ГЛАВА 1. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
1.1. Теоретические основы решения задач по стереометрии и
методы их решения
Е.И. Лященко говорит [5, С. 22], что «основным средством, которое используется при обучении математике для формирования знаний, умений и навыков учащихся, являются задачи». «Задачи по стереометрии – прекрасные упражнения, способствующие развитию пространственных представлений, умения логически мыслить, способствующие более глубокому усвоению всего школьного курса математики» [4, С. 4].
Стереометрией называют раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных фигур. Самые простые фигуры в пространстве – это точка, линия и плоскость.
Значительно много задач по стереометрии непосредственно сводятся к планиметрическим задачам, поэтому, возвращаясь к планиметрии, необходимо повторить теоремы и формулы для их правильного решения. При решении стереометрических задач мы прибегаем к использованию средств алгебры и тригонометрии, используем векторные и координатные методы, дифференцирование и интегрирование.
Определение расстояний в пространстве – основообразующая часть раздела стереометрии, на которой основаны все ее метрические вопросы, включая определение углов, площадей и объемов геометрических фигур. Умение не только видеть, но и рассчитывать различные расстояния, углы между линиями и плоскостями – основа успешного изучения всех метрических стереометрий. [10, С. 7].
В работе рассматриваются два метода решения задач метрического характера: геометрический и векторно-координатный.
Воспользуемся программой УМК, составленным Т.А.Бурмистровой. В данном учебнике автор акцентирует внимание на то, что изучение математики на профильном уровне среднего (общего) образования делает непосредственно упор на формирование представлений об идеях и методах математики, развитие логического мышления и математики, алгоритмической деятельности, пространственное воображение [14].
В Федеральном государственном образовательном стандарте среднего (полного) образования говорится о том, что требования к предметным результатам освоения углубленного курса математики должны включать требования к результатам посредством освоения базового курса и дополнительно отражать:
? сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики;
? знаний основных теорем, формул и умения их применять;
? умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;
? сформированность планиметрических сведений;
? сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат;
? сформированность представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений [18].
Далее рассмотрим методы решения метрических задач стереометрии по УМК Е.В. Потоскуева и Л.И Звавича. Покажем, что необходимо знать и уметь учащимся 10-11 классов для того, чтобы успешно решать метрические задачи на нахождение расстояний и углов, используя модель правильной шестиугольной призмы.
Геометрический метод решения задач стереометрии.
Многие задачи совместной работы, решаемые на школьном курсе математики, имеют практическое содержание. Одним из методов является геометрическим. Геометрический метод решения таких задач позволяет провести параллель с физикой, где система координат часто используется для решения физических задач.
Наличие графического метода решения задач, чтения графиков и способности отвечать на вопросы только с графическими данными – важная часть знаний, необходимых для решения олимпиадных задач, успешной сдачи ГИА и ЕГЭ, а также умение решать задачи геометрическим способом, необходим для поступления в университет. Необходимо знать и уметь применять данный метод, для того чтобы экономить время и для наглядности, т.е. решение задачи будет очевидным.
Данный метод основан на использовании теорем планиметрии и стереометрии, а для подтверждения того или другого утверждения нужно прибегать посредством логической мысли. Также при решении подобных задач необходимо выполнять различные геометрические конструирования. [4].
Для успешного решения задач определения расстояний и углов геометрическим методом студенты должны достичь по дисциплине следующих результатов. Обладать навыками использования модели, изображения куба, правильных тетраэдров, параллелепипедов, правильных пирамид и призм: построить (изобразить) перпендикуляр от заданной точки к заданной прямой (плоскости) и найти его длину; представлять, определять и вычислять углы между пересечением и пересечением прямых, содержащих ребра, диагонали многогранника, диагонали его граней. Владеть навыками, используя в качестве объектов изучения куб, прямоугольный параллелепипед, правильный тетраэдр, правильную пирамиду, правильную призму, в координатной форме решать задачи. Необходимо обратить непосредственно внимание, на то что решение задач с помощью этого метода требует знания планиметрии, алгебры и геометрии, а также пространственного воображения. Использование тригонометрии для решения задач часто упрощает вычисления [4].
Векторно-координатный метод решения задач стереометрии.
Векторно-координатный метод для решения задач по стереометрии на сегодняшний день является наиболее эффективным и при рациональном использовании позволяет решать практически все типы математических, физических, астрономических и технических задач. Но остается одним из проблемных вопросов современной методики обучения математике. Несмотря на возможности векторно-координатного метода для решения задач, реализации внутри и межпредметных связей, развития навыков математического моделирования, многие методисты отводят векторно-координатному аппарату незначительную роль в школьном курсе математики.
При решении некоторых стереометрических задач можно применить метод векторных координат. Во-первых, это задачи, в которых речь идет о кубе, тетраэдре с прямым трехгранным углом, правильной шестиугольной призме.
Своеобразность метода векторных координат для решения задач по стереометрии выражается непосредственно в том, что мы сначала переводим условие обозреваемой геометрической задачи на язык векторной и координатной алгебры, после чего решаем алгебраические уравнения, неравенства или их системы, используя определенные формулы координат, требуемую геометрию. Затем полученный в координатной форме результат переводится на язык геометрии точек, прямых и плоскостей, и, наконец, «возникает» нужный ответ к данной задаче.
«Решение многих стереометрических задач векторно-координатным методом значительно проще их решения средствами элементарной геометрии, при этом можно обойтись без дополнительных построений, которые становятся необходимыми при иных методах решения». Основная нагрузка при решении таких задач приходится на вычислительную часть [12].
Таким образом, в данном параграфе была рассмотрена индивидуальность геометрического и векторно-координатного методов решения задач по стереометрии.
1.2. Роль пакета Geogebra в математике при решении задач по стереометрии
Значительное место в системе подготовки интеллектуальной и творческой личности студента отводится изучению геометрии как дисциплины с огромным гуманитарным и идеологическим потенциалом.
Для достижения студентами высокого уровня геометрической подготовки необходимо предоставить им возможность приобретать глубокие фундаментальные знания, развивать пространственное воображение и стремиться к самостоятельному изучению новых материалов.
Результаты вступительных экзаменов по математике в высшие учебные заведения показывают, что уровень геометрической подготовки студентов невысокий, значительное количество кандидатов не умеют решать геометрические задачи.
Решению этой проблемы будет способствовать внедрение новых информационных технологий в образовательный процесс. Одним из основных и социально значимых направлений процесса информатизации современного общества является информатизация образования, что означает процесс подготовки граждан к жизни в условиях современного информационного мирового сообщества и повышения качества образовательной и профессиональной подготовки специалистов на основе широкого использования компьютерных технологий и информационных технологий. [2].
Рассмотрим, что такое информационные технологии.
Информационные технологии – это совокупность производственных методов, устройств и процессов, используемых обществом для сбора, хранения, обработки и распространения информации [20].
Информационные технологии часто называют компьютерными технологиями или прикладной математикой.
Рассмотрим пять основных дидактических функций компьютера при обучении математике: [5]
? выполнение упражнений, когда учащимся предлагаются ранжированные по трудности задания;
? электронная доска, использование мультимедийного проектора на занятиях математики;
? конструирование;
? исследование, когда из числа предлагаемых вариантов учащийся выбирает, аргументируя, собственное решение;
? математические расчеты в курсах других дисциплин.
Конечно, выполнение всех этих функций предполагает большой труд, для профессорско-преподавательского состава.
Безусловно и неоспоримо, что ни один человек не сможет усвоить весь социальный опыт, накопленный человечеством и что является содержание учебных дисциплин, но главная задача нашего времени является соответствие уровня интеллектуального развития членов общества по степени технического прогресса, а также желательно опережать этот уровень, что позволяет поддерживать, стимулировать этот технический и информационный прогресс, поэтому достижения современной нейрофизиологии, когнитивной психологии, педагогики призваны постоянно оптимизировать процесс обучения. По яркому выражению С.П. Капицы, «мы должны перейти от образования, наполняющего нас фактами, к образованию понимания».
Новизна информационных технологий имеет фундаментальное значение для учебного процесса и экспериментально-научных исследований. В отличие от традиционных образовательных технологий, компьютерные и информационные технологии имеют информацию как объект и результат работы, а компьютер – как один из инструментов работы. Система образования играет важнейшую роль в процессе создания и использования компьютерных и информационно-коммуникативных технологий. Это связано с тем, что специфика системы образования состоит в том, что она, с одной стороны, является потребителем, а с другой – активным производителем информационных технологий. Внедрение компьютеров и других средств компьютеризации в образовании оказало весомое влияние на развитие традиционных технологий обучения.
Появление компьютерных технологий позволило создать качественно новую образовательную среду как основу для развития и модернизации образовательной системы.
Информационные технологии в высшем образовании будут развиваться по двум траекториям. Первая – обновление профильных образовательных программ и выделение дополнительной тысячи бюджетных мест на направления, связанные с искусственным интеллектом, для ведущих вузов. Второй – включение во все образовательные программы разделов по применению информационных технологий в соответствующей сфере деятельности.
Цифровые компетенции будут закладываться еще со школы – математическим научным центром и мирового уровня и образовательным организациям. Здесь подразумевается не только школы, но и вузы, поручено совершенствовать преподавание «Математики» и «Информатики», установив их приоритет в учебном плане.
Согласно ФГОС общего среднего (общеобразовательного) образования потребность в овладении информационными технологиями в процессе изучения предмета «Математика и информатика» определяется следующими требованиями к результатам основного курса математики: использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска решений и иллюстрации решений уравнений и неравенств; умение использовать готовые компьютерные программы для решения задач; формирование представлений о вычислительных математических моделях и необходимость анализа соответствия модели и моделируемого объекта [22].
Поэтому компьютеризация образования и внедрение новых информационных технологий в образовательный процесс являются одними из приоритетных направлений государственной политики в области образования.
Исследования показывают, что использование информационных технологий в обучении математике позволяет визуализировать графические данные; скорость и точность расчетов; умение строить анимированные компьютерные модели математических объектов и проводить на их основе компьютерные эксперименты и исследования; повышение информационной культуры и усиление учебной и познавательной активности учащихся. [9]
Благодаря использованию информационных технологий в образовании многие концепции и утверждения становятся «видимыми» и «осязаемыми» для учащихся. Решение математической задачи в динамической математике проходит в три этапа:
1) Геометрическое моделирование условия задачи на экране компьютера.
2) Решение задачи на экране с использованием возможности анимации.
3) Построение математической модели решения, увиденного на экране.
Как показывает опыт, не смотря на ряд достоинств в использовании информационных технологий, очень часто возникает проблема, связанная с разработкой и редактированием большого объема содержимого. Далеко не каждый преподаватель имеет достаточный уровень знаний, навыков и компетенций в области информационных технологий, необходимых для работы. Так же не все образовательные учреждения готовы перейти на новый уровень образования и отказаться от традиционных форм обучения, на их взгляд применение информационных технологий – это не эффективно. Обучающиеся ограничены в доступе к сети Интернет в целях безопасности, от этого использование информационных ресурсов стало невозможно. Слабое финансирование приводит к тому, что образовательные учреждения вынуждены переходить на отечественные аналоги программ. Использование информационных ресурсов становится все сложнее так как программы-аналоги не обладают достаточными возможностями. Мотивировать обучающихся становится сложнее.
На наш взгляд, комплексное применение интерактивных моделей значительно оживляет процесс объяснения учебного материала и повышает его качество. Образы явлений запоминаются надолго, если складываются при помощи моделей и анимации.
Одной из наиболее эффективных и простых в использовании компьютерных систем для реализации этих этапов является динамическая среда GeoGebra.
Geogebra – это бесплатная программа обучения математике, которая сочетает в себе геометрию, алгебру и математические вычисления. Он был разработан Маркусом Хоэнвартером и международным сообществом программистов для изучения и преподавания математики в школах.
Программа имеет простой интерфейс, что способствует ее быстрому развитию. Он напоминает доску, на которой можно рисовать графики, создавать геометрические фигуры и многое другое. В этом случае внесенные изменения будут четко отображаться в окне программы: если вы измените уравнение, изменится график, масштаб или его положение в пространстве, уравнение, написанное рядом с графиком, будет автоматически скорректировано в соответствии с новыми значениями.
Программа написана на языке Java, приложение поддерживает работу в различных операционных системах: Windows, Mac OS X, Linux, Android. Она переведена на 39 языков, в том числе на русский.
Преимущество GeoGebra перед аналогичными приложениями заключается в том, что он предлагает несколько видов динамически связанных объектов. Идея состоит в том, чтобы интерактивно объединить геометрические, алгебраические и числовые представления. Это можно сделать с помощью точек, векторов, прямых и конических сечений, а также математических функций. Кроме того, если точка перемещается в другое положение с помощью компьютерной мыши, все зависимые элементы проекта изменят свое положение, так что последовательность построения проекта сохраняется.
Еще один аргумент в пользу GeoGebra можно отнести к простой интеграции с офисными приложениями: все чертежи легко переносятся через буфер обмена для дальнейшего использования как в текстовых редакторах, поддерживающих работу с изображениями, так и в графических редакторах.
GeoGebra предлагает богатые возможности для работы с функциями: строить графики по-разному, вычислять корни, экстремумы, интегралы, организовывать анимацию и т. Д. Их использование позволяет не только видеть на экране непрерывное отображение графика функции, но и моделировать само движение, определяемое этой функцией.
Методическое назначение программы GeoGebra многогранно и состоит в следующем:
• Обучающие функции: при сообщении знания, при формировании умения, навыков учебной и практической деятельности;
• Тренажеры, предназначенные для отработки разного рода умений и навыков, повторения или закрепления пройденного материала;
• Демонстрационные возможности: визуализация изучаемых объектов, явлений и процессов с целью их исследования, и изучения;
• Моделирующие: позволяют моделировать объекты, явления или процессы с целью их изучения и исследования.
В идеале изучение этого пакета должно идти параллельно с соответствующим разделом курса математики даже на тех специальностях, где математика отнюдь не является профилирующей. Опасения, что применяя эти системы «студенты ничего не будут знать» - обычно исходят от тех, кто их сам никогда и не использовал. Практика показывает, что все обстоит как раз наоборот – применяя эти системы студенты лучше усваивают основной материал, а полученные навыки работы с пакетом GeoGebra позволяет им решать задачи, которые обычным способом не под силу решить даже самому квалифицированному преподавателю.
1.3. Обзор и анализ предлагаемых методик изучения решения задач по стереометрии в различной учебной литературе
В современных учебниках при изучении стереометрии расставлены различные содержательные акценты.
Нами были рассмотрены и проанализированы УМК по геометрии, наиболее часто используемые А.В. Погореловым [15], учебники авторских коллективов А.Д. Александровой и др [2]. И Л.С. Атанасян и др [1]. Каждый из рассмотренных нами УМК имеет свои достоинства и недостатки.
В УМК А.Д. Александрова и др. используется дифференцированный подход: сначала отмечается группа основных задач, а затем группа более простых и более сложных задач. Это разделение отражается в использовании специальных символов для обозначения. А также квазиисследовательского метода обучения: квазииследовательская деятельность предполагает критическое сопоставление разных позиций, методов, результатов. Это дает возможность учителю на уроках организовать групповую деятельность учащихся. Методика обучения построена так, что у учащихся развиваются такие способности, как анализ, рефлексия, планирование. Отметим, что данный учебник предназначен для классов с физико-математическим профилем.
В книге Л.С. Атанасяна и других, можно судить о сложности проблемы, просто прочитав ее. Похожая ситуация встречается в книге А.В. Погорелова. Разница лишь в том, что для некоторых задач есть подсказки – либо подписан абзац абзаца, к которому он относится, либо аналогичная задача, решенная в учебнике, подписана. Авторы каждого учебника уделяют большое внимание примерам решения вспомогательных задач, которые передают полезный факт или иллюстрируют метод или прием. Данные книги предусмотрены для общеобразовательной школы. Теоретический и практический материал предлагается краткой форме, учитывая, принцип доступности, для учащихся с разным уровнем восприятия информации и предметной подготовки.
Эффективность обучения геометрии во многом зависит от способа кодирования информации, использования фотографий, рисунков, схем и диаграмм. Академик А.Д. Александров видит задачу обучения в единстве строгой логики и яркого восприятия реального мира. В своем учебнике он предлагает обучающимся возможность самостоятельно обрабатывать текстовую информацию и переводить ее на язык картинок, схем и рисунков. Александров А.Д. утверждает: «В любом истинно геометрическом предложении неразрывно связаны два элемента: зрительный образ и строгая формулировка, строгий логический вывод» [2]. Поэтому количество картинок в его учебнике ограничено общим объемом информации и составляет 19% процентов от общего текста.
