Глава 1. Использование исторических сведений на уроках геометрии
В рамках часов математике вводится метапредметный модуль – «Математика в историческом развитии». Именно этот модуль позволяет наиболее полно интегрировать содержание учебных предметов, помочь учащимся увидеть связи между науками, активизирует и совершенствует их научные, исследовательские, творческие навыки, создает условия для совершенствования самостоятельных навыков.
Среди целей введения элементов истории в преподавание геометрии особо М. К. Потапов выделяет следующие:
1.История геометрии служит для формирования мировоззрения, так как сведения о научных поисках, открытиях помогает увидеть по-новому то, что кажется привычным и обыденным. Основными целями введения исторического материала является проникновение в мировоззренческий смысл науки, в процесс формирования ее основных идей и методов. Исторический материал должен демонстрировать учащимся, каким может быть трудным и длительным путь ученого к истине, которая сегодня формулируется в виде короткого утверждения.
2. Использование исторических сведений является одним из критериев интересности содержания учебного материала, служит для развития познавательных интересов учащихся к математике.
3. Исторические сведения служат для развития творческих способностей учащихся, так как включение сведений о творчестве крупных ученых, о том, как они приходили к постановке своих исследований, как находили метод решения, как формулировали окончательный результат, позволяет создать творческую атмосферу на уроках, помогает понять, что в процессе творчества нет ничего необычного, сверхъестественного, но цели достигаются в результате упорного труда.
4.Элементы истории служат средством нравственного воспитания учащихся, воспитания чувства гордости за достижения отечественной математики. История науки обладает множеством впечатляющих фактов о благородных социальных и гражданских мотивах деятельности ученых. Пренебрежение этим материалом или умалчивание о нем обедняет познавательный и нравственный опыт учащихся. Лишенные конкретных доказательств о единстве науки и нравственности школьники могут считать, что существует чистая наука, далекая от реальной жизни, несвязанная с судьбами людей и общества.
5. Наконец, история математики важна не только потому, что она необходима для решения ряда методологических и педагогических проблем. Она важна и сама по себе как «памятник человеческому гению, позволившему человечеству пройти великий путь от полного незнания и полного подчинения силам природы до великих замыслов и свершений в познании законов, управляющих внутриатомными процессами и процессами космического масштаба. История науки является тем факелом, который освещает новым поколениям путь дальнейшего развития и передает им священный огонь Прометея, толкающий их на новые открытия, на вечный поиск, ведущий к познанию окружающего нас мира, включая нас самих». Для реализации названных задач элементы истории на уроках геометрии специально включены в программы, учебники. В идеале по каждой теме школьного курса геометрии нужно создать соответствующие методические разработки с указанием конкретных исторических фактов и методов их преподнесения учащимся.
1.1. Методы представления исторических сведений
Выделим несколько методов представления исторических сведений:
• Презентации
• Неделя математиков
• Рефераты
• Газеты
• Кроссворды
Рассмотрим некоторые из них.
1.3. Презентации
Использование презентаций в современной школе - это насущная необходимость, позволяющая учителю быстро работать с информацией, иллюстративным материалом, интерактивными картами. Для учащихся подача материала с помощью презентации более привычна и узнаваема, чем зачастую печатный текст. Но это и проблема современных школьников - нежелание читать. Задача учителя - сочетание различных форм и источников информации на уроке. И без презентации сегодня обойтись уже практически не возможно. Ее можно использовать на уроках истории во всех классах .
Одна из основных целей, которую ставят перед собой педагоги при использовании мультимедийных презентаций - решение проблемы наглядности на уроках геометрии. Разнообразный иллюстративный материал позволяет сделать занятия более интересными, наглядными и продуктивными. А уроки с использованием мультимедийных презентаций проходят ярко и динамично. Мультимедийная презентация дает возможность представить учащимся учебный текст: фрагменты документа, высказывание исторического деятеля, таблицу, схему, диаграмму, карту, портрет, фотографию, рисунок, аудио- и видеофрагмент. Широкие возможности презентации позволяют реализовать ряд задач обучения и воспитания.
1.4 Неделя математиков
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому предмету. Ведь не секрет, что многие дети пасуют перед трудностями, а иногда и не хотят приложить определённых усилий для приобретения знаний. Одной из главных задач учителя стоит поиск и внедрение новых эффективных методов обучения, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний. Но, в первую очередь, детей надо заинтересовать предметом.
Одним из путей повышения интереса к изучению школьного курса математики является хорошо организованная внеклассная работа: кружки, факультативы, олимпиады (очные и заочные), научно-практические конференции и др.
Активизация внеклассной деятельности по математике призвана не только возбуждать и поддерживать у учеников интерес к предмету, но и желание заниматься ею дополнительно, как под руководством учителя во внеурочное время, так и при целенаправленной самостоятельной познавательной деятельности по приобретению новых знаний. Одной из форм внеурочной работы по предмету является -Неделя математиков.
Проведение Недели математиков преследует несколько целей, а именно:
1. развить у учащихся интерес к занятиям математикой;
2. повысить уровень математического развития учащихся и расширить их кругозор;
3. углубить представление учащихся об использовании сведений из математики в повседневной жизни;
Глава 2. Перечень исторических материалов
Приведём перечень исторических материалов, которые должны использовать на уроках в соответствии с действующей программой. Приведенный материал не является исчерпывающим. В нем отобраны только те вопросы, которые более доступны ученикам 7-9 классов.
• От землемерия к геометрии.
• Пифагор и его школа.
• Фалес. Архимед.
• Построение правильных многоугольников.
• Трисекция угла.
• Квадратура круга.
• Удвоение куба.
• История числа ?.
• Золотое сечение.
• «Начала» Евклида. Л. Эйлер. Н. И. Лобачевский.
• История пятого постулата.
Рассмотрим поподробнее некоторые вопросы.
1.1От землемерия к геометрии
Первый урок геометрии начинается с беседы учителя о возникновении геометрии.
Учитель может рассказать своим ученикам, что в становлении геометрии как науки внесли большой вклад ученые Древней Греции: Фалес, Пифагор, Евдокс, Евклид, Архимед. Особенно большая роль в истории развития геометрии принадлежит Евклиду, который в 3 веке до н. э. обобщил и собрал воедино геометрические сведения своих современников, дополнил их собственными исследованиями и дал их систематическое изложение в тринадцати томах своих «Начал».
1.2 Пифагор и его школа
Пифагор (580–500 гг. до н. э.) отрицал материализм милетцев. Основал школу, которую могли посещать женщины. Начальная точка зрения Пифагора – «Все есть число». Основа мира – не материальное первоначало, а числа, которые образуют космический порядок. Движение небесных тел подчиняется математическим соотношениям. Познать мир – означает познать управляющие им числа. Пифагорейцы первыми поставили вопрос о роли количественной стороны явлений природы.
Пифагорейцы видели в числе и математических отношениях объяснения скрытого смысла явлений, законов природы. Они исследовали зависимость характера звучания музыкальных инструментов от длины струн; искали простые числовые отношения в геометрии и астрономии. Пифагор успешно разрабатывал различного рода математические доказательства.
Пифагорейцы одними из первых осмыслили значимость числа не только в конкретно-научном, но и в философском мышлении. Гармония Вселенной обусловлена мерой и числом, математической пропорциональностью.
Пифагорейцы отрывали числа от вещей, превращали их в самостоятельные существа, абсолютизировали и обожествляли их. Священная монада (единица) – это мать богов, всеобщее первоначало и основа всех природных явлений. Двойка – это принцип противоположности, отрицательности в природе (женское делится на 2). Природа образует тело (тройка), являясь триединством первоначала и его противоречивых сторон (мужское). Четверка – образ четырех элементов природы и т. д. Числам 1, 2, 3, 4 соответствуют по порядку точка, линия, прямая, объем. Сумма чисел 1 + 2 + 3 + 4 = 10 – священная декада, основа мира. Из объемных фигур происходят чувственно воспринимаемые тела, которые имеют четыре основы: огонь, воду, землю и воздух; превращение последних приводит к возникновению мира живого и человека.Пифагор учил, что душа бессмертна. Ему принадлежит идея перевоплощения душ. Он считал, что все происходящее в мире снова и снова повторяется через определенные периоды времени, а души умерших через какое-то время вселяются в других.
1.3 История числа ?
Пи (?) - буква греческого алфавита, применяемая в математике для обозначения отношения длины окружности к диаметру. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов ?????????? — окружность, периферия и ?????????? — периметр. Оно стало общепринятым после работы Л. Эйлера, относящейся к 1736г., однако впервые оно было употреблено английским математиком У. Джонсом (1706г.). Как и всякое иррациональное число, ? представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:
? = 3,141592653589793238462643.
Первый шаг в изучении свойств числа ? сделал Архимед. В сочинении «Измерение круга» он вывел знаменитое неравенство: [формула]
Это означает, что ? лежит в интервале длиной 1/497. В десятичной системе счисления получаются три правильных значащих цифры: ? = 3,14…. Зная периметр правильного шестиугольника и последовательно удваивая число его сторон, Архимед вычислил периметр правильного 96-угольника, откуда и следует неравенство. 96-угольник визуально мало отличается от окружности и является хорошим приближением к ней.
В том же сочинении, последовательно удваивая число сторон квадрата, Архимед нашел формулу площади круга S = ? R2. Позднее он дополнил ее также формулами площади сферы S = 4 ? R2 и объема шара V = 4/3 ? R3.
В древнекитайских трудах попадаются самые разные оценки, из которых самая точная — это известное китайское число 355/113. Цзу Чунчжи (V век) даже считал это значение точным.
Лудольф ван Цейлен (1536—1610) затратил десять лет на вычисление числа ? с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n=60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности», Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа ?. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число ? иногда называли «лудольфовым числом».
Но загадка таинственного числа не разрешена вплоть до сегодняшнего дня, хотя по-прежнему волнует ученых. Попытки математиков полностью вычислить всю числовую последовательность часто приводят к курьезным ситуациям. Например, математики братья Чудновские в Политехническом Университете Бруклина специально с этой целью сконструировали суперскоростной компьютер. Однако установить рекорд им не удалось – пока рекорд принадлежит японскому математику Ясумаса Канада, который смог вычислить 1,2 биллиона чисел бесконечной последовательности.
1.4 «Начала Евклида»
В пятом веке до нашей эры появились сочинения, содержавшие обширный
геометрический материал и носившие ясно выраженную печать дедуктивной
логической системы. Одно из этих сочинений было в ходу в академии Платона.Платон предъявлял особенно высокие требования к строгости геометрическойдедукции. Его ученик Аристотель дал этим требованиям гораздо более точноевыражение, он указал пути и правила, которымнадлежит следовать привыполнении этих требований; он создал теорию логического вывода(дедукции). По схеме Аристотеля всякая дедуктивная наука должна начинатьсяустановлением свойственных ей категорий - основных понятий, не подлежащихопределению, и аксиом - основных истин, не подлежащих доказательству. Всеостальное должно быть строгим логическим выводом из этих исходныхпредпосылок. В следующем столетии этот замысел был в известной меревыполнен Евклидом. Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик,автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике.
Биографические сведения о Евклиде крайне скудны. Мировую известность
Приобрёлблагодаряегосочинениюпоосновамматематики«Начала».Составленныеим«Начала»,вытеснили все существовавшие донегоруководства по геометрии и, как мы уже знаем, свыше двух тысяч лет почти
безраздельно царили в школе и всюду, где учились геометрии. «Начала»содержали основы античной математики, элементарной геометрии, теориичисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов,включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитиематематики. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, чтобыло создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя еговоедино. Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книгипредваряются списком определений. Первой книге предпослан также списокпостулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения,а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами. В I книгеизучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчаетзнаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II,восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрическойалгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а такжевписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгамиЕвклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книгевводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VIкниге она прилагается к теории подобных фигур. VII—IX книги посвященытеории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, былАрхит. Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях игеометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строитсячётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания, доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, чтот часть построений была разработана Теэтетом Афинским. В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу, а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского. Современный читатель, ознакомившись с текстом «Начал», узнает в них многое, чему он учился по современному учебнику геометрии, не только по содержанию, но и по форме, вплоть до формулировок отдельных теорем. Известный английский геометр де Морган в середине прошлого века писал: «Никогда не было системы геометрии, которая в существенных чертах отличалась бы от плана Евклида; и до тех пор, пока я этого не увижу собственными глазами, я не поверю, что такая система может существовать». Каждая книга начинается определениями всех тех понятий, которые в этой книге встречаются; первой же книге предпосланы постулаты и аксиомы. До сих пор еще идут споры о том, как Евклид отличал постулаты от аксиом. Аксиомы – суть истины, относящиеся ко всяким величинам, не только геометрическим. Постулаты – это требования геометрического характера, которые читатель должен принять для того, чтобы он был вынужден признать все дальнейшие выводы. Много произведений Евклида утеряно, об их существовании в прошлом нам известно только по ссылкам в сочинениях других авторов. Тщательное сличение всех материалов дало возможность почти полностью восстановить подлинный текст Евклида; сомнительных мест остается немного, преимущественно в аксиомах и определениях, «исправить» которые переписчики особенно старались. Геометрия Евклида признавалась самым незыблемым творением научной мысли, и общее впечатление, которое выносил каждый, кто был в состоянии усвоить «Начала», это, несомненно, подтверждало. При всем том математики, которые шли дальше, которые подвергали тщательному анализу каждое отдельное предложение, оценивая его не только с точки зрения содержания, но и выдержанности логической концепции были склонны к критике. Конкурировать с Евклидом, написать новые начала геометрии в течение многих веков не решался никто; но в критике отдельных его установок и рассуждений не было недостатка. Издатели «Начал» обыкновенно сопровождали их многочисленными комментариями, одни из которых имели целью лучше пояснить мысль Евклида, другие же предлагали более простые доказательства, а часто выявляли слабые стороны сочинения, его недостатки. Внимательный анализ обнаруживал, что умозаключение часто подменяется интуицией, указаниями наглядных представлений, соображениями, основанными на очевидности, т. е. на ощущениях глаза. Всякий, кто учился геометрии, конечно, припомнит, как часто ему помогал чертеж, помогал своею наглядностью, а не логически установленными признаками. Такого рода соображения, основанные на наглядной очевидности, в рассуждениях Евклида встречаются на каждом шагу, нарушая «цепь логических выводов». «Начала» должны быть признаны пестрой смесью логики и интуиции. На критике исходных определений, аксиом и постулатов Евклида сосредоточенно главным образом внимание комментаторов. Благодаря их анализу стало совершенно ясно, что этот фундамент слаб, что крепкое здание геометрии поддерживается еще другими основаниями, не получившими выражения в аксиоматике Евклида. Комментаторы не без основания исключали одни аксиомы или постулаты (например, постулат IV), иногда не без основания включали другие; но ничего сколько-нибудь существенного в систему Евклида они не внесли. Комментаторы Евклида выявили, что «Начала» Евклида еще очень далеки от той совершенной дедукции, которую им приписывали, которой требовал Платон. Вера в это совершенство была поколеблена.
