) ? f(x)g(x) = f(x)?g + g(x)?f + ?f?g, ?у/?x = f(x) ?g/?x + g(x) ?f/?x + ?f/?x ?g. Отсюда следует формула (2), так как ?g/?x > g?(x), ?f/?x > f?(x), ?g>0 при ?x>0. 3. Если y = (f(x))/(g (x)), то ?y = (f (х+?x) )/(g (х+?x) ) - ?f/?x = (f(х)+?f) )/(g(х)+?y) ) - (f(x))/(y(x)), или ?y = (?fg(x)- ?gf(x))/(g(x)g(x+?x) ), откуда ?g/?x = ?f/?xg(x) - ?g/?xf(x) 1/(g(x+ ?x)g(x) ). Переходя к пределу в этом равенстве и учитывая, что g(x+?x) > g(x) при ?x>0, где g(x)?0, получаем формулу (3). Следствие 1. Если функция f дифференцируема в точке x и C — постоянная, то (Cf(x))? = Cf?(x), то есть постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференцирования. Следствие 2. Если функции fk (k=(1,n) ?) дифференцируемы в точке x и Ck (k=(1,n) ?) – постоянные, то то есть производная линейной комбинации дифференцируемых функций равна такой же линейной комбинации производных данных функций. Теорема 2. Если функция y=f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке ? = ?x0??, x0+??, ?>0, и если существует f?(x0)?0, то функция x=?(у), обратная к функции y=f(x), дифференцируема в точке y0 = f(x0), причем ??(y0) = 1/(f'(x0)) (4) Доказательство. Пусть функция f строго возрастает на отрезке ?. Обозначим ? = f(x0??), ? = f(x0+?). По теореме об обратной функции на отрезке [?, ?] определена функция x = ?(y), обратная к f, непрерывная и строго возрастающая, причем y0 = f(x0)?(?,?), так как ? = f(x0??) < f(x0) < f(x0+?) = ?. Пусть ?y – приращение независимой переменной y такое, что y0+?y?(?, ?). Обозначим ?x = ?(y0+?y) ? ?(y0). Нужно доказать, что существует предел отношения ?x/?y при ?y>0, равный 1/(f'(x0)). Заметим, что если ?y?0, то ?x?0, так как в противном случае ?(y0+?y) = ?(y0), то есть функция ? принимает одинаковые значения в двух различных точках, что противоречит свойству строгого возрастания функции ?. Поэтому при ?y?0 справедливо равенство ?x/?y = 1/(?y/?x). (5) Пусть ?y>0, тогда ?x>0, так как функция x непрерывна в точке y0. Но если ?x>0, то существует limT(?x>0)???y/?x? = f?(x0). Итак, правая часть (5) имеет предел, равный 1/(f'(x0)). Поэтому и в левой части этого равенства существует предел, который согласно определению равен ??(y0). Формула (4) доказана. Таким образом, мы выявили понятие производной функции, основные правила дифференцирования суммы, произведения, частного и обратной функции. 1.2. Геометрический смысл производной функции Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x0, т.е. [17]. Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид – текущие координаты. Но и уравнение касательной запишется так: . Уравнение нормали запишется в виде [17]. Т.е. уравнение касательной и есть геометрический смысл производной. Исследуем геометрический смысл производной функции y = f(x) при некотором, заранее заданном значении аргумента x=x0. Считаем, что функция имеет конечную производную в x0. Тогда существует окрестность точки x0, в которой функция определена и имеет конечные значения. Проводим оси координат. По оси абсцисс будем откладывать значения переменной x; по оси ординат – значения переменной y. Строим график функции y = f(x) в окрестности точки x0. Отмечаем точку M0(x0y0), где y0 = f(x0). Выбираем на графике произвольную точку M1(x1y1), где y1 = f(x1). Проводим через M0 и M1 cекущую M0М1.Далее через M0 проводим прямую, параллельную оси x, а через M1 – параллельную оси y. Точку пересечения этих прямых обозначим как A. Треугольник M0АМ1 – прямоугольный. Пусть ? – угол между сторонами M0А и M0М1. Тогда AM1/M0А = (y1-y0)/(x1-x0) = tg?. Но (y1-y0)/(x1-x0) = (f(x1)-f(x0))/(x1-x0) = ?f/?x. Отсюда = (f(x1)-f(x0))/(x1-x0) = tga. Поскольку прямая M0А параллельна оси x, то угол ? является углом между секущей и осью абсцисс x. Теперь выполним предельный переход х1 > х0. При этом точка M1 будет стремиться к M0, приближаясь к ней сколь угодно близко. Сама секущая также будет меняться, поворачиваясь вокруг точки M0. При х1 > х0 она будет стремиться к некоторой предельной прямой, которую мы назовем касательной к графику в точке M0. Угол наклона ? касательной мы найдем из (1) устремляя х1 > х0, и воспользовавшись определением производной [20]: tga = limT(x1>х0)??(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)? = f?(x0). Таким образом, производная функции в точке x0 равна тангенсу угла между касательной, проведенной через эту точку, и осью абсцисс. Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом tgа, и проходящей через точку (х0y0) имеет вид: y = y0 + tga (х-х0). Подставляя y0 = f(x0), tga = f?(x0), получаем уравнение касательной к графику в точке х0 (рис. 2): y = f(x0) + f?(x0) (х-х0). Рисунок 2 – Производная функции в x0 равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс: f?(x0) = tg? Рассмотрим график функции y = f (x) (рис. 3): Рисунок 3 – График функции y = f (x) Из рис. 3 видно, что для любых двух точек A и B графика функции где - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A(x0,f(x0)). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f?(x0) имеет вид: y = f?(x0) x0 + b, отсюда, b = f(x0) – f?(x0)·x0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной: y = f(x0) + f?(x0) (x – x0). Нормалью к графику функции y = f(x) в точке A (x0;y0) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу прямых. В случае бесконечной производной касательная в точке x0 становится вертикальной и задается уравнением x = x0, а нормаль – горизонтальной: y = y0. Таким образом, мы изучили понятие касательной и нормали. Сделали вывод о том, что разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной. 1.3. Механический смысл производной первого и второго порядков Пусть задана материальная точка на плоскости. Закон её движения в доль координатной оси описывается по закону x(t), где t задаёт время. Тогда за время от t0 до t0+?t точка проходит путь ?х = х(t0 + ?t) - x(t0). Получается, что средняя скорость такой точки находится по формуле [6]: vcp = ?х/?y Если устремить ?t к нулю, то значение средней скорости будет стремиться к величине называемой мгновенной скоростью в точке t0: limT(t>0)???х/?t? = v(t0) По определению производной через предел получаем связь между скоростью и законом движения пути материальной точки [8]: v(t0) = limT(t>0)???х/?t? = x? (t0) Механический смысл производной заключается в том, что скорость материальной точки равна производной закона пути движения этой точки: x?(t)=v(t) Таким образом, коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной. Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t1; t2) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то координата х (t) убывает. Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения [6]: а = v?(t) Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение. Отметим, что производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t). Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную. Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается f или Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается или f'''(x). Производную n-го порядка обозначают f(n) (x) или y(n). Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение (v= S'; a=v'). 1.4. Анализ учебно-методической литературы по теме «Геометрический и физический смысл производной» Нами был проведен анализ следующих школьных учебников из списка учебников, рекомендованных Министерством просвещения, по теме по теме «Геометрический и физический смысл производной»: 1. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. – 14-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2016. – 400 с. [20]. 2. Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. Алгебра 10-11 класс. – М.: Просвещение, 2022. – 460 с. [2]. 3. Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра и начало математического анализа. 10 класс. – М.: Вентана-Граф, 2019. – 366 с. [18]. В учебнике Мордковича А.Г. геометрический и физический смысл производной раскрывается в главе 7 «Производная» параграфе «Определение производной». Раскрывается смысл физического (механического) смысла производной, который состоит в следующем: если s(t) – закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: v = s'(t). Говорится о том, что на практике во многих отраслях науки используется обобщение полученного равенства: если некоторый процесс протекает по закону s = s(t), то производная s'(t) выражает скорость протекания процесса в момент времени t. А математики говорят так: производная функции y = f(x) выражает скорость изменения функции, т.е. скорость изменения у относительно х. В учебнике Мордковича А.Г. геометрический смысл производной описывается следующим образом: если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х=а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f'(a) выражает угловой коэффициент касательной: k = f'(a) (рис. 4). Рисунок 4 – Геометрический смысл производной Рассмотренные ниже задачи позволяют истолковать производную с физической и геометрической точек зрения. Задача 1 (от скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s = s(t), где t – время (в секундах), s(t) – положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с). Решение. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М (рис. 5): ОМ = s(t). Дадим аргументу t приращение ?t и рассмотрим ситуацию в момент времени t + ?t. Координата материальной точки станет другой, тело в этот момент будет находиться в точке Р: ОР = s(t + ?t). Рисунок 5 – Рисунок к задаче 1 [1] Значит, за ?t секунду тело переместилось из точки М в точку Р. Имеем: МР = ОР – ОМ = s(t + ?t). Полученную разность названа приращением функции: s(t + ?t) - s(t) = ?s. Итак, МР = ?s (м). Нетрудно найти среднюю скорость vср движения тела за промежуток времени [t, t + ?t]: vср = ?s/?t (м/с) Так, мгновенной скоростью можно назвать среднюю скорость движения за промежуток времени [t, t + ?t] при условии, что ?t выбирается все меньше и меньше; точнее: при условии, что ?t>0. Это значит, что v(t) = limT(?t>0)?vср. Подводя итог решению 1 задачи, в учебнике Мордковича А.Г. выводится следующая формула: v = limT(?t>0)???s/?t? Задача 2 (о касательной к графику функции). Дан график функции y = f(x). На нем выбрана точка М (а, f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (предполагается, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной. Решение. Дается аргументу приращение ?х и рассматривается на графике (рис. 6) точка Р с абсциссой а + ?х. Ордината точки Р равна f(а + ?х). Угловой коэффициент секущей МР, т.е. тангенс угла между секущей и осью х, вычисляется по формуле kсек = ?y/?x. Рисунок 6 – График к задаче 2 [1] Если устремить ?х к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно, считать, что угловой коэффициент касательной kкас будет вычисляться по формуле kкас = limT(?х>0)??k_сек ?. Используя проведенную выше формулу для k_сек, получаем: kкас = limT(?х>0)???y/?х ? Дается замечание о том, что в приведенном решении задачи 2 упущен случай, когда касательная перпендикулярна оси абсцисс. Уравнение такой прямой имеет вид х = а, об угловом коэффициенте говорить в этом случае некорректно, поскольку он не существует. Таким образом, две различные задачи в учебнике Мордковича А.Г. привели к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Условия покупки ?
Не смогли найти подходящую работу?
Вы можете заказать учебную работу от 100 рублей у наших авторов.
Оформите заказ и авторы начнут откликаться уже через 5 мин!
Служба поддержки сервиса
+7 (499) 346-70-XX
Принимаем к оплате
Способы оплаты
© «Препод24»

Все права защищены

Разработка движка сайта

/slider/1.jpg /slider/2.jpg /slider/3.jpg /slider/4.jpg /slider/5.jpg