Законы сохранения в механике
Закон сохранения импульса
Импульс обладает важнейшим свойством, которое имеется лишь у
немногих физических величин. Это свойство сохранения.
Свойство сохраняться — это свойство оставаться неизменным. Относится оно к случаю, когда два или более тел взаимодействуют друг с другом, но на них не действуют внешние силы. Такая группа тел, или система тел, называется замкнутой. Замкнутой системой тел, называют совокупность тел, которые взаимодействуют между собой, но не взаимодействуют с другими телами.
С помощью опытов поясним понятие замкнутой системы и свойство
сохранения импульса.
Поставим на горизонтальные рельсы две тележки одинаковой массы. К торцу одной из них прикреплен шарик из пластилина, и к каждой из них на торцах прикреплены пружинные буфера (рис. 1). Пусть сначала тележки
обращены друг к другу торцами, лишенными пружин. Сообщим обеим
тележкам одинаковые по модулю скорости навстречу одна другой.
Рисунок 1 – Две тележки одинаковой массы
Тележки встретятся, пластилин соединит их, и тележки остановятся. Две сталкивающиеся тележки — это система двух взаимодействующих тел. Ее можно считать замкнутой системой, потому что действия на них других тел — Земли и опоры скомпенсированы. До встречи импульсы обеих тележек по модулю равны друг другу, а по направлению противоположны. Следовательно, сумма импульсов обеих тележек равна нулю. Во время столкновения тележки взаимодействуют между собой, т. е. действуют друг на друга с некоторыми силами, равными по модулю и противоположными по направлению (третий закон Ньютона). Поэтому импульс каждой из тележек изменился. Но сумма импульсов осталась прежней, то есть равной нулю, ведь в конечном итоге тележки остановились.
Повернем тележки так, чтобы они были обращены друг к другу пружинными буферами (рис. 2). Повторив опыт, мы убедимся в том, что после столкновения тележки разъедутся в противоположные стороны с одинаковыми по модулю, но противоположными по направлению скоростями. Значит, при взаимодействии импульсы опять изменились, но сумма импульсов попрежнему осталась равной нулю, то есть она сохранилась или осталась неизменной.
Рисунок 2 – Тележки обращены друг к другу пружинными буферами
Массы и скорости тел могут быть и различными. Не следует думать, что полный импульс системы тел сохраняется только тогда, когда он равен нулю. Допустим, что массы тележек не одинаковы: масса левой тележки равна m1, правой — m2. Пусть и скорости, сообщенные тележкам, различны — 1 у левой и 2 у правой тележки. Значит, до столкновения импульс левой тележки был m1 1, правой — m2 2. При столкновении на левую тележку подействовала некоторая сила , на правую — равная ей по модулю, но противоположная по направлению сила — . Время t действия силы , такое же, как время действия силы — . В результате действия сил скорости обеих тележек изменились. Пусть скорость левой тележки стала равной '1, правой — '2. Так же изменились и импульсы тележек.
Запишем для каждой тележки уравнение.
Для левой тележки: (1)
Для правой тележки: (2)
Сложим почленно эти равенства:
0 = m1 '1 – m1 1 + m2 '2 – m2 2 (3)
или
m1 1 + m 2 = m1 '1m2 '2 (4)
В левой части равенства сумма импульсов обеих тележек до столкновения, а в правой — сумма импульсов тех же тележек после столкновения. Пусть импульс каждой из тележек изменился, но сумма же осталась неизменной.
Закон сохранения импульса. Если взаимодействуют не два, а много тел, то можно, применив к каждому из них формулу.
t = m – m 0 (5)
Доказать, что и в этих случаях сумма импульсов замкнутой системы взаимодействующих тел не изменяется (сохраняется). В этом и состоит закон сохранения импульса.
Геометрическая сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых движениях и взаимодействиях тел системы между собой.
С замкнутыми системами тел мы постоянно встречаемся в природе и технике, такими системами можно считать, как: ружье и пуля, пушка и снаряд, оболочка ракеты и топливо в ней, Солнце и планеты, Земля и ее спутник. И каждый раз, когда изменяется импульс одного из тел системы, под действием сил взаимодействия, непременно изменяются и импульсы других тел, но всегда так, что общий импульс всех тел не изменяется.
Незамкнутая система тел — это система, в которой взаимодействуют между собой некоторые тела, и на которую действуют внешние силы. В данном случае общий импульс системы сохраняться не будет, а будет постоянно изменяться под действием внешних воздействий. И изменение импульса равно импульсу той силы, которая приложена к системе. Например, стоящего на льду конькобежца может заставить сдвинуться с места (то есть изменить импульс) толчок его товарища. Но если конькобежец будет тянуть одной своей рукой другую руку, то это никак не изменит его импульс.
1.2 Закон сохранения полной механической энергии
Энергия. Простые машины обладают способностью совершать работу, но не могут сохранять эту способность, так как одновременно с тем, как они ее получают на одном конце, отдают ее на другом. Однако есть случаи, когда тела могут накапливать способность совершать работу. Существуют специальные механизмы, способные запасти работу, а затем отдать ее. Типичным примером является гиревой завод настенных часов (рис. 3)
Рисунок 3 – Поднятая гиря обладает запасом работы, который постепенно расходуется на поддержание хода часов
Подтягивая гирю вверх, мы совершаем некоторую работу. В результате которой часовой механизм получает способность совершать в течение длительного времени работу, необходимую для хода часов. То есть работу, с помощью которой будет осуществленная поддержка движения всех колес, стрелок и маятника, испытывающих сопротивление движению, вызванное трением. По мере хода часов гиря постепенно опускается и запас работоспособности механизма уменьшается. Через некоторое время понадобится снова завести часы, то есть вновь сделать их способными к совершению работы, требующейся для их хода. При заводе часов гиревой механизм накапливает способность производить работу; по мере хода часов способность производить работу расходуется. Поднимая груз, мы запасаем работу; опускаясь, груз способен производить работу.
В теле можно накапливать работу не только путем поднятия тела на некоторую высоту, а также деформируя тело, например, сжимая или растягивая пружину, мы производим работу; в результате деформированное тело получает способность совершать работу.
Задавая скорость какому-либо телу, также приходится затрачивать работу, в результате которой тело имеет способность совершать работу, уменьшая свою скорость. Например, при составлении поездов маневровый тепловоз толкает вагон к составу и, останавливаясь, вагон сжимает пружины буферов; пуля, попадающая в препятствие, производит работу, разрушая материал, и т. д.
Во всех представленных случаях работа производится при изменении состояния тела: при опускании груза, при раскручивании пружины, при остановке движущегося тела. Пока эти изменения не произошли, работа не произведена. Так же в теле имеется некоторый запас еще не совершенной работы. А при совершении работы этот запас расходуется. Производя же работу над телом: поднимая его вверх, деформируя его, сообщая ему скорость, - мы сообщаем ему запас работы, который в дальнейшем можно использовать, возвращая тело в исходное состояние.
Энергией называют запас работы, которую может совершить тело, изменяя свое состояние.
В механике существуют разные виды энергии: энергия, связанная с поднятием тела над землей (и вообще энергия, связанная с силами всемирного тяготения); энергия, связанная с деформациями тела; энергия, связанная с движением тел.
Изменение энергии определяется той работой, которую надо совершить, чтобы вызвать это изменение. Следовательно, энергию измеряют в тех же единицах, в которых измеряют работу, то есть в джоулях.
Потенциальная энергия. Найдем, чему равна работа А, совершаемая некоторой силой F при подъеме тела весом m на высоту h. Будем считать, что движение тела происходит медленно и что силами трения можно пренебречь. Работа против силы тяжести не зависит от того, как мы поднимаем тело: по вертикали (как гирю в часах), по наклонной плоскости (как при поднятии санок в гору) или еще каким-либо способом. Во всех случаях работа А = mgh. При опускании тела на первоначальный уровень сила тяжести произведет такую же работу, какая была затрачена силой F на подъем тела.
Значит, поднимая тело, мы запасли работу, равную mgh, т. е. поднятое тело обладает энергией, равной произведению силы тяжести, действующей на это тело, и высоты, на которую оно поднято. Эта энергия не зависит от того, по какому пути происходил подъем, а определяется лишь положением тела (высотой, на которую оно поднято) и называется потенциальной энергией. Итак, потенциальная энергия Еп тела, поднятого на некоторую высоту, выражается формулой
En = mgh (6)
При исходном положении тела работа, которую может совершить тело, то есть его потенциальная энергия, зависит от того, насколько тело может опуститься. В гиревом механизме часов это определяется длиной цепочки, на которой висит гиря, в примере с наклонной плоскостью – высотой наивысшей точки наклонной плоскости над ее минимальной точкой. В других случаях минимальный уровень не может быть так определен. Например, если тело лежит на столе, то можно определять его потенциальную энергию той работой, которую оно совершило бы, опускаясь до пола. Поэтому нужно условиться заранее, от какого уровня отсчитывать высоту, а вместе с тем и значение потенциальной энергии тела. Выбрать этот уровень можно совершенно произвольно, так как во всех физических явлениях всегда важна не сама потенциальная энергия, а ее изменение, которым определяется совершаемая работа. Изменение же потенциальной энергии будет, очевидно, в не зависимости от того какой исходный уровень выбран.
Если условия не оговорены, мы будем считать потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности земли, равной нулю. Тогда в формуле (6) в качестве h следует брать высоту поднятия тела над поверхностью земли.
Если тело имеет значительные размеры, то под h в формуле (6) нужно понимать расстояние от поверхности земли (или от иного нулевого уровня) до центра тяжести тела.
Рисунок 4 – При переходе столба из положения АВ в положение А1В1 сила тяжести не совершает работы, так как центр тяжести тела остается на месте.
При переходе из положения А1В1 в положение A2В2 совершается работа mgh.
Например, определим насколько потенциальная энергия вертикально стоящего столба рис. 4 в положение АВ, больше потенциальной энергии того же столба, лежащего на земле (положение A2В2). Представим себе, что столб переходит из положения АВ в положение A2B2 в два приема. Сначала он поворачивается вокруг центра тяжести (в данном случае около средней точки) в положение A1B1. При этом верхняя часть столба опускается, а нижняя поднимается; и сила тяжести совершает над верхней частью столба положительную работу, а над нижней — равную ей отрицательную работу, и полная работа силы тяжести равна нулю. Только при переходе из положения А1В1 в положение А2В2 сила тяжести совершает положительную работу. Следовательно, потенциальная энергия стоящего на земле столба больше потенциальной энергии столба, лежащего на земле, на величину mgh, где m — масса столба и h — разность высот центра тяжести в положениях АВ и A2В2.
При подсчете потенциальной энергии жидкости массы m, находящейся в цилиндрическом сосуде (рис. 5), следует взять высоту H центра тяжести жидкости С над нулевым уровнем, т. е. высоту h0 дна сосуда над нулевым уровнем, плюс половину высоты уровня жидкости в сосуде h1/2, так что потенциальная энергия будет равна:
Еп = mg(h_0+h/2) (7)
Рисунок 5 – К расчету потенциальной энергий жидкости в сосуде
Потенциальная энергия упругой деформации. Деформированное упругое тело (например, растянутая или сжатая пружина) способно, возвращаясь в исходное состояние, совершив работу над соприкасающимися с ним телами. Следовательно, упругое деформированное тело обладает потенциальной энергией. Она зависит от взаимного положения частей тела, например, витков пружины. Работа, которую может совершить растянутая пружина, зависит от начального и конечного растяжения пружины. Найдем работу, которую может совершить растянутая пружина, возвращаясь к первоначальному состоянию, таким образом, найдем потенциальную энергию растянутой пружины.
Пусть растянутая пружина закреплена одним концом, а второй конец, перемещаясь, совершает работу. Нужно учитывать, что сила, с которой действует пружина, не остается постоянной, а изменяется пропорционально растяжению. Если первоначальное растяжение пружины, считая от нерастянутого состояния, равнялось l, то первоначальное значение силы упругости составляло F=kl, где k — коэффициент пропорциональности, который называют жесткостью пружины. По мере сокращения пружины эта сила линейно убывает от значения kl до нуля. Значит, среднее значение силы равно Fср=kl/2. Можно показать, что работа А равна этому среднему, умноженному на перемещение точки приложения силы:
A = kl/2*l= ?kl?^2/2 (8)
Таким образом, потенциальная энергия растянутой пружины
E_п= ?kl?^2/2 (9)
Такое же выражение получается для сжатой пружины.
В формуле (9) потенциальная энергия выражена через жесткость пружины и через ее растяжение l. Заменив l на F/k, где F – упругая сила, соответствующая растяжению (или сжатию) пружины l, получим выражение:
E_п=F^2/2k (10)
которое определяет потенциальную энергию пружины, растянутой (или сжатой) силой F. Из этой формулы видно, что, растягивая с одной и той же силой разные пружины, мы сообщим им различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, тем меньше ее потенциальная энергия; и наоборот: чем мягче пружина, тем больше энергия, которую она запасет при данной растягивающей силе. Это можно уяснить себе наглядно, если учесть, что при одинаковых действующих силах растяжение мягкой пружины больше, чем жесткой, а потому больше и произведение силы на перемещение точки приложения силы, т. е. работа.
Данная закономерность имеет большое значение, например, при устройстве различных рессор и амортизаторов: при посадке на землю самолета амортизатор шасси, сжимаясь, должен произвести большую работу, гася вертикальную скорость самолета. В амортизаторе с малой жесткостью сжатие будет больше, зато возникающие силы упругости будут меньше и самолет будет лучше предохранен от повреждений. По той же причине при тугой накачке шин велосипеда дорожные толчки ощущаются резче, чем при слабой накачке.
Кинетическая энергия. Тела могут обладать некоторым запасом работы, то есть обладать энергией, не только при определенном положение в пространстве или деформирование, но и если тело обладает скоростью. Так, вагон может въехать на гору, если он вначале обладает некоторой скоростью; пуля или снаряд могут подняться на значительную высоту, если они вылетают из дула с большой скоростью. В этих случаях движущееся тело, поднимаясь вверх, совершает работу против силы тяжести. Так же движущееся тело совершает работу против сил упругости. Например, бумажный шарик, привязанный к тонкой резиновой нити, может сильно растянуть эту нить, если шарику сообщить толчком большую скорость (рис. 6). Когда один катящийся вагон ударяется своими буферами о буфера другого вагона, то пружины буферов сильно сжимаются, т. е. совершается работа сжатия пружины.
Рисунок 6 – Быстро летящий бумажный шарик растягивает резиновую нить
Во всех перечисленных примерах тело совершает работу потому, что оно обладает определенной скоростью. Покоящийся вагон не может въехать на гору, не может сжать буферных пружин.
Всякий раз, когда тело совершает работу благодаря тому, что оно движется и под воздействием сил сопротивления, скорость его движения будет уменьшаться. Если скорость тела уменьшится до нуля, то запас способности совершать работу за счет движения тела будет исчерпан. Значит, всякое движущееся тело обладает некоторым определенным запасом способности совершать работу, то есть определенной энергией. Энергией движущегося тела называют кинетической энергией.
Механическая энергия образуется при сложении кинетической и потенциальной энергии.
Выражение кинетической энергии через массу и скорость тела. Выше рассмотрено, что можно создать запас потенциальной энергии, заставляя какую-либо силу совершать работу: поднимая груз или сжимая пружину. Точно так же можно создать и запас кинетической энергии в результате работы какой-либо силы. Действительно, если тело под действием внешней силы получает ускорение и перемещается, то эта сила совершает работу, а тело приобретает скорость, т. е. приобретает кинетическую энергию. Например, сила давления пороховых газов в стволе ружья, выталкивая пулю, совершает работу, за счет которой и создается запас кинетической энергии пули. Обратно, если вследствие движения пули совершается работа (например, пуля поднимается вверх или, попадая в препятствие, производит разрушения), то кинетическая энергия пули уменьшается.
Переход работы в кинетическую энергию можно проследить на примере когда на тело действует только одна сила (в случае многих сил это — равнодействующая всех сил, действующих на тело). Предположим, что на тело массы m, находившееся в покое, начала действовать постоянная сила F; под действием силы F тело будет двигаться равноускоренно с ускорением a Пройдя расстояние s в направлении действия силы, тело приобретет скорость ?, связанную с пройденным расстоянием формулой s . Отсюда находим работу А силы F:
A=Fs=F v^2/2a= ?mv?^2/2 (11)
Точно так же, если на тело, движущееся со скоростью ?, начнет действовать сила, обратная направлению скорости движения, то оно будет замедлять свое движение и остановится, произведя до остановки работу против действующей силы, также равную . Значит, кинетическая энергия Eк движущегося тела равна половине произведения его массы на квадрат скорости:
Е_к= ?mv?^2/2 (12)
Поскольку изменение кинетической энергии, так же как и изменение потенциальной энергии, равно работе (положительной или отрицательной), произведенной при этом изменении, то кинетическая энергия также измеряется в джоулях.
Полная энергия тела. Рассмотрим, как изменяется кинетическая и потенциальная энергия тела, брошенного вверх.
При подъеме тела скорость его убывает по закону = 0 - gt, где 0 — начальная скорость, t — время. Кинетическая энергия при этом также убывает, изменяясь по закону
E_k=(m?(v_0-gt )?^2)/2 = (mv_0^2)/2- mv_0 gt- (mg^2 t^2)/2 (13)
Так как начальная кинетическая энергия тела равна , то к моменту t убыль кинетической энергии
-?E_k=mv_0 gt-(mg^2 t^2)/2 (14)
С другой стороны, высота тела в момент t есть
h= v_0 t- (gt^2)/2 (15)
Следовательно, приращение потенциальной энергии, за время t равно:
?E_n=mv_0 gt- (mg^2 t^2)/2 (16)
Сравнивая это выражение с (14), видим, что приращение потенциальной энергии за время t равно убыванию кинетической энергии за то же время. Таким образом, при движении тела вверх его кинетическая энергия постепенно превращается в потенциальную энергию. Когда движение вверх прекращается (наивысшая точка подъема), вся кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию. При движении тела вниз происходит обратный процесс: потенциальная энергия тела переходит в кинетическую энергию.
При этих превращениях полная механическая энергия (т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий) остается неизменной, так как при подъеме уменьшение кинетической энергии полностью покрывается приращением потенциальной (а при падении — наоборот). Если потенциальную энергию тела у поверхности земли считать равной нулю, то сумма кинетической и потенциальной энергий тела на любой высоте во время подъема или падения будет равна
E= E_k+E_n= (mv_0^2)/2 (17)
т. е. остается равной начальной кинетической энергии тела.
Этот вывод представляет собой частный случай одного из важнейших законов природы – закона сохранения энергии.
Закон сохранения энергии. Если на тело действует сжатая пружина, то она может придать телу некоторую скорость, т. е. кинетическую энергию, но при этом пружина будет распрямляться, и ее потенциальная энергия будет уменьшаться; сумма потенциальной и кинетической энергий останется постоянной. Если на тело, кроме пружины, действует еще и сила тяжести, то хотя при движении тела энергия каждого вида будет изменяться, но сумма потенциальной энергии тяготения, потенциальной энергии пружины и кинетической энергии тела оставаться неизменной.
Энергия может переходить из одного вида в другой, может переходить от одного тела к другому, но общий запас механической энергии остается неизменным. Опыты и теоретические расчеты показывают, что при отсутствии сил трения и при воздействии только сил упругости и тяготения суммарная потенциальная и кинетическая энергия тела или системы тел остается во всех случаях постоянной. В этом и заключается закон сохранения механической энергии.
Рисунок 7 – Отразившись от стальной плиты, стальной шарик подскакивает снова почти на ту же высоту, с которой он был брошен
Проиллюстрируем закон сохранения энергии на следующем опыте. Стальной шарик, упавший с некоторой высоты на стальную или стеклянную плиту и ударившийся об нее, подскакивает почти на ту же высоту, с которой упал (рис. 7). Во время движения шарика происходит целый ряд превращений энергии. При падении потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию шарика. Когда при прикосновении шарика к плите, и шарик и плита подвергаются деформации. Кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию упругой деформации шарика и плиты, причем этот процесс продолжается до тех пор, пока шарик не остановится, до тех пор, пока вся его кинетическая энергия не перейдет в потенциальную энергию упругой деформации. Затем под действием сил упругости деформированной плиты шарик приобретает скорость, направленную вверх: энергия упругой деформации плиты и шарика превращается в кинетическую энергию шарика. При дальнейшем движении вверх скорость шарика под действием силы тяжести уменьшается, и кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию тяготения. В наивысшей точке шарик обладает снова только потенциальной энергией тяготения.
Поскольку можно считать, что шарик поднялся на ту же высоту, с которой он начал падать, потенциальная энергия шарика в начале и в конце описанного процесса одна и та же. Более того, в любой момент времени, при всех превращениях энергии сумма потенциальной энергии тяготения, потенциальной энергии упругой деформации и кинетической энергии все время остается неизменной, т. е. закон сохранения механической энергии выполнен.
