Разложение многочленов на множители и их применение

Математика - удивительный мир! Мы никогда не перестаем удивляться тому, как много можно сделать при помощи математики. Математика - это царица и служанка любой науки. Но отбросим эту поэзию. На сегодняшний день выпускнику девятого класса предстоит сдать Государственную итоговую аттестацию, результаты которой, как говорят его создатели, должны помочь поступить в профильные классы детям из глубинки. Ну что ж... Придется доказывать свои прочные знания по тем или иным предметам. Но нас на данный момент интересует математика. Разложение многочленов на множители - отдельная математическая теория, которой посвящено множество научных статей и целые монографии, а также ряд тем, изучаемых в школьном курсе алгебры. Заметим, что проблема о возможности представления целочисленного многочлена с рациональными коэффициентами в форме произведения двух и более многочленов постепенно становится одной из центральных проблем курса алгебры 7 – 9 классов, курса алгебры 10 – 11 классов, а в будущем проблем высшей алгебры. Перед началом исследования я провела опрос среди учащихся 7-11 классов: 1. «Где можно применить методы разложения многочлена на множители?» и получила следующие ответы: - при решении уравнений (100%), - при решении неравенств (67%), - при решении сложных задач (42%). - при построении графиков сложных функций (39%). 2. «Существует ли самый простой способ разложения многочлена на множители?» и получили следующие ответы: - «да» - 0 %, - «нет» - 100 %. 3. «Можно ли применить знания по выбранной теме при подготовке к сдаче ГИА?» и получили следующие ответы: - «да» - 100 %, - «нет» - 0 %. На основании результатов опроса я сделала вывод: очень большое количество учащихся понимает важное значение теории разложения многочленов на множители не только при изучении основных тем курса алгебры, но и при подготовке и успешной сдаче ГИА (ОГЭ и ЕГЭ). Поэтому я решила провести исследование основных методов разложения многочлена n-й степени на множители с дальнейшим применением их для решения алгебраических уравнений и неравенств. Цель научно-исследовательской работы: выявление наиболее простых в применении методов разложения многочленов n-й степени на множители для решения алгебраических уравнений высших степеней и неравенств. Задачи исследования: 1. расширить кругозор знаний по алгебре; 2. провести исследование основных методов разложения многочлена n-й степени на множители, наиболее простых в применении; 3. познакомиться со схемой Горнера; 4. провести сравнение методов на конкретных примерах с дальнейшим применением их для решения алгебраических уравнений и неравенств; 5. подобрать уравнения для применения каждого из рассмотренных методов. Объект исследования:многочлен n-й степени. Выявляем проблему: «Как применить теорию разложения многочленов на множители для решения более сложных уравнений и неравенств в 10 и 11 классах?» Выдвигаем гипотезу: умение применять различные методы разложения многочлена на множители помогут определить наиболее рациональный способ решения более сложных уравнений и неравенств. Методической базой исследования работы явились труды математиков А.Г.Мордковича, М.И. Сканави и других. Методы исследования: • поисково-исследовательский метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в Интернет-ресурсах; • сравнительный (анализ данных, полученных в ходе исследования, сравнение методов на конкретных примерах); • практический (математическая обработка данных; решение уравнений высших степеней степени); • обобщение. Работа состоит из введения, восьми пунктов, практической части и заключения. Каждая глава работы посвящена описанию различных методов разложения многочлена на множители, рассматриваемых в курсе алгебры 7-11 классов, с приведением примеров применения данного метода, комбинации методов. В практическом приложении мы сравниваем различные методы разложения, применяем их на конкретных уравнениях высших степеней, а также неравенствах, встречающихся в заданиях 13 и 15 экзаменационного материала ЕГЭ по математике профильного уровня.