1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1.1 ПОНЯТИЕ "ФРАКТАЛ И ЕГО ИСТОРИЯ"
Фракталы - это геометрические объекты с необычными свойствами самоподобия объект в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого то - есть целое имеет ту же форму что одна или более частей. В 19 веке возникла первая идея о фрактальной геометрии. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры преобразовал линию в набор несвязанных точек (так именуемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную третью часть и впоследствии повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии.
На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии. Дальше он проделывал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость.
Эти изумительные фигуры стали обширно популярны в 70-х годах прошлого века благодаря Бенуа Мандельброту, работавшему тогда математическим специалистом в компании IBM. Сопоставляя факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии. Он придумал термин «фрактал» . Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», его часто характеризует как отца фрактальной геометрии
Фрактальная геометрия - это один из разделов теории хаоса. Фракталами называют бесконечные самоподобные фигуры, каждый из которых повторяется при уменьшении масштаба.
Роль фракталов сейчас довольно велика. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима для создания искусственного
происхождения облаков, гор, поверхности моря. В самом простом случае малая часть фракталов имеет информацию обо всем фрактале.
Фракталы все чаще используются в науке. Основная причина этого заключается в том, что они встречаются в реальности.
1.2 ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛОВ
Фракталы применяются в разных сферах жизни, приведем несколько примеров:
Компьютерные системы. Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке считается фрактальное сжатие данных. Этот тип сжатия основан на том, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. В то же время изображения сжимаются намного лучше, чем традиционные методы (например, jpeg или gif). Еще одно преимущество фрактального сжатия заключается в том, что при увеличении изображения, не возникает пиксельного эффекта (увеличение точек до размера, который искажает изображение). При фрактальном сжатии изображение, часто выглядит еще лучше, чем раньше, после масштабирования.
Механика жидкостей. Изучение турбулентности в течениях очень хорошо адаптируется к фракталам. Турбулентные течения хаотичны, поэтому их трудно точно смоделировать. Переход к фрактальному представлению, что значительно облегчает работу инженеров и физиков, позволяя им лучше понять динамику сложных систем.
?
При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени. Пористые материалы хорошо представлены во фрактальной форме, так как они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.
Телекоммуникации. На больших расстояний для передачи данных используются антенны с фрактальными формами, которые значительно уменьшают их размер и вес.
Физика поверхностей. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется сочетанием двух разных фракталов.
Медицина. Используется биосенсорные взаимодействия и биения сердца.
Биология. Моделирование хаотических процессов, особенно при описании популяционных моделей.
1.3 ТЕОРИЯ ХАОСА
Теория хаоса - это изучение сложных нелинейных динамических систем. Формально, теория хаоса определяется как теория сложных нелинейных динамических систем. Термин «сложный» означает это, а термин «нелинейный» понимается как рекурсия и алгоритмы из высшей математики, и, в конечном счете, динамические - означает непостоянные и непериодические. Таким образом, теория хаоса - это изучение постоянно меняющихся сложных систем, основанных на математических концепциях рекурсии, в форме ли рекурсивного процесса или набора дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему.
Наиболее распространенным несоответствием является то, что люди считают, что теория хаоса - это теория о беспорядке. Ничто не может быть так далеко от истины! Это не отрицание детерминизма, не утверждение невозможности упорядоченных систем, не отрицание экспериментальных утверждений и не указание на бесполезность сложных систем.
Хаос в теории хаоса - это порядок, просто порядок, а сущность порядка.
Это правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут иметь огромный эффект. Но одним из центральных понятий теории является неспособность точно предсказать состояния системы.
В целом задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса фокусируется не на беспорядке в системе - наследственной непредсказуемости системы - а на унаследованном порядке от нее - в общем поведении таких систем.
Поэтому было бы неправильно говорить, что теория хаоса связано с беспорядком. Чтобы пояснить это на примере, возьмем аттрактор Лоренца. Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере. Он основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях.
Рисунок 1. Аттрактор Лоренца.
Аттрактор представляет поведение газа в любом определенном время, и его состояние в данный момент зависит от состояния в предшествующие моменты. Если исходные данные изменяются даже в очень малых размерах, скажем, что эти величины настолько малы настолько, что соответствуют вкладу каждого атома в число Авогадро (которое очень мало по сравнению со значениями порядка 1024), проверка состояния аттрактора показывает совершенно другие числа. Это происходит потому, что небольшие различия увеличиваются в результате рекурсии.
Однако, несмотря на это, график аттрактора будет выглядеть довольно похоже. Обе системы имеют совершенно разные значения в данный момент времени, но график аттрактора останется неизменной, поскольку она выражает общее поведение системы.
Теория хаоса утверждает, что сложные нелинейные системы крайне непредсказуемы, но в то же время теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредвиденных систем заключается не в точных равенствах, а в представлениях о поведении системы - в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, которую многие считают непредсказуемой, оказывается наукой о предсказуемости даже в самых неблагоприятных системах.
1.4 ВИДЫ ФРАКТАЛОВ
Решётка Серпинского. Это один из фракталов, с которыми Мандельброт экспериментировал, при разработке концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, формируются путем соединения средних точек большего треугольника, вырезаны из главного треугольника и формирования треугольника с несколькими отверстиями. В этом случае инициатором является большой треугольник, а шаблон - операция вырезания треугольников, соответствующих большему.
Так же можно получить и трехмерные версии треугольника, используя обычный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Такой размер фрактала равен ln3/ln2 = 1.584962501.
Чтобы получить ковер Серпинского, возьмем квадрат, разделим ее на девять квадратов, а средний вырежем. То же самое сделаем и с другими, меньшими квадратами. Наконец, образуются плоская фрактальная сетка, которая не имеют площади, но имеют бесконечные связи. В своей пространственной форме, губка Серпинского превращается в систему сквозных форм, которые постоянно заменяются себе подобным каждый сквозной элемент. Эта структура очень похожа на разрез костной ткани.
?
Рисунок 2. Решётка Серпинского
Рисунок 3. Губка Серпинского
.
Треугольник Серпинского. Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом же фрактале, инициатор и генератор одинаковы. На каждой стороне треугольника отметим середину по получившимся трем точкам, строим треугольник, в итоге получается четыре маленьких треугольника одного размера, из которых треугольник в середине мы не трогаем, а с остальными тремя треугольниками проделываем именно в результате бесконечного выполнения этого действия, получим очень красиво и множество, которое будет сама подобным. Его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0.
Рисунок 4. Треугольник Серпинского.
Кривая Коха. Кривая Коха - один из наиболее типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, пришел на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор представляет собой равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своих исследованиях, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры, такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507.
?
Рисунок 5. Кривая Коха.
Фрактал Мандельброта. Это не множество Мандельброта, которое можно увидеть достаточно часто. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и представляет собой комплексный фрактал. Это также вариант кривой Коха даже если этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор одинаково отличаются от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея та же. Вместо того, чтобы прикреплять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Из-за того, что этот фрактал составляет ровно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5
Рисунок 6. Фрактал Мандельброта.
Кривая Дракона. Кривая Дракона, изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, или, как он ее называл, Взмах Дракона, очень похожа на колбасу Минковского. Он использует более простой инициатор и такой же генератор. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальный размер составляет около 1.5236.
Рисунок 7. Дракон Джузеппе Пеано
Множество Мандельброта. Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, являются двумя наиболее распространенными среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, заставках. На множестве Мандельброта, построенном Бенуа Мандельбротом, это, вероятно, первая ассоциация, которая возникает у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, создается простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.
Наиболее часто встречающаяся множество - это множество Мандельброта 2й степени, то есть, а=2. Тот факт, что множество Мандельброта это не просто Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель, в формуле которого может быть любым, положительным числом многих ввел в заблуждение.
Процесс Z=Z*tg (Z+C) также очень популярен . Благодаря включению функции тангенса, мы получаем множество Мандельброта, окруженный областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты пузырьков воздуха. Короче говоря, есть бесконечные количество возможности настройки множества Мандельброта так, чтобы создавались различные красивые изображения.
?
Рисунок 8. Множество Мандельброта.
Рисунок 9. Множество Мандельброта при а=3,5.
Множество Жюлиа. Удивительно, но множества Жюлиа имеют ту же формулу, что и множество Мандельброта. Множество Жюлиа было придумано французским математиком Гастоном Жюлиа, в честь которого она и была названа. После визуальной встречи с множествами Мандельброта и Жюлиа возникает вопрос, почему оба фрактала по одной и той же формуле так различны. Для начала посмотрим на изображения множества Жюлиа. Как бы необычно это не было, но существуют различные виды множеств Жюлиа. В случае если вы рисуете фрактал с различными исходными точками, то генерируются разные изображения. Это относится лишь к множеству Жюлиа. Хотя фрактал Мандельброта не заметим на изображении, на самом деле это множество фракталов Жюлиа, с которыми они связаны. Каждая точка (или координата) множества Мандельброта соответствует фракталу Жюлиа. Множества Жюлиа может быть сгенерирован с этими точками в качестве исходных значений в уравнении Z=ZІ+C. Но это не значит, что мы можем получить фрактал Жюлиа, если выберем точку на фрактале Мандельброта и увеличим ее. Эти две точки идентичны, но только в математическом смысле. Если взять эту точку и вычислить ее по формуле, то можно получить фрактал Жюлиа, соответствующий определенной точке фрактала Мандельброта.
Рисунок 10. Множество Жюлиа.
Дерево Фейгенбаума. Логистическое уравнение - это формула, над которой Митчелл Фейгенбаум работал в основном при разработке своей фрактальной теории. Эта формула должна описывать динамику развития популяции: f (x) = (1 - x) rx. Самая простая модель пропорциональна соотношению численности по сравнению с предыдущим годом. Предположим, в прошлом году у нас было x животных. В этом году животных будет больше rx . Однако в реальных условиях этого не происходит. Они лучшее всего соответствуют реальности, добавляя фактор, который зависит от потенциала у популяции для дальнейшего развития, и пусть x - коэффициент полноты, который вирируется от 0 до 1. Затем добавляется коэффициент 1 - x, чтобы площадь была почти полностью заполнена, и население не росло выше верхнего предела.
