Глава 1. Решение проблемы восстановления коэффициентов математической модели динамики судна
В главе обосновывается выбор математической модели судна для разработки алгоритма изменения коэффициентов закона управления и определяется диапазон изменения коэффициентов математической модели судна при изменении состояния внешней среды.
В связи с тем, что наиболее значительное изменение статиче¬ских и динамических характеристик судна происходит на мелкой воде, а моделировать мелководье вводом возмущающего воздействия в диф-ференциальные уравнения практически невозможно, в главе проверя¬ется возможность моделировать изменение характеристик изменени¬ем коэффициентов модели. Это позволит использовать модель с пере¬менными коэффициентами для отладки адаптивного алгоритма управ¬ления движением судна.
1.1. Обоснование выбора математической модели динамики судна
В общем случае динамика подвижного объекта в пространстве со¬стояний описывается системой нелинейных дифференциальных уравне¬ний 12-ого порядка [10, 80, 147]: уравнения движения центра тяжести судна в системе координат, связанных с землей (х', у', г') и уравнений Эйлера относительно главных осей инерции объекта (1.1).
П = /Х(П, V, и, П Г = /2(0, V, и, F),
(1.1)
где ф — угол курса судна, \|/ - угол дифферента, 0 - угол крена, х' - пере¬мещение вдоль траектории, у1 - боковое смещение, т! — вертикальное смещение центра тяжести судна, и - управление, Б - внешнее возмуще¬ние.
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
Использование такой или подобных моделей достаточно проблема¬тично в связи с нахождением большого количества коэффициентов. По¬этому для проектирования системы автоматического управления движе¬нием судна по курсу используют более простые математические модели
(1.2-1.6).
тсо+со - ка(т)
т со+ со = ка(т)+1 со0 \ sign{a)
т со+ к со | со \ +со = ка(т)
Р = ~ЧгФ ~ г2\°> ~ со = -д31/3 — г3]со -
Р = -Чг\Р - г7\°> - s2\a - ^ИА ' 0) = -qzx/3-r^(o-s^a, (1.6)
где 1 — постоянная времени судна, к - коэффициент, характеризующий значение установившейся скорости циркуляции в зависимости от угла перекладки руля, Юо - скорость самопроизвольной циркуляции, h - ко¬эффициент модели, учитывающий нелинейные особенности судна, Р — угол дрейфа судна, со - угловая скорость судна, ср - угол отклонения суд¬на от заданного направления, а - угол перекладки руля, q2i, ггь S21, Чзь Гзь S31, hi - коэффициенты, характеризующие динамику судна и меняю¬щие свое значение при изменении внешних факторов (глубины фарвате¬ра, загрузки судна и т.д.).
В связи с большим числом предлагаемых математических моделей динамики судна, возникает задача выбора модели. За критерий выбора модели прием критерий, основанный* на полноте описания особенностей поведения судна.
Для анализа динамики судна в работе использовались осцилло¬граммы натурных испытаний, проведенных сотрудниками кафедры ИАПП Преображенским А.В. и Чирковой М.М. в период с 1980 по 1995 года проведенных на судах «Волгонефть 71», «Леонид Соболев», «Юрий Долгорукий», «Яков Свердлов», «СТ - 1309», «ОТ - 2459», «Волго- Дон 5035». Теоретические расчеты и осциллограммы натурных испыта¬ний показали, что речные водоизмещающие суда обладают рядом осо¬бенностей:
1) имеют «8»-образный вид статической характеристики и уходят на правостороннюю с угловой скоростью +соо или левостороннюю (-<х>о) самопроизвольную циркуляцию, если отсутствует управляющее воздей¬ствие (а=0) (рис. 1.1) [100];
2) при некоторых сочетаниях координат состояния, внешней среды и управления могут попасть в область пониженной управляемости (рис. 1.1, 1.2, область А) [122, 125, 127]. Топология этой области изме¬няется с изменением состояния среды. Самое сильное влияние на распо¬ложение и размер этой области оказывает мелководье. На рис. 1.2 дан статико-динамический портрет, построенный по результатам натурных испытаний судна «Юрий Долгорукий»;
3) при управлении меньше некоторой критической величины -акр<а<+акр возможность непредсказуемой реакции из-за того, что ко¬личество измеряемых координат состояния (ср, со, V) меньше, чем коор¬динат состояния (ф, со, р, V);
4) возможность длительного колебательного процесса около со¬стояния далекого от статического состояния равновесия при конкретном управлении (область В, рис 1.1).
Таким образом, речные водоизмещающие суда имеют как минимум четыре особенности.
Как правило, любая из упрощенных моделей дает достаточно, точ¬ный результат при исследовании лишь определенного, иногда очень ча¬стного, режима движения судна. При смене режима-или собственных па¬раметров объекта (в связи с изменением условий, плавания) данная мо¬дель может оставаться пригодной (адекватной), но может также дать не только количественное, но и качественное расхождение с реальными ха¬рактеристиками движения.
Проведем анализ моделей и для дальнейшей работы выберем моде¬ли, которые отражают первую (главную) из особенностей — «Б» — образ¬ность характеристики управляемости.
Рис. 1.1. Статическая характеристика теплохода «Я. Свердлов»
о.г
Т> к. ". Сдг/^ /ЬеМП^Л. и*. Явт*
Возможное расположение статической характеристики
'•Cturtt.it.yHi5".
Рис. 1.2. Плоскость ю(а, 1;) для судна «Юрий Долгорукий»
Для исследования простейшей математической модели (1.2), пред¬ложенной Номото, необходимо определить т, к. Из теории автоматиче¬ского управления для типового звена, описываемого уравнением (1.2) известно, что [76] ^„-Зт, соуст~кос.
Таким образом, имеем два уравнения для отыскания двух коэффи¬циентов т, к. На рис. 1.3, а представлена статическая характеристика мо¬дели Номото (т=30, к=0.21).
Модель (1.3) отличается от модели Номото лишь введенным до¬полнительным слагаемым coosign(a). Это слагаемое отражает одну из важнейших характеристик неустойчивого судна — выход на самопроиз¬вольную циркуляцию при отсутствии управляющего воздействия (а=0). Для устойчивых судов это слагаемое равно нулю. Наличие критических управлений акр данная модель не отражает. Коэффициент к для этой мо¬дели можно рассчитать по формуле
а
На рис. 1.3, б представлена статическая характеристика моде¬ли (1.3) (т=30, к=0.021, со0=0.398).
ш, °/с
53 (Г"
0.2
2
О)0
Рис. 1.3. Статическая характеристика моделей: а - модель (1.2);б — модель (1.3)
Проанализируем возможности модели (1.4). Один из коэффициен¬тов модели (1.4) Ь можно получить из выражения для режима самопро¬извольной циркуляции (а=0)
Из уравнения для установившегося режима найдем второй коэф¬фициент к
, _ кЫуст I Юуст I
уст
а
На рис. 1.4 представлена статическая характеристика модели (1.4).
ю(а), °/с
Рис. 1.4. Статическая характеристика модели (1.4) т=-33, к=-0.023, Ь=-2.5
Линеаризованная модель (1.5) достаточно исследована и известно, что она применима для анализа режима удержания на курсе, где расхож¬дение с данными по (1.6) несущественны из-за малости нелинейного слагаемого [94]. Для низкочастотных режимов работы (поворот или цир¬куляция с заданным радиусом) при описании поведения неустойчивых на курсе судов эта модель дает качественные отличия. Например, такие как отсутствие самопроизвольной циркуляции и рост до бесконечно большой величины угловой скорости при постоянном угле перекладки руля, так как характеристическое уравнение модели (1.5) имеет положи¬тельный корень для неустойчивых на курсе судов.
Модель (1.6), предложенная Першицем Р.Я. [73],наиболее часто используют при проектировании системы автоматического управления движением судна по курсу. В данной модели приняты допущения: от¬сутствие внешних возмущений (ветра, волны, течения и т.д.), постоянст¬во скорости хода, отсутствие крена и дифферента. На рис. 1.5 представ¬лена статическая характеристика модели (1.6). Данная модель практиче¬ски точно воспроизводит характеристику управляемости неустойчивых на курсе судов.
Рис. 1.5. Статическая характеристика модели (1.6)
Я21=-0.066, г21=-0.021, 821=-0.0007, Я31=-0.127, г3,=0.083, 531=-0.0008, Ь,=0.376
Анализируя статические характеристики, построенные по разным моделям (рис. 1.3 — 1.6), можно сделать вывод, что только модели (1.3), (1.4) и (1.6) отражают первую особенность речного водоизмещающего судна — выходить на самопроизвольный поворот при отсутствии управ¬ления.
Оценим рассматриваемые модели с точки зрения способности от¬ражать динамические особенности. В виду того, что во время натурных испытаний одна из координат состояния судна не измеряется ((3), то для моделей (1.5) и (1.6) усложняется, процесс анализа свойств объекта по фазовому портрету со —13 (этот способ анализа динамики судна- впервые был предложен профессором Фейгиным М.И. [109]) или классическому фазовому портрету в плоскости ско/ск — со. Но оказывается, что динамику объекта можно анализировать на плоскости статической характеристики ю(а), с введением на нее информации о текущем времени (этот способ впервые был предложен профессором Чирковой М.М. [122]). Для этого введено понятие статико-динамической плоскости со(а, на которой ставятся точки, выбранные из осциллограмм ю(1:), а(1) через промежуток времени т несколько меньший постоянной времени судна. Для получе¬ния статико-динамического портрета (СД-портрет) объекта необходимо провести сканирование статико-динамической плоскости, для: чего необ¬ходимо периодически менять знак управления а(1:) на противоположный, уменьшая его максимально допустимое значение, рис. 1.6. Управление начинает менять знак на противоположный, когда координата состояния со(1;) достигает установившегося значения на-данном шаге (цикле).
На рис. 1.7, 1.8, 1.9, представлены статико-динамические портреты» моделей 1.2, 1.3, 1.6 . Каждая точка на портрете показывает значение ко¬ординат со и а в определенное время. На рис. 1.10 видны области раз¬личного поведения системы: область, пониженной управляемости (об¬ласть «А»), область нормальной реакции со на изменение а (область «Б»), выход на установившийся режим соуст = А(ос) (область «В»). Нали¬чие области «А» подтверждается натурными испытаниями для речных водоизмещающих судов.
Рис. 1.6. Закон формирования управляющего воздействия
а, ° ¦ со, °/с
0.5
ГП2500
"ХТ I
к и
Рис. 1.7. Сканирование плоскости ю(а) с помощью модели (1.2)
ю, 7с
/0.5
ООО Ь
Рис. 1.8. Сканирование плоскости <о(а) с помощью модели (1.3)
б)
б)
Рис. 1.9. Сканирование плоскости ю(а) с помощью модели (1.6)
Анализируя полученные характеристики управляемости и статико- динамические портреты (рис. 1.7 — 1.9) можно сделать выводы:
1)Если судно теоретически устойчивое на курсе (речное водоиз- мещающее судно типа «Родина»), то использование практически любой модели допустимо, так как устойчивые суда не обладают ни одной из особенностей, присущих неустойчивым на курсе речным водоизмещаю- щим судам. Для неустойчивых судов (речные водоизмещающие суда ти-
па «Юрий Долгорукий», «Волгонефть») должна использоваться мо¬дель (1.6), так как только эта модель описывает три из четырех особен¬ностей неустойчивых на курсе судов:
— имеет «8» - образный вид статической характеристики и способ¬на выходить на самопроизвольную циркуляцию при отсутствии управ¬ления;
— имеет области пониженной управляемости;
— возможность непредсказуемой реакции, если управление меньше критической величины.
2) Пятая динамическая особенность, обнаруженная на осцилло¬граммах натурных испытаний речного судна «Я. Свердлов» - «блужда¬ние» координаты состояния со(1) (рис. 1.1, обл. В) не выявляет ни одна из рассмотренных моделей.
Таким образом, для дальнейших исследований использовалась мо¬дель (1.6), которая отражает три из указанных особенностей поведения реального судна. Число особенностей, которые отражают модели (1.2)— (1.5) соответственно равно 0, 1, 1,0.
1.2. Восстановление коэффициентов математической модели
судна
(1.7)
Для оценки диапазона изменения коэффициентов модели, а соот-ветственно и вида характеристик управляемости при изменении внешней среды перейдем от уравнений динамики к уравнениям статики (1.7):
- Ч2ф ~ гг\® - Ч\а ~Ь\Р\Р = 0
На этапе проектирования судна расчет коэффициентов qз1, г31, Бзь Ягь г2Ь $2\, 1*1 для модели (1.6) проводится с использованием формул (1.8) — (1.14) и номограмм справочника по теории корабля [29]:
ЫС'Л-ЮСп* я) (
рЬ\С:Гд+Мке2%п8п)
— О тп , л ч V ^
2/(1+ &66)
31 2/0 +А«) (1Л0)
ИРъРД+ РкХпйп) /1 114
(1.12)
(1.14)
2к(1 + к22)
?икехп$п1-2У(\ + кп) 2У(\ + к22)
= 0-13)
2Г(1 + А:22) 2К(1 + *~)
где р - плотность воды; Ь — длина судна по ватерлинии;
— коэффициент момента корпуса; - приведенная площадь ДП судна;
/лк - коэффициент боковой силы руля;
е — относительное отстояние руля от миделыппангоута;
%п — приведенный коэффициент влияния корпуса и винта на руль;
8П - приведенная площадь рулей;
I — момент инерции массы судна;
— коэффициент присоединенных масс, определяемый по графику (справочник) в зависимости от отношений Ь/В и 2Т/В;
С® - коэффициент демпфирующего момента;
с\ - коэффициент нормальной силы корпуса, определяемый при помощи номограмм в зависимости от коэффициента продольной полноты судна, отношений Ь/В и Т/Ь, а также приведенного коэффициента полноты
коэффициент присоединенных масс, определяемый по графику
(справочник) в зависимости от отношений Ь/В и 2Т/В;
кп - коэффициент присоединенных масс, определяемый по графику
(справочник) в зависимости от отношений Ь/В и 2Т/В;
с2 - коэффициент нормальной силы корпуса, определяемый при помощи
номограмм в зависимости от коэффициента продольной полноты судна,
отношений Ь/В и Т/Ь, а также приведенного коэффициента полноты
диаметральной плоскости сгд.
Использование этой методики расчета коэффициентов довольно затруднительно, тем более натурные эксперименты показали, что коэф¬фициенты, входящие в уравнения системы (1.6) зависят не только от па¬раметров корпуса судна, характеристик движительно-рулевого комплек¬са, но и от внешних факторов.
22
диаметральной плоскости стд; V - объемное водоизмещение судна;
(1.11)
Чъ\
(г3]гу + 531а) = О
Формулу для расчета одного из коэффициентов уравнения (1.6) — Бз! (чувствительность со к перекладке руля) можно вывести из второго
Для'оценки диапазона изменения коэффициентов модели (1.6)' при переходе с глубокой воды на мелкую были использованы данные с ос¬циллограмм натурных испытаний судна «Волгонефть 71», проведенных в бассейне реки Волга при различных внешних условиях (р1, 1=1,2,3,4) в режиме поворота судна при разных значениях угла перекладки руля. Ввиду того, что исходные данные отражают статику судна и при прове¬дении испытаний запись велась только для координат а(1) и а>(1:), то от системы двух уравнений (1.7) перейдем к уравнению статики в виде /{((о, ос) = 0.
уравнения системы (1.6)
® = -ЧъФ ГЪ\<° ~ С1 •'12)
и определить по осциллограммам натурных испытаний. Для приближен¬ной оценки коэффициента Эз! в момент перекладки руля значения (3 и ю можно считать бесконечно малыми величинами. Таким образом, выра¬жение для расчета Бз! принимает вид:
