1 Теоретические основы использования заданий историко-математического содержания как средство обучения алгебре учащихся 10-11 классов
1.1 Психолого-педагогические аспекты использования элементов истории математики в школьном математическом образовании
Современное развитие математики требует того, чтобы её преподавание не только обеспечивало прочное овладение учащимися основами математики, но и развивало у них умение применять накопленные знания к решению практических задач. Одним из путей решения этой проблемы может служить использование на уроках математики и в самостоятельной работе исторических фактов, которые показывают становление и развитие математики.
Знакомство учеников с историей математики играет большую роль. В настоящее время, когда федеральные государственные образовательные стандарты предъявляют конкретные требования к знаниям обучающихся после школы, это становится наиболее актуальным. Данной теме посвящены работы разных философов, ученых и методистов.
Б. В. Гнеденко считает, что благодаря различным фактам и сведениям из истории математики у обучающихся формируется научное мировоззрение, создается представление о научной картине мира. Ученики получают возможность осознать, как менялась научная картина мира с течением времени от древности до наших дней; «возможность, во-первых, выявить диалектику развития культуры и научного познания, во-вторых, такой подход сделает зримым представления о науке и культуре как единстве теоретической и практической деятельности» [14]. Таким образом появляется вероятность повысить мировоззренческий и ценностно-смысловой аспекты математического образования в современной школе.
Основу философии образования составляют такие целевые установки, в которых человеческая личность, ее мировоззренческий и творческий потенциал приобретают высокий приоритет.
К. А. Малыгин, рассуждая о роли исторических сведений в курсе математики, пишет: «Сообщение исторических сведений по математике является одной из форм воспитания материалистического мировоззрения и патриотизма на уроках математики. Систематически и правильно поставленное вкрапливание сведений из истории математики способствует лучшему усвоению науки, возбуждает интерес к ней, делает ее не столь «сухой», какой она кажется учащимся» [29].
Конкретные факты из истории математики, по мнению Ю. А. Дробышева, позволят учащимся подробно увидеть, как развитие отдельных стран и общества в целом влияет на развитие математики и определить зависимость развития общественного строя от уровня развития математики [19].
И. К. Шеломанова полагает, что использование исторических сведений в обучении математике способствует достижению основных целей школьного математического образования:
формирование конкретных математических знаний;
пробуждение и развитие у учащихся устойчивого интереса к математике и ее приложениям;
воспитание высокой культуры математического мышления;
побуждению учащихся к самостоятельной творческой работе в области математики;
формирование представления об основных периодах развития математической науки как части общечеловеческой культуры;
раскрытию роли математики в развитии человеческой культуры;
формированию научного мировоззрения
В свою очередь Р. З. Гушель замечает, что «отсутствие исторического подхода к преподаванию математики – серьезный недостаток в нашем математическом образовании» [15]. Его идею продолжает Г. П. Боев, который отмечает, что преподавание математики не стоит на должном уровне, если не сопровождается сообщением сведений исторического характера, выясняющих общекультурное значение рассматриваемого вопроса [8].
Дробышев Ю. А., подчеркивая роль историко-математических сведений в повышении творческого потенциала обучающихся, отмечает, что «использование истории математики учит искусству открытий» [19].
Отвечая на вопрос – «В достаточном ли объеме исторические сведения используются в методической литературе и школьных учебниках?», Л. М. Фридман пишет: «…элементы истории математики вводятся в обучение очень робко в совершенно недостаточном объёме, в отрыве от изучаемого материала, в качестве какого-то приложения. Только лишь поэтому у многих учащихся отсутствуют правильные представления о математике как науке, они не знают основных фактов истории ее возникновения и развития, ее современного состояния и проблем. Все это болезненно сказывается на отношении школьников к математике как к учебному предмету, на мотивации их учебной деятельности» [63].
По мнению Ю. М. Колягина [27] важнейшим средством формирования у школьников высокой математической культуры, активизации обучения математике является эффективная организация и управление учебной деятельностью школьников в процессе решения различных математических заданий.
Наиболее эффективно использование исторического материала в математике будет при включении в урок соответствующих заданий. Данная проблема исследуется многими философами, математиками, педагогами, психологами.
В диссертационном исследовании С. В. Носыревой [42] изучалась проблема обучения учащихся умению решать старинные задачи в целях развития математического мышления, развития способностей учащихся к различным видам деятельности (интеллектуальной, творческой, коммуникативной и рефлексивной), к самообразованию и саморазвитию.
С. В. Носырева в своей диссертации убедительно доказывает, что «старинные задачи выполняют такие значимые функции как знакомство учащихся с общей идеей математического моделирования и формирования у них конкретных умений математического моделирования.
Для разработки методических аспектов в нашем исследовании имеют значение мысли автора о способах использования старинных задач в обучении математике учащихся основной школы: использование задач, расширяющих содержание математики как учебного предмета; представление задач в различной форме; составление новых задач; постановка задач от лица литературного героя; использование дидактических игр и др. [42]. Отбор старинных задач предлагается проводить в соответствии со следующими критериями: наличие в задачах дидактических функций; доступность и понятность их учащимся; способы их решения должны способствовать как формированию стандартных умений, так и творческого мышления школьников; характер их представления должен учитывать психологические особенности восприятия учащимися информации; решение старинной задачи не должно занимать много времени на уроке; система старинных задач должна соответствовать возрастному уровню сложности [42].
Исследование Д. В. Смоляковой [53] посвящено разработке учебных заданий с элементами истории математики, направленных на актуализацию и обогащение различных форм умственного опыта. Использование таких заданий дает возможность повысить качество математической подготовки школьников, способствует формированию их ценностного отношения к предмету, раскрывает мировоззренческое значение математики.
Основу методики использования заданий рассматриваемого вида в работе Д. В. Смоляковой при изучении учащимися основных содержательных линий школьного курса математики составляет методическая схема их органического включения в уроки математики в 5-9-х классах. Автором разработаны специальные методические приемы, способствующие эффективному решению этой проблемы (например, создание проблемных ситуаций на уроках, которые актуализируют и обогащают различные компоненты умственного опыта учащихся, дают возможность находить новые интерпретации известным математическим фактам, видеть развитие математических понятий, методов, взглядов, открытий).
В работах Ю. В. Романова и И. А. Михайловой определены следующие основные виды заданий, содержащие элементы историзма [33; 47]: исторические задачи, старинные задачи, задачи историко-математического содержания, именные задачи.
Задания историко-математического содержания определяются в работе Ю. В. Романова как «задания, предполагающие проведение историко-математического исследования, направленного на определение каких-либо закономерностей развития математики, выявление причин этого развития, его прогнозирование и т. д.» [47, с. 95]. Автором определяются три их типа: задания на определение области, в которой следует искать объект; задания, в которых необходимо найти объект внутри заданной области; задания, в которых имеют место оба типа трудностей, т. е. не определены объект поиска и область поиска.
О. Н. Журавлевой [20] установлено, что «в обучении математике задания историко-математического содержания эффективны в следующих направлениях: во-первых, раскрытие методологической и, во-вторых, общекультурной, гуманитарной составляющих математического знания. Реализация первого направления при использовании этих заданий представляется важной в контексте современных концепций фундаментализации образования и деятельностного подхода. Для учащихся создается возможность ознакомления с методом (приемом, идеей) решения, отличным от представленного в современных учебниках, знакомство с различными способами формулировок гипотез, рассуждений и обоснований в математике, а также сравнение различных методов решения математических задач. Все полученные знания и умения учащийся в дальнейшем может применить для решения новых возникающих перед ним проблем.
Не менее значимым для более глубокого понимания сущности исследуемых математических объектов может быть реализовано и второе направление посредством применения заданий историко-математического содержания: основные линии взаимосвязи науки математики и культуры, различные стороны и направления приложения математики в гуманитарной области. Решение и исследование заданий рассматриваемого типа может приобщать учащихся к общечеловеческим ценностям и всем сферам деятельности человека (практико-ориентированной, научной и т. д.), способствует расширению и углублению знаний по математике» [20, с. 89].
Благодаря использованию исторического материала на уроках математики учитель может заранее увидеть те затруднения и ошибки, которые возникнут при усвоении обучающимися школьной программы.
Таким образом, интеграция исторических сведений с практическими заданиями в процессе обучения будет способствовать формированию мировоззрения школьников, активизировать учебно-познавательный процесс, являться средством развития интереса обучающихся к предмету, способствовать развитию творческих способностей, являться одним из путей реализации гуманитарной направленности обучения математике.
1.2 Различные подходы к применению элементов истории математики и исторических фактов в современной школе
Цель данного параграфа – не только выяснение того, насколько элементы истории математики востребованы в школьном курсе, но и обобщение опыта использования исторического материала в действующих учебниках и учебно-методических пособиях.
Для того, чтобы ответить на данный вопрос мы провели эмпирическое исследование запросов учителей и учащихся в историческом материале.
Данное исследование проводилось в форме анкетирования, интервьюирования, бесед с учащимися и учителями. В нем приняли участие школьники 10-11 классов (90 человек) МБОУ «Центр образования – СОШ №12», МБОУ «Лицей №4», МБОУ «СОШ №8» Рузаевского муниципального района, а также учителя данных образовательных учреждений.
Предполагалось выявить, какие элементы истории математики более интересны учащимся; выяснить соответствующие познавательные потребности школьников; установить используемые формы организации исторического материала на уроках; узнать мнение учителей о том, какую роль, исходя из их опыта, может дать учащимся исторический материал; тем самым выявить необходимость и эффективность использования исторического материала на уроках математики.
Приведем пример комплекса вопросов, заданных школьникам.
Хотелось бы вам узнать что-либо из истории математики?
Часто ли у Вас в процессе обучения используются какие-то факты из истории математики или исторические факты в контексте заданий?
Как вы относитесь к тому, что на уроках будут использованы не только современные методы решения задач / современные задания, но и старинные / содержащие исторический факт?
В какой форме вам хотелось бы изучить историю математики или интегрировать исторические факты с математикой?
рассказ учителя;
доклад ученика;
математический вечер, экскурсы в историю;
история в заданиях, упражнениях;
другой вариант ______________________ .
Нужна ли история математики в школе? Нужно ли интегрировать исторические факты с учебными заданиями? Если да, то для чего это нужно,
что это может вам дать? Свой ответ обоснуйте.
Приведем пример комплекса вопросов, заданных учителям.
Как Вы считаете, нужно ли на уроках математики использовать исторический материал и задания историко-математического содержания? Почему?
Используете ли Вы задания историко-математического содержания на своих уроках, сборники старинных задач по математике? В какой форме?
Когда целесообразно использовать элементы истории математики?
при введении новой темы;
при закреплении темы;
другой вариант ________________________ .
С какими из трудностей вы столкнулись при включении заданий историко-математического содержания и исторических фактов в содержание уроков алгебры?
Нужны ли пособия по истории математики заданиям историко-математического содержания для учителей? Что они должны включать в себя?
Что, по вашему мнению, может дать учащимся исторический материал задания историко-математического содержания на уроках алгебры?
После анкетирования учащихся и учителей были получены следующие результаты. Ответы на вопрос: «Что, по вашему мнению, может дать учащимся исторический материал?» были самыми различными. Они обобщены и показаны на рисунке 1. По вертикальной оси обозначен суммарный процент выбора учителями того или иного ответа, по горизонтальной оси – варианты ответов.
Рисунок 1 Результаты анкетирования
Результаты показали, что учителя видят потребность в привлечении элементов истории математики в процесс обучения, как средства повышения интереса к предмету (27%); расширения кругозора учащихся (25%); более глубокого понимания изучаемой темы (23%); возможность решать задачи другими методами, способами (17%); развитие интеллектуальных возможностей учащихся на различных этапах их познавательной деятельности (8%).
Проанализируем ответы школьников на некоторые из предложенных вопросов. Например, ответы на вопрос: «Нужна ли история математики в школе?» отражены в таблице 1.
Таблица 1
Востребованность элементов истории математики в основной школе (в %)
Класс История математики и задания историко-математического содержания нужны История математики и задания историко-математического содержания не нужны
как отдельный курс как элемент урока всего
10 62,8 18,2 81,0 19,0
11 47,0 12,0 59,0 41,0
Из таблицы видно, что наибольшую востребованность в историческом материале испытывают учащиеся 10 классов – 81 %.
Таким образом, большинство учащихся 10-х классов заинтересованы в изучении истории математики. Они хотели бы иметь такие материалы по истории математики, которые: «содержали бы историю происхождения терминов, их обозначений», «помогали бы узнать, как в истории науки подходили к тому или иному выводу формул, правил», «дали бы возможность увидеть как развивалась математика», «позволили бы узнать способы и алгоритмы решений задач, используемые ранее», «содержали бы биографии великих ученых», «предлагали бы различные исторические задачи». Таким образом, учащихся интересуют активные формы предъявления истории математики.
Следовательно, школьникам нужны не просто исторические факты на уроках математики, как факты, а им необходимы такие учебные задания по истории математики, которые учили бы их анализировать материалы истории, обогащали умственный опыт, учили устанавливать связи времен.
В целом результаты проведенного исследования показали необходимость использования истории математики, ее востребованность. Причем, одной из задач, выявленной по результатам исследования, стал поиск форм предъявления элементов истории математики и определение целей использования истории математики на уроках. В связи с этим интерес представило обращение к научной, учебно-методической литературе, содержащей исторические материалы. В частности, нас интересовало, каков характер использования исторического материала в действующих учебниках по математике.
Вопросам использования истории математики посвящены работы на уровне пособий – Г. И. Глейзер [13], на уровне очерков по истории математики – Б. В. Болгарский, А. И. Володарский, В. Н. Раик, К. А. Рыбников, Д. Я. Стройк [9, 11, 46, 48, 54], на уровне пособий для учащихся – И. И. Баврин [4], на уровне монографий – Э. И. Березкина [7], на уровне диссертационных исследований – В. А. Алексеева, И. А. Михайлова, С. С. Мучкаева, С. В. Носырева, Д. В. Смолякова [2, 33, 38, 42, 53].
Например, отметим пособие Г. И. Глейзера «История математики в школе» [13]. Материал пособия распределен по классам и темам в соответствии с программой школьного курса математики. Выделены разделы истории арифметики, алгебры, начала анализа, которые могут быть использованы на уроках и внеклассных занятиях. Этот материал может служить основой для использования элементов истории математики на уроках математики. Ценным и полезным для учителя математики является хронологический справочник по истории математики, который дает возможность определить важные вехи в развитии истории науки.
Остановимся на характере материала по истории математики, использованном в рекомендованных учебниках.
В учебнике С. М. Никольского, М. К. Потапова, Н. Н. Решетникова, А. В. Шевкина [40] материал по истории математики собран в специальные разделы «Исторические сведения», которые завершают каждую главу учебника. Структура раздела такова, что учащимся сообщается с именами каких ученых связана история изучаемого вопроса и приводятся соответствующие результаты деятельности этого ученого. Текст носит повествовательный характер. Приведем фрагмент одного из таких текстов, предложенных учащимся после изучения главы «Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции».
«В XI-XII вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной науки. У индийских ученых линия синусов именовалась «архаджива», что буквально означало «половина тетивы лука». Для угла ? линия синусов – это хорда единичной окружности, соответствующая центральному углу 2?. Ее длина равна 2 sin??. В Индии были составлены таблицы значений синусов для всех углов от 0° до 90° через каждые 3°45'. Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея. Об их высокой точности говорит то факт, что для синуса и косинуса 3°45' были вычислены значения 100/1529 и 466/467, отличающиеся от истинных менее чем на 0,00000001.
Косинус индийцы называли «котиджива», т.е. синус остатка (до четверти окружности). В XV в. Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436 – 1476), известный в науке под именем Региомонтан, как и другие математики, применял для понятия «косинус дуги x» латинский термин sinus complementi, т.е. синус дополнения, имея в виду sin?(90°-x). От перестановки этих слов и сокращения одного из них (co-sinus) образовался термин «косинус», встречающийся в 1620 г. у английского астронома Э. Гунтера, изобретателя счетной линейки» [40].
Помимо теоретических сведений в учебнике встречаются старинные задачи, приведем примеры задач.
Задача Паппа Александрийского (III в.). Докажите, что если a, b, c и d – положительные числа и a/b>c/d, то выполняется неравенство ad > bc.
Из сборника задач П. А. Ларичева.
а) Упростите выражение
(a/(a-2b)+b/(a+2b))•(a^3+8b^3)/(a^3+3a^2 b-2ab^2 )
и найдите его значение при a = 0,5, b = -1.
б) Упростите выражение
(a+2b)/(3a-3b)-(3c-a)/(2a-2c)+(a^2-bc)/(a^2-ac+bc-ab)
и найдите его значение при a=1/6, b = -1.
Кроме того, авторы этого же учебника в разделе «задачи на повторение» предлагают учащимся некоторые старинные задачи. Приведем пример одной из таких задач.
Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто покупает 40 мер пшеницы, 24 ячменя и 20 овса за 15 фунтов 12 шиллингов. Затем он производит вторую закупку тех же сортов в 26 мер пшеницы, 30 ячменя и 50 овса за 16 фунтов. Наконец, он делает третью закупку тех же сортов в 24 меры пшеницы, 120 ячменя и 100 овса за 34 фунта. Спрашивается цена меры каждого рода зерновых [40].
Использование старинных задач позволяет значительно расширить возможности для развития мышления и речи учащихся, разнообразить приемы решения задач, расширить их представления о способах решения задач в далекие времена, может способствовать развитию школьников, формированию у них интереса к решению задач и к самой математике. Работа со старинными задачами также способствует воспитанию уважения к традициям и истории, но, как нам кажется, этот материал выиграл, если бы они вписывались в контекст изучаемого учебного материала
В учебнике Г. К. Муравина «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» [33] элементы истории математики непосредственно включены в текст параграфа, выполняя мотивационную функцию, функцию принятия иной точки зрения при решении поставленной задачи. Так, например, для осознания учащимися целесообразности использования свойств логарифмов авторы приводят открытия ученых и рассуждения Пьера Лапласса.
«Логарифмы, как средство для упрощения вычислений, были изобретены в начале XVII в. Титанический труд швейцарца И. Бюрги, шотландца Д. Непера, англичанина Г. Бригса и голландца А. Влакка, составивших многозначные логарифмические таблицы, более 300 лет помогал людям выполнять различные вычисления. «Открытие логарифмов, – как сказал знаменитый французский математик, физик и астроном Пьер Лаплас, – удлинило человеческую жизнь, если оценивать ее не числом прожитых лет, а количеством сделанной работы».
В учебнике Ю. М. Колягина «Алгебра и начала математического анализа 10 класс» [25] можно встретить задания историко-математического содержания, например следующего типа.
Для успешного лечения пациента медикам приходится оценивать площадь поверхности тела больного. Ни рост, ни вес в отдельности не являются полноценной характеристикой площади поверхности кожного покрова человека. На основе многочисленных экспериментов в 1916 г. Два медика Д. Ф. Дьюбос и Е. Ф. Дьюбос предложили формулу для вычисления в квадратных метрах площади поверхности человеческого тела: S=aH^b W^c, где H – рост человека (см), W – вес человека (кг), коэффициенты a, b и c – числа, которые на 401-м испытуемом были определены ученым Е. Гелханом и С. Джорджем так: a?0,02350,b?0,42246,c?0,51456. Найти площадь поверхности S тела человека, имеющего рост 170 см и вес 70 кг. Найти S того же человека, округлив значения коэффициентов a, b и c до одной значащей цифры; до двух значащих цифр.
Примеры задач в курсе алгебры и начала математического анализа Ю. М. Колягина.
Когда Х. Гюйгенс (1629-1695) открыл кольцо Сатурна, он оставил следующую анаграмму:
aaaaaaa ccccc d eeeee g h iiiiiii llll mm
nnnnnnnnn oooo pp q rr s ttttt uuuuu.
Этими буквами записывается фраза «Annulo cingitur tenui plano, nusquam cohaerente, ad eclipticam inclinato» («Окружен кольцом, тонким, плоским, нигде не подвешенным, наклонным к эклиптике»). Сколько различных анаграмм можно составить из букв зашифрованной Гюйгенсом фразы?
Примерно так же материал по истории математики представлен в учебниках Ш. А. Алимова и др., А. Г. Мерзляка и др. [3, 30, 31]. В них тексты по истории математики тоже носят повествовательный характер, не содержат обращения авторов учебников к учащимся, что могло бы способствовать развитию оценочной деятельности учащихся при рассмотрении элементов истории математики.
Таким образом, анализ учебников показал, что чаще всего исторические материалы представлены специальными разделами, или примечаниями, которые содержат рассказы о старинных способах решения задач, о вкладе отдельных ученых в развитие той или иной отрасли математических знаний. Следует заметить, что изложение исторического материала, в основном, носит повествовательный характер, он чаще всего предлагается как дополнительный материал, выполняя при этом, в основном, информационную функцию, т.е. осуществляет передачу учащимся сведений об определенной области научных знаний в рамках изучаемого предмета. Учащимся редко предлагается соотнести свой собственный опыт изучения математики с историей развития соответствующего вопроса. Они, в основном, являются пассивными наблюдателями исторических процессов, а не включаются сами в активную деятельность.
Таким образом, наблюдается некоторое противоречие между возможностями исторического материала в развитии учащихся и предлагаемыми формами его предъявления, современными подходами к обработке информации и использованием исторического материала в школе.
Обратимся к диссертационным исследованиям, посвященным проблеме использования исторического материала.
В диссертационном исследовании С. В. Носыревой [42], показано использование старинных задач в процессе обучения математике.
