1 Системы и задачи автоматического управления
1.1 Формулирование задач управления
Система управления является динамической системой, которая ведет себя желаемым образом, как правило, без вмешательства человека. Теория управления рассматривает вопросы анализа и синтеза систем управления [1].
Основными компонентами системы управления (рисунок 1.1) являются: 1) объект, которым система должна управлять, 2) датчик (или несколько датчиков), который обеспечивает получение информации об объекте, и 3) регулятор — важ-нейший компонент системы управления, который сравнивает измеренные и желае-мые значения и регулирует входные переменные объекта.
Рисунок 1.1 – Схема системы управления
Такой системой управления является рассматриваемая в настоящей работе следящая антенна, которая без помощи человека все время направлена на движу-щийся объект, например на спутник. Здесь объектом являются антенна и исполни-тельный двигатель. Датчик состоит из потенциометра или другого чувствительно-го элемента, который измеряет перемещение антенны и, возможно, включает в се-бя тахогенератор для измерения угловой скорости антенны. Регулятор состоит из электронной аппаратуры, которая обеспечивает подачу соответствующего входно-го напряжения на исполнительный двигатель.
Объект и регулятор описываются дифференциальными уравнениями, см. да-лее подраздел 1.4. Поэтому математический аппарат, необходимый для анализа поведения системы управления в обоих случаях, состоит из совокупности мето-дов, обычно называемых теорией систем. Системы управления имеют характерную особенность, состоящую в наличии обратной связи, суть которой заключается в том, что действительное состояние системы управления сравнивается с желаемым состоянием и на основании этого сравнения вырабатывается входной сигнал на объект управления.
Обратная связь имеет несколько важных свойств. Поскольку действительное состояние непрерывно сравнивается с желаемым состоянием, системы управления с обратной связью способны удовлетворительно функционировать и в неблаго-приятных условиях, таких, как возмущения, которые действуют на систему, или изменения свойств объекта.
В системе управления антенной на объект действуют возмущения в виде по-рывов ветра, а изменение свойств объекта происходит вследствие зависимости ко-эффициента трения от температуры.
Рассмотрим с общих позиций один из важнейших классов задач управления — задачи слежения. Пусть имеется система, обычно называемая объектом, изме-нять которую не допускается. С объектом связаны следующие переменные (рису-нок 1.2):
1. Входная переменная , которая воздействует на объект и может быть регулируемой.
2. Возмущающая переменная , которая воздействует на объект и не мо-жет быть регулируемой.
3. Наблюдаемая переменная , которая измеряется датчиками и исполь-зуется для получения информации о состоянии объекта; наблюдаемая переменная обычно искажается шумом наблюдений
4. Управляемая переменная , которой требуется управлять.
5. Эталонная переменная , которая представляет собой' требуемое зна-чение управляемой переменной.
Задача слежения, говоря кратко, заключается в следующем. Для заданной эталонной переменной нужно найти такую подходящую входную переменную, чтобы управляемая переменная следила за эталонной, т. е.
где — момент времени, начиная с которого осуществляется управление. Как правило, заранее эталонная переменная не известна. Кроме того, диапазон из-менения входной переменной практически ограничен. Расширение этого диа-пазона ведет к замене объекта на более мощный, что является неэкономичным. Это ограничение имеет очень большое значение и не позволяет получать идеаль-ные системы слежения.
При проектировании следящих систем, удовлетворяющих основному требо-ванию (1.1), должны быть приняты во внимание следующие аспекты:
1. На объект действуют неконтролируемые возмущения.
2. Параметры объекта могут быть в точности не известными и изменяться.
3. Начальное состояние объекта может быть неизвестным.
4. Наблюдаемая переменная может не давать непосредственной формации о состоянии объекта и, более того, может быть искажена шумом наблюдений.
Входной сигнал для объекта вырабатывается устройством, которое назовем регулятором. Различаются два вида регуляторов: разомкнутые и замкнутые. Разо-мкнутые регуляторы вырабатывают сигнал на основе только прошлых и те-кущего значений эталонной переменной (рисунок 1.3), т. е.
Замкнутые регуляторы имеют дополнительную информацию об объекте, ко-торая содержится в наблюдаемой переменной; указанный принцип может быть представлен (рисунок 1.4) в виде
Ни в (1.2), ни в (1.3) для получения входной переменной не используются будущие значения эталонной и наблюдаемой переменных, поскольку они не из-вестны. Объект и регулятор составляют систему управления.
Замкнутые регуляторы обладают намного большими возможностями, чем разомкнутые. Замкнутые регуляторы могут накапливать информацию об объекте в процессе его функционирования и таким образом могут собирать информацию о начальном состоянии объекта, могут уменьшать влияние возмущений и компенси-ровать неопределенность и изменение параметров объекта. Разомкнутым регуля-торам, очевидно, не доступна какая-либо информация об объекте, за исключением того, что известно до начала управления. То, что разомкнутые регуляторы не ис-пытывают влияния шума наблюдения, поскольку они не используют наблюдаемую переменную, не возмещает указанного пробела.
Важный класс задач слежения составляют задачи, в которых эталонная пе-ременная является постоянной в течение продолжительного периода времени. В таких случаях обычно принято называть эталонную переменную заданной точкой системы и говорить о задачах регулирования. Главная задача обычно здесь состо-ит в том, чтобы поддерживать управляемую переменную в заданной точке при наличии возмущений.
1.2 Формальное математическое описание объектов и систем автоматического управления
В предыдущем разделе говорилось, что системы автоматического управле-ния могут быть описаны дифференциальными уравнениями. Основная цель дан-ной подраздела состоит в том, чтобы установить основные понятия и ввести обо-значения теории линейных систем. Отправной точкой является описание линейных систем методом пространства состояний. Затем рассматриваются решения линей-ных дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
1.2.1 Описание состояния нелинейных и линейных дифференциальных систем
Многие системы могут быть описаны системой дифференциальных уравне-ний вида
Здесь — переменное время, — действительный -мерный перемен-ный во времени вектор-столбец, который обозначает состояние системы, a — действительный k-мерный вектор-столбец, который обозначает входную перемен-ную, или переменную управления. Функция является действительной и вектор-ной. Для многих систем выбор состояния естественно следует из физического устройства системы, а уравнение (1.4), называемое дифференциальным уравнени-ем состояния, обычно непосредственно следует из элементарных физических зако-нов, которым подчиняется система.
Пусть — действительная -мерная переменная системы, которая может быть наблюдаема или с помощью которой система воздействует на окружающую обстановку. Такая переменная называется выходной переменной системы, которая часто может быть представлена следующим образом:
Это уравнение называется уравнением выходной переменной системы.
Система, описываемая уравнениями (1.4) и (1.5), называется конечномерной дифференциальной системой или, короче, дифференциальной системой. Вместе уравнения (1.4) и (1.5) называются уравнениями системы. Если векторная функция определенно содержит , говорят, что система имеет прямую связь.
Когда и являются линейными функциями, говорят о (конечномерной) линейной дифференциальной системе, уравнение состояния которой имеет вид
где и — переменные матрицы соответствующих размерностей. Размерность вектора есть размерность системы. Уравнение выходной пере-менной такой системы имеет вид
Если матрицы А, В, С и D постоянны, то система называется системой с по-стоянными параметрами.
1.2.2 Описание линейных систем с постоянными параметрами на основе преобразования Лапласа
Линейные системы с постоянными параметрами можно исследовать с помо-щью преобразования Лапласа.
Рассмотрим неоднородное уравнение
где и — постоянные матрицы. Выполняя преобразование Лапласа, по-лучим
откуда найдем
Здесь или, что эквивалентно . Матрич-ная функция называется резольвентой матрицы А. Резольвента матрицы А может быть записана в виде
где
– характеристическим полиномом;
матрицы определяются как
Пусть уравнение относительно выходной координаты системы имеет вид
где — постоянная матрица. Выполняя преобразование Лапласа и подстав-ляя (1.11)
что эквивалентно преобразованию Лапласа выражения (1.19) при ,
При выражение (1.16) принимает вид
где
Матрица называется матричной передаточной функцией системы. Если и . известны, реакция системы при нулевом начальном состоянии мо-жет быть найдена посредством обратного преобразования Лапласа выражения (1.18).
Матричную передаточную функцию можно представить в форме
где — матрица, элементы которой являются полиномами от . Следо-вательно, элементы матричной передаточной функции является рациональ-ными функциями . Общим знаменателем элементов является выражение если не происходит сокращения множителей видах — , где характеристическое число матрицы во всех элементах матрицы
Корни общего знаменателя называются полюсами матричной переда-точной функции . Если сокращения не происходит, полюса матричной пере-даточной функции являются полюсами системы, т. е. характеристическими числа-ми матрицы .
Если как входная , так и выходная переменные являются скалярны-ми, то матричная передаточная функция переходит в скалярную передаточную функцию. Для многомерных систем каждый элемент матричной передаточ-ной функции является передаточной функцией от компоненты входа к -й компоненте выхода.
1.2.3 Частотная характеристика
Частотная характеристика системы с постоянными параметрами и определя-ет реакцию системы на входной сигнал вида
где – постоянный вектор.
Установившееся значение выходной переменной
определяется выражением
В это выражение входит матричная передаточная функция , где , за-меняет . называется матричной частотной характеристикой системы.
Получив реакцию системы на комплексный периодический сигнал вида (1.21), нетрудно определить установившуюся реакцию при действительном сину-соидальном входном сигнале.
Предположим, что -я компонента вектора входной переменной имеет вид
.
Предположим, что все другие компоненты вектора равны пулю. Тогда установившееся значение i-й компоненты вектора выходной переменной описывается выражением
где является -м элементом матрицы , а
1.2.4 Соединения линейных систем
Для дальнейшего рассмотрим соединения линейных систем. Наиболее важ-ными и часто встречающимися примерами соединения систем являются последо-вательное соединение (рисунок 1.5) и соединение посредством обратной связи, или замкнутая система (рисунок 1.6).
Соединения систем обычно описываются с помощью метода расширения фа-зового пространства. Пусть отдельные системы в последовательном соединении (рисунок 1.5) описываются следующими дифференциальными уравнениями состо-яния и уравнениями выходных переменных.
Вводя расширенный вектор состояния
объединенную систему можно описать следующим дифференциальным уравнением состояния:
где используется равенство Принимая за выходную пере-менную объединенной системы, получим уравнение
В случае систем с постоянными параметрами соединение систем удобно описать при помощи матричных передаточных функций. Предположим, что и являются матричными передаточными функциями соответственно систем 1 и 2. Тогда общая передаточная матрица равна , что следует из соот-ношения:
Заметим, что порядок и в общем случае не может быть изменен.
В системе с обратной связью (рисунок 1.6) является входным сигналом. Предположим, что отдельные системы описываются следующими дифференци-альными уравнениями состояния и уравнениями выходных переменных:
Заметим, что система 1 не имеет прямой связи. Это позволяет избежать не-явных алгебраических уравнений. С помощью расширенного вектора состояния система с обратной связью может быть описана дифференци-альным уравнением состояния
где используются равенства и Если вы-ходная переменная объединенной системы, то ее уравнение имеет вид
Рассматривая систему с постоянными параметрами, имеем
где и — матричные передаточные функции отдельных систем.
Выражению удобно дать специальное определение. Рассмот-рим объединенную систему с обратной связью (рисунок 1.6, в которой системы 1 и 2 с постоянными параметрами имеют матричные передаточные функции и соответственно. Матричная функция для такой системы
называется матрицей возвратной разности, а матричная
функция называется матрицей усиления контура.
Рассмотрим последовательное соединение (рисунок 1.5), где системы 1 и 2 являются системами с постоянными параметрами и характеристическими полино-мами и ) соответственно. Соединение имеет характеристический поли-ном Поэтому объединенная система является асимптотически устойчи-вой в том и только том случае, когда системы 1 и 2 асимптотически устойчивы.
В терминах матричных передаточных функций устойчивость систем с об-ратной связью (рисунок 1.6) может быть исследована с помощью следующего ре-зультата.
Рассмотрим систему с обратной связью (рисунок 1.6), в которой системы 1 и 2 являются системами с постоянными параметрами и имеют матричные переда-точные функции и соответственно, при этом в системе 1 нет прямой связи. Тогда характеристический полином замкнутой системы равен
Поэтому замкнутая система является устойчивой тогда и только тогда, когда полином (1.38) имеет нули со строго отрицательными действительными частями.
1.3 Векторные cтохастические процессы, их модели и характеристики
Далее в качестве математических моделей возмущающих и шумовых воз-действий используются стохастические процессы. На исследуемые системы весьма часто оказывают одновременное действие как возмущения, так и шумы. В связи с этим возникает необходимость рассмотреть векторные стохастические процессы. Стохастический процесс может быть представлен как семейство функций времени. Каждую функцию времени будем называть реализацией процесса. Предположим, что являются n скалярными стохастическими процессами, ко-торые, возможно, взаимно зависимы. Тогда назовем
векторным стохастическим процессом. Всегда будем предполагать, что каж-дая компонента вектора v(t) принимает действительные значения и что , где задано.
Стохастический процесс может быть охарактеризован посредством совмест-ного распределения вероятностей
для всех действительных , для всех и для каж-дого натурального числа m. Здесь векторное неравенство по определению удовлетворяется, если неравенства
,
удовлетворяются одновременно. Значения являются компонентами век-тора , т. е..
Особый класс стохастических процессов составляют те процессы стохасти-ческие свойства которых не изменяются с течением времени. Стохастический про-цесс v(t) является стационарным, если
для всех , для всех , для каждого целого положи-тельного числа m и для всех . Совместное распределение вероятностей, которое характеризует стационарный стохастический процесс, является, таким образом, инвариантным относительно изменения начала отсчета времени.
Во многих случаях представляют интерес только свойства первого и второго порядков стохастического процесса, а именно среднее значение и ковариационная матрица или, что эквивалентно, матрица смешанных моментов второго порядка. Рассмотрим векторный стохастический процесс v(t). Тогда
назовем вектором средних значений (средним значением,) процесса,
ковариационной матрицей, а
матрицей вмешанных моментов второго порядка. Матрица называется матрицей дисперсий, а — матрицей моментов второго порядка.
Здесь Е — оператор математического ожидания. В дальнейшем часто будем предполагать, что рассматриваемый стохастический процесс имеет нулевое сред-нее, т.е. m(t) = 0 для всех t; в этом случае ковариационная матрица и матрица сме-шанных моментов второго порядка совпадают. Матрица смешанных моментов второго порядка в рассмотренном виде записывается следующим образом:
Каждый элемент матрицы является скалярным смешанным момен-том. Подобным же образом каждый элемент матрицы является скалярной ковариационной функцией.
1.3.1 Матрицы спектральных плотностей энергии
Для скалярных стохастических процессов, стационарных в широком смысле, функция спектральной плотности энергии определяется как преобразование Фурье ковариационной функции.
Матрица спектральных плотностей энергии векторного стохастиче-ского процесса, стационарного в широком смысле, определяется как преобразова-ние Фурье (если оно существует) ковариационной матрицы процесса, т.е.
В записи ковариационной матрицы переменные и заменены одной пере-менной
Матрица спектральных плотностей энергии имеет следующие свой-ства.
Здесь звездочка обозначает комплексно-сопряженное транспонирование, то-гда как , где комплексная матрица, означает, что является неотрица-тельно определенной матрицей, т. е. для всех комплексных .
Например, экспоненциально коррелированный шум — скалярный стацио-нарный процесс v(t), стационарный в широком смысле, с ковариационной функци-ей
Используя преобразование Фурье, функция спектральной плотности энергии имеет вид
при условии
1.3.2 Реакция линейных систем на стохастические входные воздействия
В данном пункте рассматриваются статистические свойства реакции линей-ной системы при входном воздействии, представляющем собой реализацию стоха-стического процесса.
Рассмотрим линейную систему с матричной импульсной переходной функ-цией находящуюся в момент в нулевом состоянии. Предположим, что входное воздействие на систему является реализацией стохастического процесса с нулевым средним и ковариационной матрицей Тогда выход-ная переменная является реализацией стохастического процесса со средним
и ковариационной матрицей
при условии, что интегралы существуют.
При предположении, что линейная система является асимптотически устой-чивой системой с постоянными параметрами и матричной импульсной переходной функцией и что входной стохастический процесс является стационар-ным в широком смысле с ковариационной матрицей Тогда, если вход-ное воздействие на систему является реализацией процесса , который прило-жен с момента , выходная переменная является реализацией стационарного t широком смысле стохастического процесса с ковариационной матрицей
Для стационарных в широком смысле процессов представляет интерес опре-деление матрицы спектральных плотностей.
Рассмотрим асимптотически устойчивую линейную систему с постоянными параметрами и матричной передаточной функцией . Предположим, что вход-ная переменная является реализацией стационарного в широком смысле стохасти-ческого процесса с матрицей спектральных плотностей , который при-ложен с момента времени -?. Тогда выходная переменная является реализацией стационарного в широком смысле стохастического процесса с матрицей спек-тральных плотностей
Этот результат нетрудно получить, если осуществить преобразование Фурье (1.47) после замены на переменную ? и использования того факта, что является преобразованием Лапласа .
1.3.3 Линейные дифференциальные системы, возбуждаемые белым шумом
Линейные дифференциальные системы, возбуждаемые белым шумом, явля-ются очень удобными моделями для формулирования и решения задач линейного управления с учетом возмущений и шумов. Здесь рассматриваются некоторые ста-тистические свойства состояния линейной дифференциальной системы при нали-чии процесса типа белого шума в качестве входной переменной. В частности, вы-числяются среднее значение, ковариационная матрица, матрица смешанных мо-ментов, матрицы дисперсий и моментов состояния .
Если — решение уравнения
где — белый шум интенсивности стохастическая величина, независимая от со средним значением и матрицей дисперсий Тогда имеет среднее значение
где — переходная матрица системы (1.49). Ковариационная матрица процесса имеет вид
Ковариационная матрица удовлетворяет матричному диффе-ренциальному уравнению
Кроме того,
Матрица смешанных моментов второго порядка процесса x(t) имеет вид
Матрица моментов удовлетворяет матричному дифференци-альному уравнению
В заключение имеем
Если гауссовская стохастическая величина и белый шум гауссов-ский, то является гауссовским стохастическим процессом. Для анализа ли-нейных систем полезно уметь вычислительную процедуру с целью моделирования линейной дифференциальной системы, возбуждаемой белым шумом.
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение первого порядка, возбуждаемое белым шумом
где — скалярный белый шум интенсивности Предположим, что = ?0, где ?0 скалярная стохастическая величина с нулевым средним и диспер-сией. Нетрудно установить, что имеет ковариационную функцию
Дисперсия процесса равна
1.3.4 Установившееся значение матрицы дисперсий для случая постоянных параметров
Когда А, В и V являются постоянными матрицами при произвольном имеет место предел
тогда и только тогда, когда матрица асимптотически устойчива. Посколь-ку матрица является решением дифференциального уравнения (1.51), ее пре-дел также должен удовлетворять этому уравнению, так что
Нетрудно установить, что это матричное алгебраическое уравнение имеет единственное решение, которое должно определяться выражением (1.60)
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение
где и постоянные матрицы, a w(t) — белый шум постоянной интен-сивности V. Тогда, если матрица асимптотически устойчивая и или , матрица дисперсии процесса x(t) стремится к постоянной неотрицательно определенной матрице
которая является единственным решением, матричного уравнения
Матрица , таким образом, может быть найдена как предел решения диф-ференциального уравнения (1.51) при начальном условии из интеграла (1.63) или из алгебраического уравнения (1.64), здесь — произвольная положительно полуопределенная матрица.
Матричные уравнения вида (1.64) также имеют место в теории устойчивости и известны как уравнения Ляпунова. Хотя матричное уравнение (1.64) линейно от-носительно , его решение не может непосредственно быть получено с помощью простого обращения матриц.
Если матрица асимптотически устойчивая и выходная переменная дифференциальной системы (1.49) является стационарным в широком смысле процессом.
Спектральная плотность состояния равна
Тогда, можно получить другое выражение для , а именно
Установившееся значение матрицы дисперсий является асимптотическим решением дифференциального уравнения дисперсий при или . Предположим теперь, что в качестве начальной дисперсии в момент выбрано установившееся значение матрицы дисперсий, т. е. положим
Согласно (1.51), это ведет к равенству
Полученный таким образом процесс имеет все свойства стационарного в широком смысле процесса.
1.3.5 Моделирование стохастических процессов
Далее в раздел 4 стохастические процессы будут представляются с исполь-зованием линейных дифференциальных систем, возбуждаемых белым шумом. Это представление стохастического процесса обычно имеет следующую форму. Предположим, что
где
a — белый шум. Выбирая такое представление стохастического процес-са , его можно моделировать. Использование таких моделей может быть обосно-вано следующим образом [1]:
а) В природе часто встречаются стохастические явления, связанные с воздей-ствием быстро меняющихся флуктуаций на инерционную дифференциальную си-стему.
б) Как будет видно из дальнейшего, в линейной теории управления почти всегда рассматриваются только среднее значение и ковариация стохастического процесса. Для линейной модели всегда можно аппроксимировать любые получен-ные экспериментально характеристики среднего значения и ковариационной мат-рицы с произвольной точностью.
в) Иногда возникает задача моделирования стационарного стохастического процесса с известной спектральной плотностью энергии. В этом случае всегда имеется возможность генерировать стохастический процесс как процесс на выходе линейной дифференциальной системы; при этом матрица спектральных плотно-стей энергии аппроксимирует с произвольной точностью матрицу спектральных плотностей энергии исходного стохастического процесса.
Приведём пример, который будем использовать далее в разделе 4. Предпо-ложим, что измеренная ковариационная функция стохастического скалярного про-цесса ?, о котором известно, что он является стационарным, описывается экспо-ненциальной функцией
Этот процесс можно моделировать при , как состояние дифференциаль-ной системы первого порядка и
где — белый шум интенсивности , a стохастическая вели-чина с нулевым средним и дисперсией .
