Раздел 1
История проблемы и развития методов ее решения
В XVI веке математики Европы сумели сравниться в достижениях с древнегреческими и преуспеть там, где достижения последних были невелики: в решении уравнений высших степеней. Подобный прорыв – итог длительной культурной революции, берущей начало с 14-го века, когда в Италии появились первые великие мыслители Нового времени.
XVI век – век Леонардо да Винчи, Тициана, Лeдовико Ариосто, Микеланджело Буонарроти, Фернана Магеллана, Николая Коперника, Мартина Лютера, Франсуа Виета, Джордано Бруно и многих, многих других. Это и век Джироламо Кардано - итальянского математика, врача, философа, инженера и писателя.
Он жил и работал в нелегкое время: Италия переживала глубокий политический кризис. Ее городские общины в XIV-XVI веках были весьма похожими на древнегреческие города-полисы. Горожане занимались политическими и религиозными дискуссиями, а в университетских аудиториях традиционные лекции соседствовали с публичными диспутами на самые разнообразные темы. К примеру: существуют ли на самом деле те «универсалии», о которых говорил Платон: то есть, имеют ли право на существование ли общие понятия «овощ» и «фрукт» - или существуют только огурец и капуста, яблоко и груша? Можно ли получить в геометрии новые теоремы, помимо известных Евклиду? Можно ли решать те задачи на построение, решения которых не могли получить древние вавилоняне, египтяне, греки - например, квадратуры круга, удвоения куба, трисекции угла?
С распространением книгопечатания, дискуссии подобного характера перестали быть предметом занятий лишь философов и учёных: каждый, кто, по крайней мере, получил университетское образование, мог обратиться к трудам Пифагора, Евклида, Архимеда и составить свое мнение о полученных ими результатах.
В это же время (XV век) итальянские художники начинают применять стереометрию в живописи: изобретается техника перспективы, позволяющая строить плоские изображения трехмерных тел, которые практически неотличимы от восприятия глазом самих тел. Более всех в этой области преуспел Леонардо да Винчи из Флоренции (1452-1519). Используя результаты Архимеда, он применял геометрию к решению прикладных – механических - проблем: например, Леонардо рассчитал и построил водолазный колокол, создал проекты подводной лодки и вертолета.
Современник Леонардо - профессор Болонского университета Сципион дель Ферро практически всю сознательную жизнь посвятил нахождению методов решений различных алгебраических уравнений. Следует иметь в виду, что трудности, обусловленные неудобными обозначениями искомых неизвестных величин, а также операций с ними, были немалые. Чего стоит, например, решать квадратное уравнение, не используя символы операций (+), (-) и другие, нам известные, а заменяя их словесным описанием. Сципион с этими трудности сумел справиться. Комбинируя решение квадратного уравнения с извлечением корня третьей степени, он сумел получить решение уравнения вида x3 = px+q. Оказалось, что такое уравнение имеет 3 различных корня, и что к его решению сводится решение произвольного кубического уравнения вида ax3 + bx2 + cx + d=0. В наше время указанные факты – материал стандартного учебного курса алгебры и теории чисел; но в 16-м веке в европейской математике еще не употреблялись понятия функции, ее графика и многочлена.
Следует заметить, что Сципион дель Ферро так и не опубликовал свое открытие. Ему не удалось изложить полученные результаты достаточно доступно для образованного человека; поэтому он оставил лишь записки, смысл которых был понятен разве что тогдашним математикам высшей квалификации. Один из таких математиков - Николо Фонтана из Брешии, носивший прозвище Тарталья ("Заика"), - сумел вникнуть в смысл записок дель Ферро и начал использовать кубические уравнения в процессе составления и решения различных задач алгебраического содержания. Такие задачи он выносил на рассмотрение своих коллег (и в то же время соперников) во время регулярных диспутов, напоминающих на современные математические бои, или олимпиады школьников. Победа на таком турнире имела важное значение для участвующего в нем профессора: чем значимее его успех, тем больше студентов начинают посещать его лекции, и, разумеется, тем выше оплачивают его деятельность власти города и университета.
В течение некоторого времени Тарталья был практически непобедим в таких соревнованиях; конкуренцию ему мог составлять разве что лишь Джироламо Кардано из Павии. Однажды, в 1535 году, обсуждая ход и итоги последнего турнира, Тарталья и Кардано начали говорить о методах решения уравнений третьей степени. И вот тут Тарталья - случайно, или, может, ради похвальбы - сообщил Кардано, что ему, Тарталья, известен метод решения таких уравнений, разработанный еще профессором Ферро.
Неизвестно, насколько много новой информации получил Кардано от Тартальи. Но Кардано этого вполне хватило для полного решения кубического уравнения; в итоге, по общему мнению, Кардано сравнялся с Тартальей в мастерстве решения алгебраических уравнений. Он не стал скрывать свой метод, а ознакомил с ним своего лучшего ученика - Лудовико Феррари. Последний попытался развить новый метод для решения уравнений степени 4 - и преуспел в этом. Тогда Кардано почувствовал, что надо закрепить приоритет – первому сообщить людям о новых результатах.
В 1545 году Кардано публикует книгу "Великое искусство", в которой рассмотрено полное решение уравнений-многочленов третьей и четвертой степени, а также ряда задач, которые сводятся к решению таких уравнений; при этом Кардано честно написал о заслугах в этом направлении Ферро, Тарталья и Феррари. Тем не менее, Тарталья был весьма возмущен, и последовал долгий ожесточенный спор, положивший современную научную традицию: честь нового открытия, достается тому, кто первый его достаточно подробно опубликует. Так способ решения кубического уравнения x3 = px + q получил название "формула Кардано":
Кардано выполнял линейное преобразование, позволяющее привести уравнение третьей степени к виду, свободному слагаемого второй степени; он указал на связь зависимость между корнями и значениями коэффициентов уравнения, а также на факт, говоря современным математическим языком, делимости многочлена от переменной х на двучлен x-a, если a - корень исходного многочлена. При этом Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней алгебраических уравнений.
Алгоритм, полученный Феррари для нахождения корней многочлена четвертой степени - несколько сложнее, состоит из двух этапов. Сперва для уравнения четвертой степени составляется вспомогательное уравнение третьей степени, а потом по нему - квадратное уравнение.
Решение уравнений третьей и четвертой степеней стало крупным успехом тогдашней европейской математики. Но любой успех требует платы. Платой за результаты Кардано и Феррари оказалось введение МНИМЫХ чисел – такое название получили квадратные корни из отрицательных чисел. Они неизбежно возникают при решении уравнения третьей степени по методу Кардано, даже в том случае, если все корни такого уравнение – вещественны.
В середине 16 века европейские математики уже имели дело с числами вещественными: целыми и дробными, отрицательными и иррациональными числам. Любые два числа указанных видов можно сравнить, изображая их точками на координатной прямой: (а) находится слева от (в), если а<в. Но выражения вида или 1 + невозможно внести в эту картину. Поэтому, хотя было понятно, как осуществлять над такими числами арифметические действия и даже - как извлекать из них квадратные корни - но создать для новых чисел удачную геометрическую интерпретацию математики сумели лишь во второй половине 18 века. А до того времени "мнимые" числа принято было считать бессмысленным промежуточным результатом нерациональных вычислений: их терпели, но избегали их исследования. Тут стоит вспомнить, что двадцатью веками раньше пифагорейцы точно так же относились к новоизобретенным иррациональным числам.
Джироламо Кардано (1501-1576) был одним из самых разносторонних ученых эпохи Возрождения.
Важны, в первую очередь, сделанные им крайне важные математические открытия. В том числе - и те, которые положили начало становлению теории решения в радикалах алгебраических уравнений высших степеней.
Раздел 2
Уравнения третьей и четвертой степеней
Кардано в своих математическиех трудах написал практически обо всем, что знала математика Возрождения, перемежая, собственные результаты с описанием достижений других авторов. Однако ни в одной из областей математики его достижения не являются столь весомыми и неоспоримыми, как в алгебре.
В первой главе «Великого искусства» Кардано называет создателем алгебры Мухаммед ибн Муса, который написал в 820 году «Краткую книгу об исчислении ал - джабра и ал - мукабалы». Название этого трактата ал - Хорезми содержит названия методов решения уравнений: «восстановление» означает перенос одного члена в другую часть уравнения с противоположным знаком, действие «противопоставление» состоит во взаимном уничтожении в обеих частях уравнения одинаковых членов (или же в приведении подобных). Выполнив, например, преобразования уравнения ( и ) мы, таким образом, последовательно произведем операции ал - джабр и ал - мукабала соответственно.
Примерно по истечении 350 лет после смерти ал - Хорезми результаты арабских алгебраистов изложил в своей «Книге абака» сын купца Боначчи из Пизы Леонардо, известный в истории математики как Леонардо Пизанский, или Фибоначчи. Его сочинение в значительной мере способствовало повышению интереса европейцев к алгебре и появлению новых алгебраических работ.
Основная алгебраическая проблема, интересовавшая Кардано, - построение методов решения уравнений третьей и четвертой степеней. Согласно математическим традициям своего времени, он рассматривал лишь уравнения с положительными коэффициентами, поэтому, например, уравнение , где коэффициент имеет произвольный знак, распадалось у него на три различных случая: x3 + qx = r; x3 = qx + r; x3 + r = qx; эти уравнения, согласно Кардано, будем называть «уравнениями Тартальи». Кардано никогда не записывал уравнения в канонической форме – тут стоит упомянуть, что идея приравнивания уравнения нулю была чужда математикам Возрождения. Впервые каноническую форму уравнения привел англичанин Т.Гэрриот (1580- 1621); при этом он следил, чтобы коэффициент при старшей степени неизвестной был единицей. Математическую символику Кардано позаимствовал преимущественно у Пачоли.
Первые попытки решения кубического уравнения встречаются уже в «Практике арифметики». Правда, при этом Кардано удалось решить лишь некоторые уравнения частного вида, но методы, примененные им, заслуживают внимания, так как впоследствии он успешно применял те же методы и в «Великом искусстве». Кардано заметил, что кубическое уравнение иногда удается решить, если добавить в обе его части одно и то же выражение, так, чтобы образовался общий делитель, который можно было бы сократить. При этом решение кубического уравнения сводилось к решению квадратного. Например, если к обеим частям уравнения прибавить , то после элементарных преобразований можно получить или же откуда .
Но частный результат, каким бы изящным методом он ни достигался, не идет ни в какое сравнение с общей формулой решения, которую Кардано так и не удалось отыскать. Поэтому можно представить себе его возбуждение, когда он узнал, что подобной формулой владеет простой учитель арифметики (Тарталья). В конце концов, миланцу удалось заполучить «великий секрет», и с этого времени начинается второй и наиболее плодотворный этап его алгебраического творчества. Но для того, чтобы по достоинству оценить результаты миланского врача, необходимо вернуться к работам Тартальи, поскольку они были тем самым исходным пунктом, от которого началось восхождение Кардано к «аналитическим вершинам».
Первое кубическое уравнение, которое решил Тарталья, — это уравнение вида
(1)
Он никогда не писал о пути, по которому пришел к его решению, но итальянскому историку математики Э.Бортолотти удалось восстановить ход его рассуждений, которые мы приведем ниже. уравнение радикал
Предположим, что корнем уравнения (1) является выражение
. (2)
Возводя обе части этого равенства в квадрат и куб, получим соответственно
(3)
(4)
Умножив обе части равенства (3) на , а обе части равенства (4) - на после сложения результатов получим:
(5)
Далее разделим почленно обе части равенства (5) на :
. (6)
Сравнив уравнения (1) и (6), приходим к выводу, что
(7)
. (8)
Выражая из соотношения (7) коэффициент и, подставив его в (8), имеем:
. (9)
Таким образом, если постоянная в уравнении (1) определяется равенством выражением (9), то один из его корней равен .
Это, бесспорно важный, но довольно-таки частный результат. Все, что удалось сделать здесь Тарталье — это обнаружить одного из корней (1) и получить метод составления кубического уравнения по его заданному корню вида Для того же, чтобы получить общую формулу решения, необходимо определить значение из (9), то есть опять-таки решить полное кубическое уравнение; этого Тарталье сделать не удалось.
Следующим достижением математика было решение уравнения
(10)
Скорее всего, как и в описанном выше случае, он пытался получить решение в виде некоторого иррационального выражения, и, работая методом «проб и ошибок», пришел к двучлену
(11)
Если возвести обе части равенства (11) в куб:
(12)
умножить каждую из частей (11) на :
, (13)
и почленно сложить (12) и (13), то получим уравнение
(14)
Наконец, сравнив соотношения (10) и (14), приходим к выводу, что
(15)
Из (15) получим уравнение, позволяющее найти :
Последнее уравнение имеет решение в радикалах. Находим отсюда
Таким образом, мы получили известную формулу, которая в современных учебниках алгебры именуется формулой Кардано:
Аналогичным путем, исходя из выражения
Тарталья получил решение уравнений вида
(16)
25 марта 1539 года он сообщил «великий секрет» в письме Кардано в виде глав в стихах:
Где сумму он назвал «куб рядом с вещью»; r – «число»; - «на него разнящихся»; - произведение, равное «кубу трети вещи» ; - «правильно вычти их»; «остаток» это - «остаток»).
Далее аналогичным образом был изложен метод решения уравнения (16); что же касается третьего уравнения
, (17)
то в этом случае Тарталья ограничился лишь замечанием: «третье выражение разрешается вторым ввиду того, что по природе своей они почти совпадают».
Этот ход действий напоминал правила средневековых практических арифметик; был, разумеется, вполне достаточен для механического решения кубического уравнения, но не давал никаких указаний для понимания хода решения и никаких доказательств основной формулы. Даже такой опытный математик, как Кардано, поначалу его не понял. Попытавшись испытать формулу на уравнении , он запутался, так как вместо ошибочно взял и вынужден был обратиться Тарталье за разъяснением. Тот же в письме от 25 апреля 1539 года привел решение уравнения и объяснил Миланцу его ошибку/
Итак, в начале мая 1539 года Кардано имел в своем распоряжении:
? зарифмованные правила решения уравнений (10) и (16);
? численный пример, объясняющий применение правила для уравнения (10);
? указание на геометрический способ доказательства формулы.
Ему оставалось сделать следующее:
? отыскать правило решения уравнения (17);
? обосновать «справедливость такого способа действия»;
? найти метод решения оставшихся десяти кубических уравнений - тех, в которых присутствует квадрат неизвестной величины.
Результаты этих изысканий Кардано вместе с описанием способа решения уравнений четвертой степени, предложенного Феррари, и образуют основное содержание «Великого искусства».
Решение уравнений Тартальи рассматривается в одиннадцатой - тринадцатой главах книги, а также - в главе шестой, где геометрическим путем доказываются «три предполагаемых, чрезвычайно полезных выражения»:
, (18)
, (19)
(20)
Если (18) и (19) переписать в форме:
, (21)
, (22)
то из (22) следует, что удовлетворяет уравнению , когда определяются из уравнений ; аналогично из (21) нетрудно заметить, что удовлетворяет равенству , если находятся из уравнений . Далее Кардано предоставлял читателям возможность самостоятельно найти решение уравнений , ограничившись лишь указанием конечных результатов. Привел он и формулу для решения уравнения (17), хотя и не указал, каким способом она была получена. Историки математики считают, что это было сделано следующим образом.
Рассмотрим уравнение (17), а также - вспомогательное уравнение
. (23)
Сложив почленно (17) и (23), получим:
. (24)
Разделив обе части равенства (24) на , будем иметь:
, (25)
,
где - корень уравнения (23), к которому можно применять правило Тартальи.
Доказательство формулы Тартальи Кардано дает в геометрическом виде –рассматривая его на примере уравнения .
Решению десяти уравнений третьей степени, в которых присутствует неизвестное во второй степени- , Кардано посвящает главы с четырнадцатой по двадцать третью. Основная его идея тут состоит в том, чтобы, используя подстановки некоторого вида, избавиться в этих уравнениях от квадратичного члена и свести их к одному из уравнений Тартальи. Иначе говоря, используя рациональное соотношение , он преобразовывает различные типы уравнения в различные типы уравнения и определяет значения корней первого уравнения в функции корней у второго. Для уравнения Кардано использует подстановку ; в других девяти случаях используются выражения
(в зависимости от того, находится ли квадратичный член в правой или левой части соответственно). Кроме того, в уравнении он иногда избавляется от квадратичного члена посредством подстановки , а в уравнении - посредством подстановки .
Отдельно рассмотрим момент, связанный с решением кубических уравнений, в которых встречается слагаемое с первой степенью неизвестного. Если к уравнению такого вида применить подстановку , то отрицательные значения y преобразованного уравнения будут соответствовать положительным значениям x исходного. Поэтому Кардано вынужден был принимать во внимание и отрицательные, и нулевые значения корней уравнения с y. Изучение отрицательных корней позволило ему, помимо прочего, едва ли не первому прийти к мысли о существовании двух корней для каждого квадратного уравнения. Однако, подобно своим современникам, Кардано рассматривал отрицательные числа как отдельный род величин. Поэтому, не исключая из рассмотрения отрицательных корней, он не придавал им самостоятельного значения, называл их ложными, в отличие от положительных корней, и рассматривал в качестве вспомогательного средства для нахождения положительных корней уравнений с неизвестной x.
Для нахождения отрицательных корней уравнения, Кардано пользуется еще одной подстановкой: x = -y . При этом меняют знак слагаемые нечетной степени и остаются неизменными слагаемые четной степени, и, таким образом, уравнение трансформируется в другое, корни которого имеют то же абсолютное значение, что и у исходного, но противоположный знак. Кардано замечает, что если уравнение содержит только слагаемые четной степени и постоянные, и если оно имеет положительные корни, то оно обладает столькими же отрицательными корнями с теми же абсолютными значениями.
Во многих главах «Великого искусства» Кардано приводит примеры кубических уравнений, которые могут решаться не с помощью общих формул, а посредством различны искусственных приемов. Например, уравнения он советует сперва преобразовать к виду , а затем извлечь кубический корень из обеих частей последнего уравнения.
Около 1540 года да Кои предложил ученику Кардано следующую задачу: «Разделить число 10 на три части так, чтобы они составляли геометрическую прогрессию, причем произведение первых двух частей равнялось 6». Легко видеть, что эта задача сводится к решению уравнения четвертой степени. Действительно, пусть есть средняя часть. Тогда по условию: , и, следовательно,
(26)
Следуя приему, предложенному Кардано, Феррари прибавил к обеим частям (26) по , обратив тем самым левую часть исходного уравнения в полный квадрат:
(27)
Если бы правая часть (27) также была точным квадратом, то решение было бы очевидным. Поскольку это не так, то потребовалось дальнейшее развитие идеи Кардано, и Феррари задался целью: найти выражение, содержащее новую неизвестную, которое, обращая в полный квадрат левую часть исходного уравнения, обращало бы в полный квадрат также и его правую часть. Обозначим новую неизвестную через Очевидно, что для того, чтобы левая часть (27) обращалась при добавлении к ней новой неизвестной в полный квадрат ,ее необходимо дополнить выражением .
В таком случае (27) представляется в виде:
,
или же
(28)
Определим теперь значение из того условия, что правая часть должна обращаться в полный квадрат:
.
Отсюда имеем кубическое уравнение, которое называется кубической резольвентой:
(29)
Положив , представляем (28) в виде:
,
откуда, извлекая корни, получим:
. (30)
Таким образом, остается подставить в равенство (30) значение , полученное из (29), и решать квадратное уравнение.
Изложив сущность метода Феррари, Кардано привел его геометрическое доказательство и доказал, что рассмотренная процедура имеет место не только касаемо различных видов уравнений четвертой степени типа , но и касаемо уравнений без линейного слагаемого, которые сводятся к уравнениям первого типа с помощью подстановки .
В двадцать седьмой - тридцать восьмой главах «Великого искусства» Кардано привел достаточно много приемов, позволяющих решать некоторые уравнения специального вида, путем введения некоторых вспомогательных величин, и предложил метод приближенного нахождения корней. Сущность этого метода, названного автором «золотым правилом», состоит в следующем.
Пусть задано уравнение с положительными коэффициентами . Тогда если для положительного целого справедливо: и , то корень уравнения находится между значениями . Поскольку
,
то в качестве следующего приближения к корню можно избрать и т.д. «Золотое правило» является дальнейшим развитием «правила двойного ложного положения», которое широко использовали арабские алгебраисты.
Таким образом, усилиями дель Ферро, Тартальи, Кардано и Феррари в первой половине XVI века были получены методы решения уравнений третьей и четвертой степеней. Предложенный Кардано метод искусственных подстановок оказался весьма конструктивным для дальнейшего развития алгебры.
Прежде всего, заметим, что до появления книги «Великое искусство» уравнения с более чем одним корнем относили к диковинкам, а отрицательные корни, как правило, во внимание вообще не принимались. Кардано же, решая в восемнадцатой главе уравнения
