Глава I. Теоретические основы обучения комбинаторике и элементам теории вероятностей в 7-9 классах основной школы
1.1 История развития теории вероятностей и комбинаторики
История развития теории вероятностей начинается с систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появления соответствующего математического аппарата. В начале XVII века знаменитый физик Галилей уже пытался подвергнуть научному исследованию ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные и оценивая их вероятности.
Необходимо было начать изучение закономерности случайных явлений на более простом материале. Таким материалом исторически оказались «азартные игры». Эти игры с давних времен создавались рядом поколений именно так, чтобы в них исход опыта был независим от поддающихся наблюдению условий опыта, был чисто случайным. Само слово «азарт» произошло от французского «lehasard» и означает «случай». Схемы «азартных игр» дают исключительные по простоте и прозрачности модели случайных явлений, позволяющие в наиболее отчетливой форме наблюдать и изучать управляющие ими специфические законы, а возможность неограниченно повторять один и тот же опыт обеспечивает экспериментальную проверку этих законов в условии действительной массовости явлений. Вплоть до настоящего времени примеры из области «азартных игр» и аналогичные им задачи на «схему урн» широко применяются при изучении теории вероятностей как упрощенные модели случайных явлений, иллюстрирующие в наиболее простом и наглядном виде основные законы и правила теории вероятностей.[6]
Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля (1623-1662 гг.), Ферма (1601-1665 гг.) и Гюйгенса (1629-1695 гг.) в области «теории азартных игр». В этих работах постепенно сформировались такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их основные свойства и приемы их вычисления. Непосредственное практическое применение вероятностные методы нашли прежде всего в задачах страхования. В 30-е годы XVIII века классическое понятие вероятности стало общепринятым в употребление.
Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654-1705 гг.). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей – так называемый «закон больших чисел», а также в трактате Бернулли «Искусство предположений» присутствуют уже обе концепции вероятности – классическая и статистическая, обе они изложены не очень четко, но существенно то, что они уже введены в рассмотрение и использование. Яков Бернулли дал простейшую формулировку «закона больших чисел», которая устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления.[8]
Однако уже в первой половине XVIII века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применения и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому возникла необходимость его расширения. Таким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Жоржа-Луи Бюффона (1707-1788 гг.), в которых он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение.
В XX столетии интерес к геометрической вероятности многократно возрос. Помимо чисто математического интереса, такие задачи приобрели и серьезное прикладное значение в физике, биологии, медицине, инженерном деле и других областях.
Другой важный этап в развитии теории вероятностей связан с именем Муавра (1667-1754 гг.). Этот ученый впервые ввел в рассмотрение и для простейшего случая обосновал своеобразный закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях: так называемый «нормальный закон» (иначе - «закон Гаусса»). Нормальный закон играет исключительно важную роль в случайных явлениях. Теоремы, обосновывающие этот закон для тех или иных условий, носят в теории вероятностей общее название «центральная предельная теорема».[3]
Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей принадлежит знаменитому математику Лапласу (1749-1827 гг.). Он впервые дал систематически стройное изложение основ теории вероятностей, дал доказательство одной из форм центральной предельной теоремы (теорема Муавра-Лапласа) и развил ряд замечательных приложений теории вероятностей к вопросам практики, в частности к анализу ошибок наблюдений и измерений.
Значительный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777-1855 гг.), который дал еще более общее обоснование нормальному закону и разработал метод обработки экспериментальных данных, известный под названием «метод наименьших квадратов». Следует также отметить работы Пуассона (1781-1840 гг.), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы.
Для всего XVIII и начала XIX века характерны бурное развитие теории вероятностей и повсеместное увлечение ее изучением. В это время в России создается знаменитая Петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей была поставлена на прочную логическую и математическую основу и сделана надежным, точным и эффективным методом познания. Среди ученых Петербургской математической школы следует отметить В.Я. Буняковского (1804-1889 гг.) – автора первого курса теории вероятностей на русском языке, создателя современной русской терминологии в теории вероятностей, автора оригинальных исследований в области статистики и демографии. Учеником В.Я. Буняковского был великий русский математик П.Л. Чебышев (1821-1894 гг.). Среди обширных и разнообразных математических трудов П.Л. Чебышеву принадлежит дальнейшее расширение и обобщение закона больших чисел. Кроме того, П.Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей весьма мощный и плодотворный метод моментов. Учеником П.Л. Чебышева был А.А. Марков (1856-1922 гг.), также обогативший теорию вероятностей открытиями и методами большой важности. А.А. Марков существенно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но на зависимые опыты. Важнейшей заслугой А.А. Маркова явилось то, что он заложил основы совершенно новой ветви теории вероятностей – теории случайных, или «стохастических», процессов.[6]
Характерной особенностью работ Петербургской математической школы была исключительная четкость постановки задач, полная математическая строгость применяемых методов и наряду с этим тесная связь теории с непосредственными требованиями практики. Трудами ученых Петербургской математической школы теория вероятностей была выведена с задворок науки и поставлена как полноправный член в ряд точных математических наук.
Современное развитие теории вероятностей характерно всеобщим подъемом интереса к ней и резким расширением круга ее практических применений. За последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся наук, тесно связанную с потребностями практики и техники.
А.Я. Хинчин (1893-1959 гг.) известен своими исследованиями в области дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, и главным образом своими исследованиями в области так называемых стационарных случайных процессов.
Подход, предложенный А.Н. Колмогоровым, тесно связывает теорию вероятностей с современной метрической теорией функций, а также теорией множеств. Аксиоматическое построение теории вероятностей отталкивается от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений. На этой базе удалось построить логически совершенное задание современной теории вероятностей и то же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания.
В.И. Романовский (1879-1954 гг.) и Н.В. Смирнов известны своими работами в области математической статистики, Е.Е. Слуцкий (1880-1948 гг.) – в теории случайных процессов, Б.В. Гнеденко – в области теории массового обслуживания, Е.Б. Дынкин – в области марковских случайных процессов, В.С. Пугачев – в области случайных процессов в применении к задачам автоматического управления.
Развитие зарубежной теории вероятностей в настоящее время также идет усиленными темпами в связи с требованиями практики. Значительные работы в этой области принадлежат таким ученым, как Н. Винер, В. Феллер, Д. Дуб. Важные работы в области теории вероятностей и математической статистики принадлежат Р. Фишеру, Д. Нейману и Г. Крамеру.
За последние годы появились методы применения прикладной теории вероятностей. Речь идет о таких дисциплинах, как «теория информации» и «теория массового обслуживания». Связь теории вероятностей с практическими потребностями была основной причиной ее бурного развития в последние годы.
Намного раньше началось развитие комбинаторики. Ее история освещает развитие большого раздела конечной математики, который исследует в основном различные способы выборки заданного числа m элементов из заданного конечного множества: размещения, сочетания, перестановки, перечисления и смежные проблемы.
Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н.э.). По мнению ее авторов, все в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в «Го» и другие игры. Большой интерес математиков многих стран с древних времен неизменно вызывали магические квадраты.[4]
Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь m элементов из N возможных» упоминается еще в сутрах древней Индии (начиная примерно с IV века до н.э.). Индийские математики, видимо, первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона. Во II веке до н.э. индийцы знали, что сумма всех биномиальных коэффициентов степени n равна 2n.
Античные греки также рассматривали отдельные комбинаторные задачи, хотя систематическое изложение ими этих вопросов, если оно и существовало, до нас не дошло. Хрисипп (III век до н.э.) и Гиппарх (II век до н.э.) подсчитывали, сколько следствий можно получить из 10 аксиом; методика подсчета нам неизвестна, но у Хрисиппа получилось более миллиона, а у Гиппарха – более 100000. Аристотель при изложении своей логики безошибочно перечислил все возможные типы трехчленных силлогизмов. Аристоксен рассмотрел различные чередования длинных и коротких слогов в стихотворных размерах.[8]
В XII веке индийский математик Бхаскара в своем основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями.
В Западной Европе ряд глубоких открытий в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра (XII век) и Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век). Ибн Эзра подсчитывал число размещений с перестановками в огласовках имени Бога и обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчета и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний.
Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века), Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики. Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Ученик Лейбница Якоб Бернулли изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713 г.) множество сведений по комбинаторике.
В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» («combination») впервые встречается у Паскаля (1653 г., опубликован в 1665 году). Термин «перестановка» («permutation») употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин «размещение» («arrangement»). После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала.
Окончательно комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в трудах Эйлера. Он детально рассмотрел, например, следующие проблемы:
- задача о ходе коня;
- задача о семи мостах, с которой началась теория графов;
- построение греко-латинских квадратов;
- обобщенные перестановки.
Кроме перестановок и сочетаний, Эйлер изучал разбиения, а также сочетания и размещения с условиями.
Вывод: В начале XX века начала развиваться комбинаторная геометрия: были доказаны теоремы Минковского-Радона, Радона, Хелли, Юнга, Бляшке, а также строго доказана изопериметрическая теорема. На стыке топологии, анализа и комбинаторики были доказаны теоремы Борсука-Улама и Люстерника-Шнирельмана. Во второй четверти XX века были поставлены проблема Борсука и проблема Нелсона-Эрдёша-Хадвигера. В 1940-х годах оформилась теория Рамсея. Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдеш, который ввел в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.
1.2 Анализ содержания и методики изложения раздела «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в УМК для 7-9 классов
В наше время никто не сомневается в необходимости включения стохастической линии в школьный курс математики, так как теория вероятностей занимает большое место в науке и прикладной деятельности. В обыденной жизни мы постоянно сталкиваемся с такими явлениями, как выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Мы должны уметь анализировать и обрабатывать информацию и принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.
Вместе с тем, внедрение стохастической линии в школьный курс сопряжено с определенными проблемами, что, прежде всего, связано с методической неподготовленностью учителей и отсутствием единой методики в школьных учебниках.
Изучим и проанализируем содержание и методику изложения раздела «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в наиболее распространенных учебно-методических комплексах для 7-9 классов общеобразовательной школы.
Содержание материала, обязательно изучаемого по данной теме в курсе основной школы, должно включать: понятие и примеры случайных событий; понятия частоты события и вероятности; равновозможные события и подсчет их вероятности; представление о геометрической вероятности; представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков; средние результаты измерений; понятие о статистическом выводе на основе выборки.
Вот уже несколько лет большинство школ нашего региона работают по учебным комплектам «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева. В этих учебниках последовательно с 7 по 9 класс вводится вероятностно-статистическая линия. Материал в данных учебниках излагается простым языком и постоянно делается упор на жизненный опыт учащихся.
Седьмой класс начинается с рассмотрения основных статистических характеристик: среднее арифметическое, мода, размах. Снова приводится множеством примеров из жизни. Опять рассматриваются комбинаторные задачи, вводятся перестановки. В завершении курса 7 класса продолжаем рассматривать вероятность и частоту случайных событий. [10]
В 8 классе вводится новая статистическая характеристика – медиана. Вводятся таблицы частот. Рассматриваются практические примеры, описываются различные жизненные ситуации. В 8 классе вводится классическое определение вероятности, данное Лапласом. Рассматриваются геометрические вероятности.[11]
В учебнике 9 класса рассматриваются статистические исследования, вводится определение статистики, новые понятия: генеральная совокупность, выборка, репрезентативность, объем выборки, ранжирование. В главе рассматриваются доступные учащимся примеры статистических исследований, наиболее интересные школьнику, такие как: «Как исследуют качество знаний школьников?» или «Какая профессия наиболее востребована в наше время?». Вводится новый способ графического представления результатов – полигоны и появляются новые понятия, такие как, выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение.[12]
Изучив, данный комплект учебников, можно сделать следующий вывод: во-первых, курс рассчитан на 5- 9 классы, в отличие от большинства других учебников, в которых эти вопросы рассматривают лишь с 7 по 9 классы; во-вторых, в этом учебно-методическом комплексе темы комбинаторика, статистика и теория вероятностей изучаются параллельно.
На данный момент одним из действующих в общеобразовательных школах является комплект учебников А.Г. Мордковича: «Алгебра 7-9»
К УМК «Курс алгебры 7-9 классов» имеется дополнительный вкладыш: А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. «События. Вероятности. Статистическая обработка данных», содержащий пять параграфов.
Каждый параграф, в свою очередь, делится на две части: в первой части на большом количестве конкретных примеров изложены начальные положения, идеи и методы комбинаторики, теории вероятностей, и статистики; во второй собраны упражнения для классных, домашних, самостоятельных и контрольных работ.
Первые два параграфа посвящены комбинаторике. Вначале приводятся простые комбинаторные задачи, решаемые с помощью перебора и дерева возможных вариантов. Рассматриваются сочетания.
Третий параграф – случайные события и их вероятность. Вводится классическое определение вероятности.
Четвертый параграф посвящен статистике. Формируется умение работать с информацией в виде таблиц, диаграмм. В этом параграфе вводится много новых терминов (среднее арифметическое, мода, медиана и др.) и все они оформлены в виде таблицы, где кроме определений есть еще и их описание. Далее вводится определение статистической вероятности.
И завершает учебник параграф, содержащий материал по следующим вопросам: схема Бернулли (при рассмотрении двух возможных исходов), вычисление вероятности с помощью функции ?, закон больших чисел.
В этом учебном пособии, на мой взгляд, недостаточно внимания уделено теории вероятностей: как теоретической, так и практической ее части, что, несомненно, является недостатком. Достоинство данного пособия то, что теоремы и определения формулируются только после рассмотрения достаточного количества практических примеров, когда становится ясной необходимость их введения.[20]
Рассмотрим еще один комплект учебников Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова «Алгебра 7-9», под редакцией С.А. Теляковского. Дополнением к этому комплекту является учебное пособие: «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей», под редакцией С.А. Теляковского.
Пособие состоит из четырех параграфов, в каждом из которых содержатся теоретические сведения и практические задания. В каждом параграф имеются задания повышенной сложности и упражнения на повторение изученного материала.
В седьмом классе (параграф «Статистические характеристики») учащиеся знакомятся со статистическими характеристиками, такими как среднее арифметическое, мода, медиана, размах.[16]
В восьмом классе (параграф «Статистические исследования») рассматриваются вопросы организации статистических исследований и наглядного представления статистической информации (таблицы частот). Сначала повторяются основные статистические характеристики. Вводятся новые понятия: интервальный ряд, сплошное и выборочное исследования, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность. Знакомство с новыми видами наглядной интерпретации результатов статистических исследований – полигонами и гистограммами. [14]
В девятом классе дается самое большое количество материала, который распределен по двум параграфам.
«Элементы комбинаторики»: школьники знакомятся с комбинаторными задачами и их решением с помощью перебора возможных вариантов и построения дерева возможных вариантов; вводятся понятия перестановки, размещения и сочетания.
«Начальные сведения из теории вероятностей»: подача нового материала начинается с рассмотрения эксперимента, после вводится понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Затем вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». [15]
В данном УМК многие элементы вводятся так же образом, как и в учебном комплекте Г.В. Дорофеева. Но практически весь материал сокращен, за исключением комбинаторики, которая содержит больше и теории, и задач. На мой взгляд, комбинаторику и начальные сведения из теории вероятностей предлагается изучать слишком поздно, что является минусом этого пособия. Плюсом данного УМК является практическая часть, содержащая большое количество хорошо подобранных упражнений разного уровня сложности.
Методические рекомендации к учебнику даны в статьях Ю.Н. Макарычева и Н.Г. Миндюк [23]. В статье В.Н. Студенецкой и О.М. Фадеевой [30] анализируется содержание рассматриваемого учебника, предлагаются некоторые рекомендации, цель которых помочь учителю разобраться в материале и изложить, не допустив ошибок.
В методическом пособии М.В. Ткачевой «Элементы статистики и вероятность» [32] сначала вводится классическое определение вероятности события, далее вводится понятие относительной частоты. Введению в комбинаторику начинается в 1-й главе 7-го класса. Во 2-й главе 8-го класса вводятся элементы теории вероятностей: случайные события, вероятность события, относительная частота. В 3-ей главе 9-го класса изучаются дискретные и непрерывные случайные величины, а также элементы статистики: таблицы распределения случайной величины, генеральная совокупность и выборка, мода, медиана, размах. По мнению И. Баландиной [1], данное пособие имеет некоторые недостатки. Авторы пособия элементы статистики излагают по завершению материала: сначала рассматривается классическое определение вероятности и только после этого вводится понятие частоты. Статистические характеристики необходимые для обработки статистических данных содержатся в конце учебника. Также методические рекомендации к первой главе данного учебного пособия можно найти в статье М.В. Ткачевой [32]. В методическом пособии А.Г. Мордковича, П.В.Семенова «События, вероятности. Статистическая обработка данных» [26] изложение материала начинается с комбинаторики. Комбинаторные задачи решаются при помощи таблиц и деревьев возможных вариантов. На примерах вводится понятие сочетания, также объясняется формула для вычисления числа сочетаний. Классическое определение вероятности в данном пособии предшествует введению элементов статистики. В пособии рассматривается схема Бернулли.
Некоторые замечания к содержанию данного пособия излагаются в статье В.М. Студенецкой и О.М. Фадеевой [30]. Понятие вероятность довольно удачно вводится в учебном пособии «Вероятность и статистика» авторы Е.А. Бунимович, В.А. Булычев [2].
Начинается пособие с рассмотрения случайных событий и сравнения вероятности их наступления. Затем, с помощью эксперимента рассматривается понятие частоты, анализируются таблицы частот и строятся гистограммы. Статистическое определение вероятности предшествует классическому определению. Пункт «Вероятность и комбинаторика» содержит правила умножения, вычитания, сочетания и число сочетаний, которые применяются при вычислении вероятности. В пункте «Точка тоже бывает случайной» рассматривается геометрическое определение вероятности. В последнем пункте рассматриваются вопросы статистического оценивания и прогнозирования. Последний пункт имеет практическое значение, содержит ряд интересных задач, непосредственно связанных с реальной жизнью.
