Введение
За последние несколько лет значительно увеличился интерес людей к инвестициям: распределению своего капитала среди каких-либо ценных бумаг с целью получения прибыли. Так, например, по сравнению с 2012 годом количество индивидуальных инвесторов в России увеличилось вдвое. С одной стороны, инвестиции – это простой, не требующий каких-либо усилий, способ увеличения дохода. C другой стороны, необдуманные инвестиционные решения могут повлечь за собой потерю большой части капитала инвестора или даже привести, в случае крупной компании, к банкротству. Основная цель инвестора – получить прибыль с помощью инвестиций. Однако инвестору приходится учитывать риски, возникающие во время процесса инвестирования. В результате стремления увеличить прибыль, минимизировав при этом риски и связанные с ними убытки, были созданы инвестиционные портфели: ценные бумаги или активы, собранные по определенной инвестиционной стратегии, которыми управляет инвестор. В связи с этим в последнее время область исследования способов построения оптимальных инвестиционных портфелей становится всё более актуальной, рассматривается все больше и больше вариантов построения оптимального портфеля в различных условиях. В поиске таких портфелей заинтересованы как начинающие инвесторы, так и крупные инвестиционные компании. Первые чаще всего заинтересованы лишь в итоговом доходе, поэтому им могут подойти простые портфели, предлагаемые им различными брокерами. Крупным компаниям с длинным горизонтом инвестиций, наоборот, необходимо учитывать различные ограничения на промежуточную стоимость капитала, чтобы не потерять значительную часть своих финансов на одном из этапов. Более того, такие компании всегда должны учитывать возможность банкротства при выборе той или иной инвестиционной стратегии.
В данной работе рассматривается стратегия построения оптимальных инвестиционных портфелей, где в качестве ограничения на промежуточные значения капитала рассматривается VaR ограничение, а также учитывается вероятность разорения. VaR, также известное как квантильное ограничение, в наши дни является одним из самых распространенных ограничением в портфельной теории, после работы [1], в которой мерой риска является дисперсия капитала. VaR ограничение определяет максимальную сумму, которую стоимость портфеля может потерять за некоторый период с заданной вероятностью в результате изменений рыночных цен. Под банкротством в нашем случае будем понимать падение значения капитала инвестора на каком-то шаге ниже определенного значения. В состоянии банкротства инвестор не может более заключать сделки и значение его капитала на момент банкротства будет финальным значением капитала.
Похожая задача с тем же ограничением, но без учета вероятности разорения рассматривалась в [2], однако банкротство играет значительную роль в построении инвестиционной стратегии. Стоит отметить, что во многих исследованиях, например [3] и [4], рассматриваются задачи с разрешением на “короткие продажи”: возможность приобрести некоторое количество активов в долг. В данной работе мы будем строить инвестиционную стратегию без коротких продаж, так как они влекут за собой серьезные риски: цена акций, которые берутся взаймы, может вырасти вопреки ожиданиям, и инвестору придется выкупать их по более высокой цене, чтобы вернуть акции брокеру, у которого он их брал. В связи с этим короткие продажи не рекомендованы для начинающих инвесторов и не пользуются популярностью у крупных компаний.
В процессе работы были получены следующие результаты:
• Сформулирована и решена одношаговая задача построения оптимального портфеля при исходных ограничениях. Было доказано, что такая задача сводится к задаче вогнутого программирования. Для такой задачи приведено утверждение для удовлетворения условия регулярности Слейтера, а также применена теорема Куна-Таккера. Сама же задача решена методом множителей Лагранжа;
• Приведен пример решения одношаговой задачи оптимизации, результатом которого является инвестиционный портфель;
• Сформулирована и решена многошаговая задача с теми же ограничениями. Такую задачу было принято рассмотреть как задачу динамического программирования с использованием функций Беллмана, описанных в [5]. Было обнаружено, что такая многошаговая задача сводится к решению определенного количества одношаговых задач, в которых оптимальные портфели зависят только от шага инвестирования;
• Приведен численный пример расчёта оптимальных портфелей исходной многошаговой задачи с использованием данных об акциях реальных трёх компаний при помощи языка Python.
