1. Теоретическая часть
1.1. Общая характеристика задач электростатики и магнитостатики и метод аналитического решения
В зависимости оттого, что задано и что определяется, задачи электростатики могут быть разделены на следующие три типа задач. Задача первого типа: по заданному закону распределения потенциала в пространстве j(х,у,z) найти распределение свободных зарядов, вызвавших поле. Такого рода задачи могут быть решены при помощи уравнения Пуассона. Это наиболее простой тип задач; в данной точке поля, согласно уравнению Пуассона, равняется сумме частных производных второго порядка от j, в которую подставляются координаты данной точки поля.
Задача второго типа: задан закон распределения свободных зарядов в пространстве в функции координат ?свб(х,у,z). Найти закон изменения потенциала в пространстве jсвб (х, у, z). Эта задача является обратной к первой и значительно сложнее ее. Принципиально задача состоит в решении уравнения Пуассона относительно j, т. е. в решении дифференциального уравнения второго порядка в частных производных.
Задачи первого и второго типов практически встречаются редко. В подавляющем большинстве приходится иметь дело с задачами третьего типа.
Задача третьего типа: известны потенциалы (или полные заряды) и геометрия тел, создающих поле. Требуется найти закон изменения Е или j во всех точках поля.
Если среда, в которой создано поле, является неоднородной, то она подразделяется на однородные области и решение уравнения Лапласа производится для каждой области в отдельности. Основная трудность задачи состоит в том, что хотя полные заряды тел и известны, но с какой плотностью на отдельных участках заряженного тела распределены заряды неизвестно. Решения уравнения Лапласа для отдельных областей должны быть согласованы друг с другом: на границе раздела двух сред с различными e должны выполняться граничные условия. На грани раздела проводящего тела и диэлектрика также должны выполняться свои граничные условия. Задачи, отнесенные к группе задач третьего типа, могут быть решены аналитическим или графическим путями, либо путем электромоделирования.
В самых простейших случаях задачи на аналитический расчет полей решаются путем использования теоремы Гаусса в интегральной форме. В более сложных случаях аналитическое решение задач третьей группы производится путем решения уравнения Лапласа.
Аналитические методы решения задач третьей группы могут быть подразделены на две подгруппы. В первой из них производится интегрирование уравнения Лапласа без использования вспомогательных (искусственных) приемов. Во второй подгруппе задача решается путем использования искусственного приема — метода зеркальных изображений. По методу зеркальных изображений решение производится путем введения вспомогательного заряда или зарядов, которые в расчетном отношении заменяют связанные заряды, выявившиеся на границах тел или сред в результате их поляризации или в результате электростатической индукции.
В тех случаях, когда потенциал j является функцией только одной координаты выбранной системы координат, уравнение Лапласа из уравнения в частных производных переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, которое интегрируется без затруднений.
Если же потенциал j является функцией двух или трех координат, то для того, чтобы проинтегрировать уравнение Лапласа, в этом случае путем применения метода Фурье — Бернулли следует перейти от уравнения в частных производных к равносильной ему совокупности двух или, соответственно, трех обыкновенных дифференциальных уравнений.
Анализ и расчет электростатических полей методом моделирования основывается на использовании аналогии между электростатическим полем и электрическим полем постоянного тока в проводящей среде. Метод моделирования основан на том, что каждой задаче электростатики может быть сопоставлена сходная задача на электрическое поле постоянного тока в проводящей среде, в которой совокупность силовых и эквипотенциальных линий практически такая же, что и в электростатической задаче. Это обстоятельство дает возможность перенести результаты экспериментального исследования поля в проводящей среде на род¬ственную электростатическую задачу. Следует заметить, что при расчетах полей широко применяется метод наложения.
Рассмотрим электростатическую задачу определения потенциала коаксиального кабеля (рис. 1). Уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат запишется следующим образом.
(1.1)
где , , – координаты в цилиндрической системе координат; – электрический потенциал; – абсолютная диэлектрическая проницаемость; – электрическая постоянная, Ф/м; – относительная диэлектрическая проницаемость.
