Глава 1. Теоретические основания формирования познавательных универсальных учебных действий у младших школьников в процессе обучения решению текстовых задач
1.1 Понятия о мышлении и его виды. Анализ нормативных документов нацелен на формирования логических умений
Мышление – это способность рассуждать, мыслить, как свойство человека. А. В. Петровский определяет мышление как социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредствованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза.[36]
Согласно определению О.К. Тихомирова, логическое мышление – это один из видов мышления, характеризующийся использованием понятий, логических конструкций, функционирующих на основе языка и языковых средств.[45]
В научной литературе выделяется традиционная логика и классическая логика. Традиционная логика состоит из операций: сравнение и различение, анализ, абстрагирование, классификация, умозаключения.
Важно научить школьника анализировать текст задачи, выявлять связи между условием и требованием задачи; сформировать приемы умственной деятельности (анализ, сравнение, обобщение, классификация, сравнение и др.). Именно младшие школьники получают ту необходимую базу, которая пригодится им в среднем и старшем звене. Говоря о способах формирования навыков по решению тектовых задач в курсе математики начальной школы, следует опираться на универсальные учебные действия, которые формируются комплексно, включая различные учебные дисциплины.[5]
Анализ – это расчленение предмета, мысленное или практическое, на составляющие его элементы с последующим их сравнением.
Синтез есть построение целого из аналитически заданных частей. Анализ и синтез обычно осуществляются вместе, способствуют более глубокому познанию действительности. «Анализ и синтез, - писал С. Л. Рубинштейн, - «общие знаменатели» всего познавательного процесса. Познавательное значение анализа связано с тем, что он вычленяет и «подчеркивает», выделяет существенное». [37]
Сравнение – способ познания посредством установления сходства и/или различия признаков объектов. При сравнении изучаемые объекты познаются гораздо более полно, чем при изолированном рассмотрении во время анализа и синтеза. Сравнение помогает углублять и уточнять изучаемый материал.
Классификация – распределение объектов по существенному признаку, в результате чего каждый объект попадает в точно определенный класс, подкласс, группу. Обобщение – способ познания посредством определения общих существенных признаков объектов. Обобщение базируется на анализе и синтезе, направленных на установление существенных признаков объектов, а также на сравнении, которое позволяет определить общие существенные признаки.[11] В свою очередь, благодаря обобщению возможно осуществление другого способа познания – определения понятий.
Определение понятий – способ познания, направленный на раскрытие содержания понятия, т. е. отраженных в нем существенных признаков объектов.
Понятие – это мысль, отражающая общие существенные признаки объектов. Понятия в языке выражаются отдельными словами или словосочетаниями. Очевидно, что важнейшие качества правильного мышления – убедительность и обоснованность. Поэтому доказательство и опровержение являются еще одним важным способом познания.
Суждение - форма мышления, отражающая связи между предметами и явлениями в форме утверждения или отрицания. Суждения могут быть истинными или ложными.
Умозаключение - форма мышления, при которой на основе нескольких суждений делается определенный вывод.
Различаются умозаключения:
Индукция — логический вывод в процессе мышления от частного к общему.
Дедукция — логический вывод в процессе мышления от общего к частному.
Аналогия — логический вывод в процессе мышления от частного к частному на основе некоторых элементов сходства. Обучение решению задач – один из самых сложных вопросов начального курса математики.
Выделяют следующие виды мышления: в зависимости от степени обобщенности мышления при решении мыслительных задач выделяют: наглядно-действенное, наглядно-образное и абстрактное мышление; по характеру задач, направленности: практическое и теоретическое мышление; по степени новизны и оригинальности: репродуктивное и творческое (продуктивное) мышления.[25]
Наглядно - действенное мышление заключается в том, что решение задач осуществляется путем реального преобразования ситуации и выполнения двигательного акта. Так, в раннем возрасте дети проявляют способность к анализу и синтезу, когда воспринимают предметы в определенный момент и имеют возможность оперировать ими. Наглядно-действенное мышление – способность решать практические задачи, оперируя необходимыми для этого предметами. Часто этот вид мышления называют низшим, элементарным.
Наглядно – образноемышление основывается на образах представлений, преобразовании ситуации в план образов. В простой форме это мышление возникает в дошкольном возрасте, когда дети мыслят образами. Побуждая к созданию образов на основе прочитанного, восприятия объектов, к схематическому и символическому изображению объектов познания, учитель развивает образное мышление у учащихся.[15] В основе этого типа мышления лежит разрешение проблемной ситуации с помощью образа предмета, воспроизведенного по памяти или в воображении.
Особенностью абстрактного (словесно-логического, дискурсивного) мышления является то, что оно происходит с опорой на понятие, суждение, не используя эмпирических данных. Р. Декарт высказал такую мысль: "Я мыслю, значит, я существую".[15. с.356] Этими словами ученый подчеркивает ведущую роль в психической деятельности мышления, и именно словесно-логического. Данный вид мышление – это речевое мышление человека, опосредованное прошлым опытом. Он характеризуется тем, что оно выступает как процесс связного логического рассуждения, в котором каждая последующая мысль обусловлена предшествующей, и что, решая мыслительную задачу в вербальной форме, человек оперирует отвлеченными понятиями, логическими конструкциями. Оно представляет собой наиболее поздний этап исторического и генетического развития мышления.
Теоретическое мышление состоит в познании законов, правил. Оно отражает существенное в явлениях, объектах, связях между ними на уровне закономерностей и тенденций. На открытие законов, свойств объектов направлено теоретическое (объяснительное) мышление, основными компонентами которого являются содержательные абстракции, обобщения, анализ, планирование и рефлексия. Иными словами, теоретическое мышление востребовано там, где необходимо вскрыть связи и отношения между отдельными понятиями, связать неизвестное с известным, определить возможность предвидения. Продуктами теоретического мышления является, например, открытие Периодической системы Менделеева, математических (философских) законов. Б. М. Теплов писал о людях теоретического вида мышления, которое они осуществляют прекрасную "интеллектуальную экономию" путем "сводки фактов к законам, а законов до теориям".
Теоретическое мышление иногда сравнивают с эмпирическим. Отличаются они по характеру обобщений. Так, в теоретическом мышлении имеет место обобщение абстрактных понятий, а в эмпирическом - чувственно данных признаков, выделенных путем сравнения.
Развитие логического мышления ребёнка - это процесс перехода мышления с эмпирического уровня познания (наглядно-действенное мышление) на научно- теоретический уровень (логическое мышление), с последующим оформлением структуры взаимосвязных компонентов, где компонентами выступают приёмы логического мышления (логические умения), которые обеспечивают целостное функционирование логического мышления. Н.Ф. Талызина, Н..А. Менчинская и Н.Б. Истомина считают, что логическое мышление характеризуется способностью к оперированию понятиями, суждениями и умозаключениями, а его развитие сводится к развитию логических приёмов мышления.[19] По мнению Н.Ф. Талызиной, логические приёмы и операции, такие как анализ, синтез, сравнение, обобщение являются основными компонентами понятий, суждений, умозаключений.[44] Так, представители различных подходов и направлений сходятся во мнении о том, что при помощи мыслительных операций сравнения, анализа и синтеза, обобщения и классификации осуществляются рассуждение, сопоставление различных суждений, выполнения умозаключения.
Основная задача практического мышления является физическое преобразование действительности. Практическое мышление – это процесс мышления, совершающийся в ходе практической деятельности и направленный на создание реальных предметов и явлений путем изменения окружающей действительности при помощи орудий. Оно связано с постановкой целей, выработкой планов, проектов, часто развертывается в условиях дефицита времени, что иногда делает его более сложным, чем теоретическое мышление, ведь практическое мышление часто разворачивается при экстремальных обстоятельствах и при отсутствии условий для проверки гипотезы.[7]
Некоторые ученые на основании трех признаков - времени протекания процесса, структурности (четкое деление на этапы) и уровня течения (осведомленности или неосведомленности) - выделяют интуитивное и аналитическое мышление.
Аналитическое мышление - это вид мышления, развернутого во времени, имеет четко выраженные этапы, в достаточной мере осознанные субъектом.
Интуитивное мышление, наоборот, - свернуто во времени, в нем отсутствует разделение на этапы, оно было представлено в сознании.
Мышление как процесс решения новой задачи может быть включено в любую деятельность: игровую, спортивную, трудовую, художественную, общественную. Но во всех этих видах деятельности оно будет выполнять служебную роль, подчиняясь основной цели деятельности: построить дом, победить в состязаниях и т. д. От этих видов деятельности и мышления как процесса отличается мыслительная деятельность, в которой мышление выполняет основную роль, где цель и содержание деятельности составляет познание.[6] Поэтому, например, два ученика одного класса, работающие над одними и теми же заданиями, могут осуществлять разные виды деятельности: мыслительную – тот, кто решает задачу, чтобы понять ее суть и познать что-то новое, практическую – тот, кто решает для отметки, для престижа.
В Федеральном государственном образовательном стандарте большое внимание уделяется планированию результатов начального образования. Планируемые результаты разрабатываются на основе концепции и всех трех групп требований стандарта. Они строятся с учетом основных нормативных документов, обеспечивающих функционирование стандарта, – базисного (образовательного) учебного плана, фундаментального ядра содержания общего образования, Программы формирования универсальных учебных действий, системы оценки и др. Приоритетным направлением новых образовательных стандартов является реализация развивающего потенциала образования. Важнейшей задачей современной системы образования является формирование совокупности УУД, обеспечивающих умение учиться. [49] Программа развития универсальных учебных действий основывается на положениях культурно-исторического, системно-деятельностного подхода, интегрирующего достижения педагогической науки и практики, в том числе компетентностный подход и знаниевый подход, основанный на знаниях, умениях и навыках. Стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися образовательной программы как его системообразующему компоненту – предметные, метапредметные, личностные. [49]
Познавательные УУД включают: общеучебные, логические действия, а также действия постановки и решения проблем.
Общеучебные универсальные действия:
• самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;
• поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;
• структурирование знаний;
• осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;
• выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
• рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
• смысловое чтение; понимание и адекватная оценка языка средств массовой информации;
• постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.
Знаково-символические универсальные учебные действия:
• моделирование;
• преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.
Логические универсальные действия:
• анализ;
• синтез;
• сравнение, классификация объектов по выделенным признакам;
• подведение под понятие, выведение следствий;
• установление причинно-следственных связей;
• построение логической цепи рассуждений;
• доказательство;
• выдвижение гипотез и их обоснование.
Постановка и решение проблемы:
• формулирование проблемы;
• самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.
Логическое мышление входит в познавательные универсальные учебные действия, таким образом, они входят в состав метапредметных результатов. Именно математика у младших школьников является главным средством развития многих познавательных действий, особенно логических. Так же особой задачей математического образования считается вооружение школьников общими приемами пространственного воображения и мышления, развитие способности понимать смысл решаемой задачи, умение правильно и логично приходить к правильным выводам.[16] В большей степени, именно математика является тем предметом, используя материал, которого можно проводить целенаправленную работу по развитию мышления школьников и их творческих способностей.
Рассмотрев понятия мышления, логическое мышление, определив структуру познавательных УУД, следует изучить, понятия связанные с текстовой задачей. Для этого в следующем параграфе нами будут рассмотрены понятия текстовая задача, этапы ее решения, классификация простых и составных задач.
1.2. Понятие текстовой задачи и ее решение; этапы процесса решения задачи. Классификация простых и составных задач
В начальном курсе математики термин «задача» обычно используется в различных атрибутивных конструкциях – «практическая задача», «арифметическая задача», «текстовая задача», «сюжетная задача», «математическая задача». Так, в «Методике начального обучения» под редакцией А.А. Столяра и В.Л. Дрозда под текстовыми арифметическими задачами подразумеваются «задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий».[36]
В обучении математике младших школьников преобладают такие задачи, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными. Эти задачи сформулированы на естественном языке (поэтому их называют текстовыми); в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому их часто называют арифметическими или сюжетными); они представляют собой задачи на отыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда называют вычислительными).
Текстовая задача – есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.[29]
Различные авторы учебников «Методика преподавания математики в начальной школе» предлагают следующие определения понятия «текстовая задача»:
1. Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в ней. (Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.)[30, с.326]
2. Текстовая задача — описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения. (Байрамукова П.У.)[9, с.144]
3. Математическая задача — это связанный лаконичный рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии. (Царева С.Е.)[50, с.58]
4. Задача — это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий (Моро М.И., Пышкало А.М.)[28, с.112]
Из самого определения «задача» вытекает, что в ней обязательно должны быть заключены условие и вопрос. Без вопроса задача не может быть. Поскольку ответ на вопрос задачи должен быть получен в результате арифметических действий, очевидно, в ней должно заключаться требование узнать то или иное число (или числа) — искомое.[27] Кроме того, в задаче должны быть указаны те числа, с помощью действий над которыми может быть найдено искомое. Следовательно, обязательными элементами всякой арифметической задачи являются неизвестное (то есть искомое) число (или несколько искомых чисел) и данные числа.
Рассмотрев подходы разных авторов к понятию текстовой задачи, в качестве рабочего взяли: Текстовая задача – описание жизненной ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику одной из величин или установить наличие или отсутствие отношения между величинами.
Любая текстовая задача состоит из условия и требования (вопроса). Требование задачи может быть выражено побудительным предложением (найти площадь прямоугольника; добавить увеличения зарплаты; найти эффективное средство лечения) или вопросительным (чему равна площадь прямоугольника; как увеличить зарплату; какое средство лечения будет эффективным).[33]
Функции текстовых задач:
- формируют полноценные математические знания;
- связывают теорию с практикой;
- связывают обучение с жизнью;
- формируют элементы материалистического мировоззрения;
- знакомят детей с важными познавательными и воспитательными фактами;
- развивают логическое мышление.
Уточним теперь смысл терминов «решить задачу» и « решение задачи».
Решить (решать) задачу - значит осознано научить учащихся устанавливать связи между данными и искомыми величинами, раскрыть отношения, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи. Решить задачу арифметическим способом значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.
Термин «решение задач» употребляется в научно-методической литературе обычно в четырех разных смыслах:
- процесс перехода от условия к выполнению требования задачи или процесс выполнения плана решения задачи;
- запись результата процесса решения;
- ответ на вопрос задачи или вывод о выполнении требования;
- способ, метод перехода от условия к выполнению требования задачи.
Процесс решения задачи - это переход от условия к ответу на ее вопрос. Результат процесса решения это ответ на вопрос задачи или вывод о выполнении требования.[42] Иногда результатом решения может быть вывод о невозможности получения ответа.
Научить детей решать задачи – это, значит, научить их устанавливать связи между данными и искомыми величинами, и на основе этих связей выбирать и выполнять арифметические действия.
Рассмотрев различные подходы Истоминой Н.Б., Моро М. И., Стойлова Л. П., Чекин А. Л. , Царевой С.Е. [48, с.140] к выделению этапов работы над задачей, мы взяли за основу 6 этапов:
Рассмотрим более подробно каждый из этапов:
1. Анализ содержания задачи. Цель данного этапа заключается в том, чтобы понять текст задачи, выделить данные и искомые величины, составить краткую запись условия. Приемы выполнения:
- Правильное чтение задачи с расстановкой ударений, логических пауз.
- Правильное слушание при восприятии задачи на слух.
- Представление жизненной ситуации по содержанию задачи.
- Переформулировкатекста задачи при необходимости.
- Построение модели по задаче предметной, графической, табличной или словесной.
- Формулировка наводящих конкретных вопросов по содержанию задачи.
- Запись краткого условия в виде опорных слов или таблицы, или чертежа, или схемы.
2. Поиск плана решения задачи.Цель: составить план решения задачи. Приемы выполнения:
- Установление связей между данными и искомыми величинами.
- Установление полноты постановки задачи, т.е. достаточно ли данных для ее решения.
- Актуализация решения задачи, т.е. за короткое время устно провести рассуждения по поиску решения задачи.
- Умение переводить словесный вид задачи на язык математических символов.
- Умение формулировать наводящие вопросы по поиску решения задачи от вопроса к числовым данным или от числовых данных к вопросу (аналитическим или синтетическим путем) по тексту, по чертежу или по схеме.
3. Выполнение плана решения задачи. Цель: найти ответ на вопрос задачи( выполнить требование задачи). Приемы выполнения:
- Устное выполнение пунктов плана.
- Письменное выполнение пунктов анна в виде:
А) арифметического решения: по действиям с пояснением; по действия без пояснений; по действиям с вопросами; с записью каждого пункта плана; составлением выражения;
Б) алгебраического решения уравнением;
В) графического или геометрического решения;
Г) табличного решения;
Д) логического решения.
- Выполнение решения путем практических действий с предметами реальное или мысленное.
- Выполнение пунктов плана с помощью вычислительной техники.
4.Проверка решения задачи. Цель: установить, соответствует ли процесс и результат решения образцу правильного решения. Приемы выполнения:
- Анализ полученного результата на здравый смысл.
- Прогнозирование возможного результата и условием задачи путем введения в текст ответа.
- Установление соответствия между результатом и условием задачи путем введения в текст ответа.
- Решение задачи другими способами.
- Составление и решение обратной задачи.
- Сравнение с образцом правильного решения.
- Повторное решение с малыми числами для проверки хода решения.
- Повторное решение с упрощенными зависимостями между данными и искомыми величинами в задаче для проверки хода ее решения.
5. Формулировка ответа задачи. Цель: дать ответ на вопрос задачи или подтвердить факт выполнения требования. Приемы выполнения:
- Построение истинного развернутого суждения.
- Формулировка полного ответа.
- Формулировка краткого ответа.
6. Исследование решения задачи.Цель: установить, является ли данное решение единственным или возможны другие; обобщить способ решения задачи. Приемы выполнения:
-Установить зависимость между изменением результата от изменения одной из известных величин в задаче.
- Установить зависимость между изменением условия от изменения результата.
- Оценить степень возможности других решений задачи.
- Составить похожую задачу с другим содержанием.
Систему подбора заданий по формированию умений и навыков в решении задач любого вида можно представить в виде таблицы.
Условие Вопрос Способ решения Базис
1.Полностью представлено
2.Представлено частично, продолжить
3.Условие с недостающими или лишними данными
4.Отсутствует, но есть решение.
5.Представлено лишь числовыми данными в виде схемы, таблицы или чертежа 1.Полностью задан.
2.Частично задан, продолжить.
3.Отсутствует, поставить возможные вопросы. 1.Неизвестен.
2.Известен, нужно его обосновать.
3.Известен один из способов решения, решить другим.
4.Выбрать из нескольких решений верное. 1.Указан
2.Не указан
Используя данную таблицу можно составлять различные виды заданий по решению задач. Например: 5 – 3 – 1 – 2 ,в данной задаче условие представлено лишь числовыми данными, вопрос отсутствует, неизвестен способ решения, базис не указан. Таким образом, перебирая между этими строчками можно найти достаточно много различных способов различных заданий, составленных необычным способом по решению задач. А не так, что условие, вопрос и нужно решить задачу, а может вопрос быть частью условия, вопрос с недостающими ( лишними) данными, может быть вообще только задана схема, ребенку нужно самому составить ее и решить и т. д. Таблица уникальна тем, что ее можно использовать в любой программе.
Существуют различные классификации задач:
- по характеру требования (задачи на нахождение искомого, на построение, на доказательство, на конструирование и т.д.);
- по методам и способам решения (арифметические, логические, практические, на нахождение четвертого пропорционального, на нахождение части целого);
- по многим другим основаниям, характерным для задач, из какой-либо определенной области знаний.
В начальном курсе математики выделяют классификации задач по методам и способам решения.[48]
Выделяют четыреклассификации простых задач:
1. Задачи на раскрытие конкретного смысла арифметических действий;
2. Задачи на раскрытие нового смысла разности (отношений «больше на», «меньше на»);
3. Задачи на раскрытие нового смысла кратного отношения (отношений «больше в», «меньше в»);
4. Задачи на усвоение взаимосвязей между результатом и компонентами арифметических действий.
Рассмотрим более подробно методику работы с каждой классификацией задач.
Методика работы над задачами на раскрытие конкретного смысла арифметических действий включает в себя такие виды задач:
- Задачи на нахождение суммы двух чисел.
