1 Теоретические аспекты обучения решению уравнений учащихся 5-6 классов
1.1 Основные понятия линии уравнений
Понятие уравнения относится к важнейшим математическим понятиям. Именно поэтому трудно дать его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, которые приступают к овладению школьным курсом алгебры. Приведем примеры некоторых определений.
Определение 1 (логико-математическое определение уравнения). Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, x – переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно x называется предикат (т. е. предложение с переменной) вида а (x) = b (x), где а (x) и b (x) – термы (выражения) относительно заданных операций, в запись которых входит символ x.
Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т. д.
Определение 2. Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением.
Анализируя приведенное математическое определение уравнения можно выделить в нём два компонента:
первый компонент (уравнение – это предикат) – смысловой, он важен для уяснения понятия корня уравнения;
второй компонент – знаковый (уравнение – это равенство, соединяющее два терма) – относится к формальным особенностям записи, изображающей уравнение. Он важен, когда запись уравнения подвергается различным преобразованиям: часто такие преобразования производятся чисто механически: без обращения к их смыслу.
Определение 3. Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения.
Определение 4. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.
Здесь же вводятся понятия левой и правой частей уравнения и его корня. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.
Этот способ введения соответствует ещё одному компоненту понятия уравнения – прикладному.
Помимо выделенных компонентов понятия уравнения (смыслового, знакового, прикладного) в школьной математике большую роль играет компонент, при котором уравнение трактуется как равенство двух функций. Его роль проявляется в изучении графического метода решения уравнений. Однако в большинстве действующих учебниках алгебры этот компонент не кладется в основу определения уравнения.
Определение 5. Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв, называется уравнением.
В основу этого определения положено противопоставление тождества и уравнения.
Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение».
В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам). Вопрос о выборе одного из них в школьной практике в настоящее время окончательно ещё не решён.
Выбор одного из них влечет за собой различия в нахождении корней уравнения. Так, с термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы, поэтому в уравнение а (x) = b (x) можно подставлять вместо x конкретные числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому нелогично. Нахождение корней уравнения а (x) = b (x) с этой точки зрения должно осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают как верное и пытаются привести его к виду x = x0, где x0 – числовое выражение.
Равносильность и логическое следование – это всё логические средства, которые используются в процессе изучения уравнений. Наиболее важным из них является понятие равносильности.
Определение 6. Уравнения называются равносильными, если равносильны соответствующие предикаты, то есть если выполнены условия: области определения уравнений одинаковы и множества их корней равны.
Имеются два пути установления равносильности уравнений:
1) Используя известные множества корней уравнений, убедиться в их совпадении; например, уравнения x + 1 = x + 2 и x^2+ 1 = x^2+ 2 равносильны, так как они не имеют корней.
2) Используя особенности записи уравнений, осуществить последовательный переход от одной записи к другой посредством преобразований, не нарушающих равносильности.
Для большинства заданий второй путь более характерен, ведь равносильность в теории уравнений как раз и используется для того, чтобы указать конкретные правила для решения уравнений. Однако в преподавании ограничиваться им нецелесообразно, так как он относится только к практическому применению равносильности и требует первого для своего обоснования.
В отношении формирования понятия равносильности и его применения к решению уравнений учебные пособия по алгебре можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований основано на явном введении и изучении понятия равносильности; ко второй – те, в которых применение равносильных преобразований предшествует выделению самого понятия. Методика работы над понятием равносильности имеет при указанных подходах отличия.
В связи с вопросом равносильности в изучении материала линии уравнений и неравенств можно выделить три основных этапа.
Первый этап охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь происходит ознакомление с различными способами решения отдельных, наиболее простых классов уравнений. Используемые при этом преобразования получают индуктивное обоснование при рассмотрении конкретных примеров. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения всё чаще заменяются такими, где фактически используется равносильность, но сам термин не употребляется. Длительность этого этапа может быть различной в зависимости от методических установок учебника.
На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и сопоставление его теоретического содержания с правилами преобразований, которые выводятся на его основе. Длительность этого этапа незначительна, так как на нем происходит только выделение этого понятия и его использование на нескольких теоретических примерах.
На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит развертывание общей теории, и теории отдельных классов уравнений. Такой стиль характерен для курса алгебры и начал анализа. К числу неравносильных преобразований относится понятие логического следования.
Логическое следование начинает применяться значительно позже равносильности и осваивается как дополнение к нему. При решении уравнений при прочих равных условиях предпочтение отдается равносильному преобразованию; логическое следование применяется лишь тогда, когда равносильного преобразования найти не удается.
1.2 Этапы изучения линии уравнений в основной школе
Понятие уравнения формируется у учащихся постепенно в процессе изучения математики в средней школе. Впервые с уравнениями учащиеся знакомятся в начальных классах. Это – уравнение первой степени с одним неизвестным. Уравнение трактуется в 3 классе как равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти. Здесь же указывается, что значение переменной, при котором из уравнения получается верное равенство, называют корнем уравнения. Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что их нет).
Уравнения решаются в начальных классах на основе свойств арифметических действий. Учащиеся решают их с комментированием, то есть, проговаривая выполняемые операции с известными компонентами действий. Приведем примеры (Таблица 1).
Таблица 1 – Примеры уравнений и выполняемых операций
№
п/п Уравнение Выполняемые операции
1. х + 28 = 53
x = 53 - 28
x = 25 Неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
2. y – 34 = 26
y = 34 + 26
y = 60 Неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
3. 35 – z = 19
z = 35 - 19
z = 16 Неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
4. 7 * a = 56
a = 56:7
a = 8 Неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Продолжение таблицы 1
5. b : 23 = 4
b = 23 * 4
b = 92 Неизвестно делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.
6. 90 : c = 5
c = 90 : 5
c = 18 Неизвестен делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
В курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
Определение 1. Уравнением называется равенство, содержащее букву, значение которой надо найти [5].
Учащимся сообщается, что «значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения», приводятся примеры корней уравнений и поясняется, что значит «решить уравнение».
В дальнейшем учение об уравнениях в основной школе (5 – 9 кл.) развертывается следующим образом.
5 класс – определение уравнения первой степени с одним неизвестным; правая и левая части уравнения; корень уравнения и что значит «решить уравнение». Решение уравнений осуществляется на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий.
6 класс – решение уравнений с помощью переноса членов уравнения из одной части в другую с заменой знака переносимых членов на противоположный. Если до 6 класса учащиеся пользовались различными правилами: в одних случаях – правилом нахождения неизвестного слагаемого, в других – правилом нахождения неизвестного уменьшаемого, в третьих – правилом нахождения неизвестного вычитаемого и т. д., то теперь, после изучения операций над положительными и отрицательными числами, уравнения решаются одним способом.
В качестве примера рассмотрим решение уравнения: 6x + 2 = 3x + 8. Перенесем слагаемое 3x из правой части уравнения в левую, а слагаемое 2 – из левой в правую: 6x – 3x = 8 – 2. Упростим левую и правую части уравнения: 3x = 6. Разделим обе части уравнения на 3, получим: x = 2. Проверка показывает, что число 2 является корнем данного уравнения.
7 класс – понятие уравнения и его корня; уравнения первой степени с одним неизвестным; решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным; свойства уравнений; алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным; линейное уравнение с двумя неизвестными и его решение; график уравнения с двумя неизвестными; понятие системы двух уравнений с двумя не- 61 известными и способы её решения: способ подстановки, способ сложения, графический способ. Рассматриваются уравнения вида f (x) · g (x) = 0.
В 7 классе заканчивается изучение линейной функции, линейных уравнений с одним неизвестным и систем линейных уравнений с двумя неизвестными.
8 класс – уравнения с неизвестным в знаменателе; квадратные уравнения; уравнения с параметрами.
9 класс – понятие алгебраического уравнения степени n; решение алгебраических уравнений; уравнения, сводящиеся к алгебраическим; системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными и способы их решения; иррациональные уравнения, простейшие тригонометрические уравнения.
?
2 Методические аспекты изучения линии уравнений учащимися основной школы
2.1 Специфика изучения линии уравнений в школьном курсе математики в 5-6 классах
С 5 класса начинается систематическое изучение уравнений. Изучение уравнений в 5-6 классах имеет ряд отличительных особенностей: с одной стороны они рассматриваются как самостоятельные понятия, с другой стороны – ис¬пользуются как служебные единицы для решения текстовых задач и формирования вычислительных навыков.
Метод введения понятия – конкретно-индуктивный.
Этапы введения понятия:
Отыскание ярких практических при¬меров, показывающих целесообразность данного понятия.
Выявление существенных и несущест¬венных признаков данного понятия в ведение термина.
Формулируется определение. Первичное (учащиеся); четкое определение(учитель); повторение определения (учащиеся).
Иллюстрация понятия конкретными примерами, модели понятия.
Другие возможные определения.
Реализация этапов:
В учебнике Н.Я. Виленкина введение понятия уравнение начинается с задачи: На одной чашке весов находится арбуз и гиря в 6кг., а на другой – гиря в 15 кг. Весы находятся в равновесии. Найти массу арбуза.
Математическая модель ситуации задачи : х + 6 = 15.
Существенные признаки: равенство, содержит переменную.
Несущественные признаки: в какой части стоит переменная, какой буквой обозначается.
Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
Задания типа: Какие из выражений яв¬ляются уравнениями: «2 + 3 = 5; 2 + х = 8; 5 > 3; а + 8; 5в – 3 = 2 и т.д.?»
Учащиеся могут предложить ответ: «Равенст¬во, в котором есть неизвестное число и др.»
В 5-м классе уравнения решаются на множестве натуральных чисел. Как и в начальной школе – основной способ решения – на основании зависимости между результатами действий и их компонентами. Поэтому в 5-м классе рассматриваются 6 простейших видов уравнений: а + х = в; а – х = в; х – а = в; х * а = в; х : а = в; а : х = в .
Образец рассуждений при решении уравнения (7 + х) - 15 = 21 (5 кл.):
Неизвестная буква входит в уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшае¬мое необходимо к разности прибавить вычитаемое: 7 + х = 21 + 15; 7 + х = 36.
Теперь неизвестное входит в слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: х = 36 – 7; х = 29.
С введением десятичных дробей учащиеся решают задачи на новом число¬вом множестве: (8,5 – у) * 7,2 = 37,44 и др.
После упрощения выражений вида 5х + 7х на основе распределительного закона решаются уравнения, в кото¬рых требуются такие преобразования: (27х – 16х) : 11 = 3 и др. При решении таких уравнений отрабатываются навыки выполнения тождественных преобразований.
В процессе работы над понятиями «уравнение», «корень уравнения» полез¬но включать задания творческого характера. Например: «составить уравнение, корнем которого было бы число 5» или «какое число можно подставить в уравне¬ние 2х + * = 15 вместо *, чтобы число 6 было его корнем?»
