ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
§1. Основные понятия теории фильтрации
Фильтрацией называется движение жидкости в пористой среде. Для того чтобы описать этот процесс количественно, нужно ввести некоторую схематизацию пористой среды.
Под пористой средой подразумевается множество твердых частиц, весьма тесно прилегающих друг к другу. Пустое пространство между ними может быть заполнено жидкостью или газом.
Если в пористой среде, содержащей жидкость или газ, будет создан градиент напора, то начнется движение жидкости в направлении от большого напора к меньшему – фильтрации.
Основным свойством жидкости, которое влияет на нее фильтрацию, является вязкость.
При фильтрации площадь соприкосновения между жидкостью и твердыми частицами огромна.
Если сосчитать суммарную поверхность песчинок в ?1м?^3 породы, то получится огромная цифра, порядка ?10000м?^2. Жидкости приходится, таким образом, преодолевать огромную силу трения, а трение между жидкостью и твердым телом обусловлено вязкостью.
Кроме вязкости, поверхностью – активные свойства также влияют на процесс фильтрации. Эксперименты указывают, что ряд обстоятельства физико – химического характера также влияет на процесс фильтрации.
Перейдем к характеристике пористой среды. Пористая среда представлена обычно совокупностью частиц разнообразной формы и различных размеров.
В некоторых случаях естественные пласты сложены так плотно, что фильтрация, как таковая, крайне незначительна и не имеет практического значения.
Тем не менее, скважины, которые пробурены в такой породе, иногда дают нефть, воду и газ. Это может быть обусловлено трещиноватостью. Таким образом, помимо фильтрации, возможно движение жидкости в трещинах. Движение в трещинах приближается к движению в трубах. Жидкость движется, как поток, текущий в трубе прихотливой формы. Мы будем рассматривать в основном фильтрационные задачи.
Проще всего характеристику пористой среды дать на следующей физической модели.
Представим себе трубку, являющуюся моделью газового или нефтяного пласта (рис.1).
Такие модели широко используются в лабораторной и экспериментальной практике. Пусть трубка заполнена пористой средой и до предела насыщена жидкостью. Предположим, что в двух сечениях трубы созданы разные давления p_1 и p_2 причем давление p_1 больше, чем давление p_2.
Под действием разности давлений жидкость начинает двигаться.
Важнейшей характеристикой пористой среды является пористость m. Под пористостью подразумевается отношение объема пустот V_пуст ко всему объему V пласта:
m=V_пуст?V.
Очевидно, пористость зависит от геометрии частиц и от схемы их укладки.
В ряде случаев твердые зерна породы обволакиваются тонкой пленкой, остающейся неподвижной при обычных градиентах давления. В этом случае подвижная жидкость будет занимать объем, несколько меньший V_пуст. Кроме того, в реальной пористой среде бывают тупиковые поры, в которых движение жидкости задерживаются ввиду образования застойных областей. Таким образом, наряду с геометрической пористостью, определенной выше, часто пользуются понятием динамической пористости, подразумевая под ней отношение объема, занятого подвижной жидкостью, ко всему объему пласта. В дальнейшем под пористостью будем подразумевать динамическую пористость. Для реальных пластов – коллекторов нефти, воды и газа – значения m обычно лежат в пределах 0,15 – 0,22, причем, конечно, возможны значительные отклонения в ту и другую сторону.
В конце прошлого столетия американский гидрогеолог Чарльз Слихтер рассмотрел идеализированную модель грунта, состоящую из шариков одинакового радиуса. Грунт, составленный из шариков, называется фиктивным. В этом случае, очевидно, пористость будет зависеть от схемы укладки шариков, но не от их радиуса.
При схеме, показанной на рис.2, а,
пористость будет наибольшая. Когда же в проходном сечении образуется криволинейные треугольники (рис. 2, б), пористость будет соответственно меньше.
Слихтер рассматривал геометрическую задачу о том, как связана пористость с углами, образованными радиусами этих соприкасающихся шаров. Формула Слихтера для определения пористости дает значения пористости, приближающиеся к реальным.
Вернемся к движению жидкости в трубе, заполненной твердыми частицами. Обозначим через S площадь поперечного сечения нашего пласта – трубы (рис.1). будем считать жидкость несжимаемой.
Очевидно, жидкость движется не через всю площадь S, а только через площадь просветов S_просв, которую можно считать живым сечением потока.
Вследствие очень большого числа частиц из статистических соображений можно считать, что во всех сечениях трубы площадь f_просв будет иметь постоянное значение, несмотря на различную конфигурацию частиц в этих сечениях.
Очень важным является понятие скорости фильтрации. Под скоростью фильтрации wподразумевается частное от деления объемного расхода Q на всю площадь пласта – трубы:
w=Q?S.
Очевидно, скорость фильтрации w не является действительной средней скоростью движения в живом сечении.
Истинная средняя скорость w_действ (иногда она называется физической или действительной скоростью движения) получится, если расход Q разделить на площадь просветов S_просв. Так как площадь просвета всегда меньше площади сечения пласта, S то действительная скорость движения будет больше скорости фильтрации:
w_действ=Q/S_просв >Q/S=w.
Первой задачей является установление связи между w и w_действ.
Это можно сделать следующим образом. Проведем два сечения на расстоянии dx друг от друга. Предположим, что жидкость, заполняющая площадь просвета, переместилась из одного сечения в другое за время dt.
Объем жидкостиdV, который удален из области между этими двумя сечениями, можно рассчитать так: с одной стороны, этот объем равняется произведению расхода на время; с другой стороны, он является объемом пустот, который находится внутри элемента с площадью сечения S и длиной dx. Отсюда
dV=Qdt=mSdx,
откуда следует
Q/S=m dx/dt.
Но dx?dt – действительная скорость движения, а Q?S – скорость фильтрации.
Таким образом, скорость фильтрации w равна произведению пористости m на действительную скорость движения или на физическую или истинную скорость движения:
w=mw_действ. (1)
Отсюда еще получается, что площадь просветов, деленная на всю площадь, равняется пористости. Действительно, учитывая (1) имеем
w_действ=Q/S_просв =w/m=Q/mS,
откуда
S_просв/S=m. (2)
Простейшей геометрической характеристикой пористой среды является эффективный диаметр частиц грунта. Он определяется в результате механического анализа.
Грунт просеивают через набор сит с различной площадью отверстий и отмечают фракции, которые прошли сквозь одно сито и задержались в другом, которые прошли через два сита и задержались третьем и т.д.
В результате получают кривую фракционного состава, которая имеет примерно вид кривой (рис. 3).
§2. Закон Дарси и пределы его справедливости.
Одним из основных законов теории фильтрации является установленный в 1856 г. закон Дарси, дающий связь между потерей напора H_1-H_2 и объемным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения S, заполненной пористой средой.
Напор для несжимаемой жидкости имеет вид:
H=z+p/?+u^2/2g,
где z – высота положения; p/? – пьезометрическая высота; ? – объемный вес; u – скорость движения жидкости. Так как при фильтрации скорость u обычно весьма мала, то в дальнейшем под напором будем понимать величину
H=z+p/?,
пренебрегая величиной скоростного напора u^2/2g.
Закон Дарси имеет вид:
Q=c (H_1-H_2)/l S (1)
где c – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации.
Закон Дарси показывает, что между потерей напора и расходом существует линейная зависимость. При повышении скорости движения жидкости линейность, т.е. закон Дарси, нарушается. Критерием справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=uaq/?с его критическим значением ?Re?_кр, после которого линейная связь между, потерей напора и расходом нарушается. В выражение числа Re:
q – плотность жидкости;
? – ее абсолютная или динамическая вязкость;
u – характерная скорость течения;
a – характерный геометрический размер пористой среды, который разные авторы определяют по – разному.
Запишем закон Дарси в дифференциальной форме. В общем случае H=H(l,t)
где l – расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока (рис.6); t – время.
Пользуясь формулой (1) можно закон Дарси переписать в виде
или в векторной
w ?=-c grad H. (3)
Коэффициент фильтрации c характеризует среду и жидкость одновременно. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. В теории фильтрации нефти и газа необходимо разделить влияние пористой среды и влияние жидкости. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде, а именно
w=-k?/? ?H/?l
или
w=k?/? ?H/?l (4)
где
? – абсолютный коэффициент вязкости;
? – объемный вес жидкости;
k – коэффициент проницаемости, характеризующий среду;
p=?H – приведенное давление.
Очевидно, что приведенное давление совпадает с истинным при z=0.
В физической системе единиц [k]=?см?^2. В смешанной системе единиц, когда [p]=кг??см?^2 ,[?]=0,01 г?см, сек=1 спз, [l]=см,k измеряется в Дарси. Очевидно, что при проницаемости 1?, вязкости, равной 1 спз, перепаде давления 1 кг??см?^2 на 1 см и площади сечения, равной 1?см?^2, расход будет равен ?1 см?^3?сек.
Связь между проницаемостью в физической и смешанной системах единиц выражается соотношением 1?=1/0,981 ?10?^(-8) ?см?^2. Тысячная доля Дарси называется милидарси.
Из сравнения (1) и (4) получаем
c=k?/?. (5)
Проницаемость песчаных коллекторов обычно находится в пределах k=100?(100 м?). Эти пределы являются сугубо условными, так как возможны значительные отклонения в ту и другую сторону.
Крайне малой проницаемостью характеризуются глины ( тысячные доли милидарси ). Во многих случаях они считаются непроницаемыми, k=0.
Проницаемость определяется геометрической структурой пористой среды, т.е. размерами и формой частиц и системой их упаковки.
Имеется достаточное количество попыток теоретически установить зависимость проницаемости от этих характеристик, исходя из законов Пуазейля для ламинарного движения в трубах и Стокса для обтекания частиц при этой или иной схематизироованной модели пористой среды – набор сферических частиц (фиктивный грунт Слихтера), система параллельных капилляров (идеальный грунт) и т.д.. Тут необходимо заметить следующее обстоятельство: поскольку реальные грунты, как правило, не укладываются в рамки этих геометрических моделей, теоретические расчеты проницаемости ненадежны. Поэтому обычно проницаемость определяется опытным путем в лабораторных условиях непосредственно из формулы (4), по наблюдаемой связи между перепадом давлений и расходом, а в натурных условиях путем специального исследования скважин, в котором также используется устанавливаемая в опыте связь между изменением в скважинах и их дебитом.
