1. Линии тождественных преобразований в школьном курсе математики
1.1 Содержание линии тождественных преобразований школьном курсе математики
Линия тождественных преобразований является одной из восьми основных разделов содержательных линий школьного курса алгебры (числа и вычисления, выражения и их преобразования, уравнения и неравенства, функции, элементы математического анализа, элементы комбинаторики, теории вероятности, математической статистики, геометрические фигуры и их свойства, геометрические величины, координаты, векторы и геометрические преобразования). Изучение различных преобразований выражений и формул занимает большую часть учебного времени в школьном курсе математики. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано:
1) с резким увеличением числа совершаемых преобразований, их разнообразием;
2) с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости;
3) с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.
Линия тождественных преобразований получает следующее развитие в курсе алгебры основной школы:
5-6 классы – раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, вынесение множителя за скобки;
7 класс – тождественные преобразования целых и дробных выражений;
8 класс – тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни;
9 класс – тождественные преобразования тригонометрических выражений и выражений, содержащих степень с рациональным показателем;
10-11 классы – тождественные преобразования тригонометрических выражений, в основе которых лежат основные понятия тригонометрии (синус, косинус, тангенс, котангенс действительного числа) и формулы их взаимосвязи. Вводятся понятия корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени, изучаются свойства арифметических корней n-ой степени, на основании которых выполняются тождественные преобразования иррациональных выражений, перечисленные для квадратных корней. Определяется степень с рациональным показателем, изучаются её свойства, рассматриваются тождественные преобразования степенных и показательных выражений. Формируется понятие логарифма числа b по основанию a (log_a?b), рассматриваются его свойства, на основании которых выполняются тождественные преобразования логарифмических выражений.
Рассмотрим определения основных понятий таких как: «выражение», «тождественно равные выражения», «тождество» и «тождественные преобразования выражений». [7]
Определение. Выражением в математике называют запись, состоящую из чисел, букв (обозначающих постоянные или переменные величины), знаков математических действий. [30]
В школьном курсе математики выделяются два основных класса математических выражений: алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Определение. Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из конечного числа букв и цифр, соединенных знаками действий (сложение, умножение, вычитание, деление, извлечения корня и возведение в целую степень). [31]
Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими (логарифмические, тригонометрические, и показательные). [31]
Еще в начальной школе закладываются основы тождественных преобразований (законы арифметических действий). А более углубленно и систематически эти вопросы изучаются в курсе алгебры, начиная с седьмого класса. Рассмотрим последовательность изучения тождественных преобразований в курсе алгебры основной школы (Таблица 1). [33]
Таблица 1.
Иногда для решения задачи нужно заменить одно выражение другим более удобным или более простым. Иначе говоря, необходимо совершать тождественные преобразования выражений.
Существуют несколько подходов к понятию тождества. При всем разнообразии словесных формулировок понятий тождества, тождественного преобразования двух выражений, тождественного равенства двух выражений можно выделить лишь три подхода, которые рассматриваются следующими определениями:
Определение 1: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. [36]
Выражения, связанные знаком тождественного равенства, называют тождественно равным.
Например: ??+??=??+??, ????=????
(Впервые это определение формулируется в 7 классе)
Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием этого выражения. [36]
В этом определении слово «тождественное» иногда опускают, и говорят просто «преобразование выражения», при этом понимают, что речь идет о тождественном преобразовании. [7]
Приведем примеры для пояснения данного определения.
Пример 1. Выражение 6?? + 11 – 4 можно заменить тождественно равным ему выражением 6?? + 7, т.е. эта замена есть тождественное преобразование выражения 6??+ 11 ? 4 = 5?? + 7. [10]
Пример 2. Замена выражения 2а/6 выражением а/3 является тождественным преобразованием, т.е. 2а/6=а/3 [10].
Контрпример: Выражение y не является тождественным преобразованием выражения у^2, так как выражения ?? и у^2 не тождественно равные. [10]
Определение 2. Равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, называется тождеством.
Под допустимыми значениями переменных в данном случае подразумеваются все значения переменных, при которых имеет смысл правая и левая части данного равенства.
Тождественное преобразование одного выражения в другое и тождественное равенство двух выражений, определяется аналогично тому, как в первом случае.
Определение 3: Равенство, верное при любых значениях переменной (пар значений переменных, троек значений переменных и т. д.), принадлежащих данному множеству, называется тождеством на этом множестве.
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему на данном множестве, называют тождественным преобразованием этого выражения на указанном множестве.
Рассмотрим достоинства и недостатки данных определений.
Определение 1 имеет краткую формулировку. Оно удобно, если ограничится рассмотрением целых рациональных выражений. Однако, придерживаясь определения 1, нельзя считать тождественным даже такие равенства, как a^2/2=a и va•vb=vab ; (первое из них ложно при ??=0, второе ложно, например, при ?? = ?1 и ?? = ?4)
Отмеченных недостатков лишено определение 2.
Все равенства, которые являются тождествами по определению 1, будут так же тождествами по определению 2. Кроме того, определению 2 удовлетворяют и ряд равенств, которые по определению 1 являлись тождествами. Приведем примеры таких равенств:
a/b:c/d=a/b•d/c; (a^(-3) )^(-3)=a^6; (va)^2=a; log?a+log?b=log?(ab);vx-vx=0
К сожалению, определению 2 удовлетворяют не только приведенные выше равенства, как v(-x)=vx,v(1-x^4 )=v(x-1)
Очевидно, что такие «тождества» с практической точки зрения не представляют интереса. Кроме того второе определение имеет ряд и других недостатков.
Как известно, ценность тождеств состоит в том, что одно выражение заменяют другим, тождественно равным первому, второе – третьим и т. д. Иначе говоря, представляют интерес такие тождества которые обладают свойством из того, что А тождественно В и В тождественно С, следует, что А тождественно С.
Указанным свойством не обладает ряд равенств, которые являются тождественными по определению 2. Действительно, равенства v(x^2 )=(vx)^2 и (vx)^2=x ? тождества, а равенство v(x^2 )=x не является тождеством. Приведем еще примеры:
1) v(1-x^8 )=v(x-1),v(x-1)=v(1-x^2 ) – тождества, v(1-x^8 )=v(1-x^2 ) не тождественно (например при ??=12 это равенство ложно, хотя при этом значении x обе части равенства имеют смысл);
2) ?10?^(1/2 log??a^2 ? )=?10?^log?a и ?10?^log?a =a – тождества, однако равенство ?10?^?1/2 log???a^2 ? =a не является тождеством (при любом отрицательном а левая и правая части равенства ?10?^?1/2 log???a^2 ? =a имеют смысл, но принимают противоположные значения).
Использование многих равенств, являющихся тождествами, согласно второму определению тождества, при решении уравнений может привести к уравнению, неравносильному данному. Например, замена выражения vx•v(x+3) тождественно равным ему выражением v(xv(x+3)) при решении уравнения vx•v(x+3)=2 приводит к уравнению v(xv(x+3)) =2 неравносильному данному.
Уравнению v(xv(x+3)) =2 удовлетворяетa корень -4, который, однако, является «посторонним» корнем для исходного уравнения.
Замена выражения ?(x^2 ) тождественно равным ему выражением x^(2/3) при решении уравнения ?(x^2 )=1 приводит к уравнению x^(2/3)=1, неравносильному данному. В этом случае происходит «потеря» корня. Корень данного уравнения – число -1 – не является корнем второго уравнения.
В результате произошла и «потеря» корня, и приобретение «постороннего» корня. Указанных недостатков не имеет определение 3.
Из определения тождества на множестве непосредственно следует, что отношение тождественного равенства на данном множестве между выражениями рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Таким образом, отношение тождественного равенства на данном множестве между выражениями является отношением эквивалентности. Это означает, что оно определяет разбиение всех выражений, определенных на данном множестве М, на классы эквивалентности, т. е. на классы выражений, тождественно равных друг другу на данном множестве М.
Тождественное преобразование выражения на данном множестве с этой точки зрения состоит в замене одного выражения другим из того же класса, второго – третьим и т. д.
Тождественные преобразования выражений, вообще говоря, и производятся с той целью, чтобы данное выражение заменить другим, ему тождественно равным (т. е. из того же класса эквивалентности), но более удобным для решения рассматриваемой задачи. Например, чтобы построить график функции ??(??)=(3x-1)/(x-1), выражение (3x-1)/(x-1) целесообразно представить в виде 3+2/(x-1). Этот вид показывает, что график функции y=f(x) есть образ графика функции ??=2/x при параллельном переносе которой, начало координат отображает на точку ???(1;3).
В каждой области знаний, которая использует математику, возникает потребность в замене одно выражение другим, для простоты и удобства в решении рассматриваемой задачи. Другими словами, появляется необходимость в выполнении тождественных преобразований. Рассмотрим приведенные ниже упражнения.
Упростить выражение: x^2+y^3-3y^3+1,5x^2-2,3y^3;
Решить уравнение: 4x+2x+x=14;
Доказать, что выражение: ((2k+1)^4-1)/(4k^2+4k+2),где k=N,кратно 8.
Обязательным условием для решения данных упражнений, отличающихся друг от друга по содержанию, является предварительное выполнение тождественных преобразований содержащихся в них выражений. [7]
В пропедевтическом курсе уроков математики начинают отрабатываться навыки тождественных преобразований, такие как:
а) приведение подобных слагаемых;
б) раскрытие и заключение в скобки;
в) вынесение за скобки общего множителя.
Преобразования такого рода продолжают применятся на уроках алгебры при изучении темы: «Многочлены» в 7 классе.
Выполнение преобразований учащимися происходит на основе законов и свойств арифметических действий (Таблица 2).
Таблица 2.
1.2 Сравнительный анализ учебников на предмет изучения основных вопросов линии тождественных преобразований
Как правило, линия выражений и их тождественных преобразований в первую очередь пронизывает весь школьный курс математики с 1 по 11 класс. Следует отметить, что в начальных классах школьники в первую очередь изучают алгоритмы полноценного выполнения арифметических действий, которые периодически применяются с целью тождественных преобразований числовых выражений в числа, являющиеся значениями этих выражений, знакомятся с законами арифметических действий.
Проведем сравнительный анализ учебников по алгебре с 7 по 9 класс на предмет изучения основных вопросов линии тождественных преобразований. С 7 по 9 класс будем анализировать авторов учебников по алгебре: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк «Алгебра» под редакцией С. А. Теляковского и Г. В. Дорофеев, С.В. Суворова «Алгебра».
В учебнике Г.В. Дорофеева теория изложена кратко, ясно, доступно, но без всякой мотивации. Учебник учит действовать не по образцу; нет однотипных задач. Основной методический принцип: ученик за один раз должен преодолеть не более одной трудности. Материал излагается так, что отдельные темы рассматриваются один раз и в полном объеме, чтобы не возвращаться к ним в теоретической части учебника. Дальнейшее повторение и закрепление теории происходит посредством решения упражнений. Весь материал разбит на небольшие по объему главы, каждая из которых включает от 3 до 6 пунктов. В каждом пункте выделяется объяснительный текст, который содержит все необходимые понятия и термины; разбираются способы решения задач.
В каждом из трех классов (7, 8, 9) изучается крупный блок теоретического материала. Особенностью учебника является раннее введение понятия «действительное число». По мнению авторов, курс должен начинаться с этой темы, то есть с подведения итога изучения арифметики начальной школы и 5-6 класса.
Правила и замечания выделены в рамку для лучшего запоминания, но, к сожалению, система значков-указателей в учебнике отсутствует.
В конце каждого параграфа приводятся задания разного уровня сложности (уровни А и Б).
В учебнике содержится необходимый материал для организации деятельности учащихся, способствующей развитию наблюдательности, навыков проведения эксперимента, конструирования.
Теоретический материал изложен с опорой на жизненный опыт ребенка. Каждая глава завершается разделами «Для тех, кому интересно», «Задания для самопроверки», «Обязательные результаты обучения» по материалу данной главы.
В конце учебника помещен раздел «Задания для итогового повторения». Упражнения, содержащиеся в нем, сгруппированы в 8 работ и направлены на компактное, систематизирующее повторение всего изученного материала.
Ещё одной особенностью курса является то, что часть материала, а именно - тождественное преобразование, автор переносит из 7 класса в 8, 9 классы. В старших классах основной школы уровень абстрактного мышления гораздо выше, чем в 7 классе, именно поэтому перенос оправдан.
Методическими особенностями учебного комплекта являются:
Обеспечение уровневой дифференциации;
Содержание материала организовано так, что происходит неоднократное возвращение ко всем принципиальным вопросам, причём на каждом следующем этапе учащиеся поднимаются на более высокий уровень;
Происходит опора на наглядно-образное мышление.
Итак, можно сделать вывод, что данный комплект отличается усиленным вниманием к арифметике, к формированию вычислительной культуры в её современном понимании: это прикидка и оценка результатов действий, проверка их на правдоподобие.
В своей методике автор Г. В. Дорофеев тождественные преобразования представляет, как одну из наиболее особых линий школьного курса математики. На их основании у учащихся формируется представления об аналитических методах математики. Как правило, при выполнении практически любого задания по алгебре выполняется тождественные преобразования.
Аналогично рассмотрим учебник Ю.Н. Макарычева. Методическими особенностями учебного комплекта являются:
Последовательное изложение теории с привлечением большого числа примеров, способствующее эффективной организации учебного процесса;
Создание условий для глубокого усвоения учащимися теории и овладения математическим аппаратом благодаря взаимосвязи и взаимопроникновению содержательно-методических линий курса;
Обеспечение усвоения основных теоретических знаний и формирования необходимых умений и навыков с помощью системы упражнений;
Выделение заданий обязательного уровня сложности.
Учебники содержат теоретический материал, написанный на высоком научном уровне и систему упражнений, органически связанную с теорией. В каждом пункте учебников выделяются задания обязательного уровня, которые варьируются с учётом возможных случаев. В системе упражнений специально выделены задания для работы в парах, задачи-исследования, старинные задачи. Приводимые образцы решения задач, пошаговое нарастание сложности заданий, сквозная линия повторения – всё это позволяет учащимся успешно овладеть новыми умениями. Каждая глава учебников заканчивается пунктом рубрики «Для тех, кто хочет знать больше». Этот материал предназначен для учащихся, проявляющих интерес к математике, и может быть использован для исследовательской и проектной деятельности.
Проанализируем, как выбранные авторы учебников по алгебре предлагают изучать линию тождественных преобразований.
В курсе алгебры 7 класса на тему «Многочлены» отводится 17 часов. В нее входит понятие многочлена, сложение, вычитание и умножение многочленов, разложение многочленов на множители. В дальнейшем в курсе математике многочлены как самостоятельная структура встречаются только в 11 классе на профильном уровне. При этом применение теории многочленов происходит на протяжении с 7-го по 11 классы. Проведем анализ включения материала по алгебре многочленов в школьных учебниках.
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова «Алгебра» 7 класс.
Третья глава отведена одночленам. Перед определением одночлена вводится понятие степени с натуральным показателем, умножение и деление степеней, затем одночлен вводится как произведение чисел, переменных и их степеней, дается понятие стандартного вида одночлена. После вводится понятие тождества и тождественных преобразований. Глава 4 посвящена многочленам. Под многочленом понимается сумма одночленов, приводится понятие подобных членов и стандартного вида многочлена. Равенство многочленов не определяется. Вводятся операции сложения и вычитания многочленов через приведение подобных, произведение многочлена на одночлен и наоборот. Приводится правило вынесения общего множителя за скобки, умножения многочлена на многочлен на примере умножения двучлена на двучлен, разложение многочлена на множители способом группировки, определяется тождество как равенство, верное при любых значениях переменных, тождественное преобразование.
Отдельно рассматриваются формулы сокращенного умножения и способ разложения многочлена на множители с их помощью. В параграфе 14 вводится понятие целого выражения, что подготавливает к понятию многочлена от нескольких переменных. Рассматривается способ преобразования целого выражения в многочлен.
Г.В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева «Алгебра» 7 класс.
Изучение темы многочлены предполагается авторами в четвертой четверти 7-го класса. В учебнике этой теме посвящены 7 и 8 главы. Предварительно в главе 3 «Введение в алгебру» авторы рассматривают понятие буквенного выражения и числовых подстановок, т.е. значения буквенного выражения. Здесь оговаривается правила записи буквенных выражений порядок выполнения действий при нахождении их значений, преобразования буквенных выражений.
Глава 7 «Многочлены» начинается с введения понятия одночлена и стандартного вида одночлена. Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов. Стандартным видом многочлена называют такой вид записи, в которой все одночлены стандартного вида и нет подобных одночленов. Равенство многочленов не определяется. При введении сложения и вычитания многочленов рассматривается два способа: один - приписывание и приведение подобных, второй – по разрядам столбиком. Далее вводится умножение одночлена на многочлен и умножение многочлена на многочлен. Рассматриваются формулы сокращенного умножения и их применение к решению уравнений. Стоит отметить интересные по содержанию задачи на составление уравнений. В разделе «Для тех, кому интересно» вспоминаются факты из теории делимости натуральных чисел, такие как делимость чисел, деление с остатком, разбивание множества натуральных чисел на классы по остаткам от деления на данное число. В главе 8 приводятся способы разложения многочлена на множители такие, как вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, с помощью формул сокращенного умножения и комбинирование способов. Дальше рассматривается применение этих способов к решению уравнений. В разделе «Для тех, кому интересно» авторы предлагают ученикам придумать нестандартные способы разложения на множители.
Рабочими программами по предмету «Алгебра и начала анализа» в 10 – 11 классах базового уровня рассмотрение понятия многочлена не предусмотрено.
В конце 7 и в начале 8 класса курса алгебры основной школы рассматриваются: представление выражения в виде дроби, тождественные преобразования алгебраических дробей; сокращение дробей. В учебниках первые параграфы главы «Алгебраические дроби» посвящены основным понятиям, рассмотрению основного свойства дроби, арифметическим операциям над рациональными дробями. После изучения основных операций над рациональными дробями каждый автор предлагает свою линию дальнейшего изучения алгебраических дробей.
В учебнике под редакцией Г.В. Дорофеева автор сначала предлагает изучить степени с целым показателем (в том числе рассмотреть свойства степеней с целым показателем), а затем приступить к решению уравнений. Мотивом для введения понятия степени с целым показателем служит целесообразность представления больших и малых чисел в так называемом стандартном виде. С этим способом записи чисел учащиеся уже встречались на уроках физики. Также стоит отметить, что в учебнике под редакцией Г.В. Дорофеева автор не выделяет преобразования рациональных выражений в отдельный параграф (как это сделано у автора Ю.Н. Макарычева). То есть эти преобразования учащиеся производят на интуитивном уровне. Мы считаем, что это очень рационально. Потому что это относительно несложная тема, тем более, что ученики уже умеют работать с рациональными выражениями и легко переносят свои знания на дроби. Следовательно, время, потраченное на изучение этой темы, можно отвести на закрепление других, более сложных тем.
В учебнике Ю.Н. Макарычева вводятся понятия «дробное выражение», «рациональные выражения», «рациональная дробь», «допустимые значения переменных» (что особенно необходимо при изучении функциональной линии), «тождество», «обратная пропорциональность». Стоит заметить, что Ю.Н. Макарычев единственный автор, в учебнике которого в изучении главы «Рациональные дроби» прослеживается функциональная линия. Явно определены только 2 понятия – «рациональная дробь» и «обратная пропорциональность». Оба этих определения имеют конъюктивную структуру.
Перед учащимися ставится учебная задача: раскрыть смысл основных операций над рациональными дробями, дать обоснование выполняемых при этом математических действий. Эту задачу можно считать решенной, если будут решены такие учебные подзадачи:
Сформировать навыки использования основного свойства дроби при сокращении дробей;
Определить алгоритм сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
Выявить схему сложения и вычитания дробей с разными знаменателями;
Сформулировать алгоритм возведения дроби в степень;
Определить способ умножения и деления дробей;
Раскрыть суть преобразования рациональных выражений.
Решение названных подзадач будет осуществляться в ходе выполнения учащимися соответствующих учебных действий, общих и специфических. Такими специфическими действиями, характерными для сформулированных задач, будут:
Разложение числителя и/или знаменателя на множители;
Приведение дробей к общему знаменателю;
Выполнение тождественных преобразований.
Также при решении подзадач будут использоваться и такие учебно-познавательные действия, как, например, распознавание, выведение следствий, сравнение и сопоставление, конкретизация общего способа решения для данной задачи.
Логический анализ темы «Рациональные дроби» дает основание сделать вывод, что материал в учебнике организован дедуктивно – каждая операция над рациональными дробями доказывается. Это, в свою очередь, усиливает роль теоретической части главы. Структура вводимых операций аналогична действиям с обыкновенными дробями, а, следовательно, это позволяет осуществить перенос знаний.
«Ядерным» материалом темы являются основные операции над рациональными дробями – сумма и разность дробей, произведение и частное, сокращение дробей. Изложение материала опирается на алгебраические операции, тождественные преобразования, знание основного свойства дроби, законы арифметических действий.
Далее рассмотрим, как авторы учебников предлагают изучать степени и корни.
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова «Алгебра» 7 класс.
Изучение степеней в данном учебнике начинается в главе №3 «Степень с натуральным показателем», параграф 6 «Степень и её свойства».
В пункте 16. «Определение степени с натуральным показателем» вводится определение степени числа с натуральным показателем, так же даются некоторые замечания про возведение в степень положительного и отрицательного числа (с четным и нечетным показателем), рассматриваются примеры.
В пункте 17. «Умножение и деление степеней» рассматриваются два свойства степеней с одинаковыми показателями и даются соответствующие правила, рассматриваются примеры. Заканчивается пункт определением: «Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице».
