Глава I.
Психолого-педагогические аспекты преподавания математики в школе на современном этапе с позиции компетентностного подхода.
1. Психолого-педагогические основы обучения математике в основной школе на современном этапе.
Одним из основополагающих принципов современного обучения является его ориентация на всестороннее формирование личности каждого обучаемого, реализацию всех его задатков, склонностей, способностей, интересов и т. п. В основе такого обучения должны лежать индивидуально-психологические особенности учащихся. Обучение ориентируется и учитывает эти особенности. Каковы же они? Откуда берутся? Один из ответов на данные вопросы дает известная психолог А. Анастази: «Индивидуальные различия порождаются многочисленными и сложными воздействиями между наследственностью индивида и его средой ... Наследственность допускает очень широкие границы поведения. Внутри же этих границ результат процесса развития зависит от его внешней среды». Таким образом, необходимо прояснить два основных момента: во-первых, какую роль играют индивидуально-психологические особенности в определении успешности разных видов деятельности, и, во-вторых, каково происхождение этих особенностей.
1.1. Дифференциальная психология.
Исследованием индивидуальных различий занимается специальный раздел психологии, который называется «Дифференциальная психология». Она накопила значительный материал,в том числе экспериментальный и описательный, о вариативности как отдельных психических свойств человека (памяти, восприятия, внимания, воображения, мышления и т. д.), так и о сложных комплексных образованиях (характере, темпераменте, интересах, склонностях, мотивации и т. д.).
Одними из первых и наиболее значительными российскими работами в этой области, не утратившими актуальности и в настоящее время, являются исследования А. Ф. Лазурского. В его фундаментальном труде «Классификация личностей» дана теория и полное описание деления на группы и типы. В качестве основного критерия классификации рассматривается уровень проявления активности. Согласно взглядам Лазурского, понятие активности — одно из исходных понятий общей психологии. С его точки зрения, принципиальным является различие воли и активности. Активность выступает как внутренний источник, определяющий уровень психической деятельности. Автор подчеркивает, что активность — это не волевые усилия, а нечто гораздо более широкое, лежащее в основе всех наших душевных процессов и проявлений. Степень активности рассматривалась как основание для классификации уровней приспособления личности во внешней среде. В результате им были выделены следующие три типа личности.
1) Низший психический — индивид недостаточно приспособлен к внешней среде, которая подчиняет себе слабую психику малоодаренного человека. В результате личность не дает и того немногого, что могла бы дать.
2) Средний — индивид хорошо приспосабливается, приноравливается к внешней среде и находит в ней место, соответствующее внутреннему психическому складу.
3) Высший — индивид отличается стремлением переделать внешнюю среду согласно своим влечениям и потребностям, здесь ярко выражен процесс творчества. К высшему уровню относятся таланты и гении.
Помимо этого, ученый полагал, что классификация личностей должна быть не только психологической, но и психосоциальной. Другими словами, разделение личностей должно производиться не только на основании преобладания у них той или иной группы взаимосвязанных основных психических функций, но и на основании социального положения (т. е. профессии, направления интересов). «Наиболее яркие «чистые» типы получаются в тех случаях, когда интересы и профессиональная деятельность человека, развитие его знаний и навыков, его взглядов и миросозерцания происходит именно в том направлении, какое диктуется прирожденными особенностями его нервно-психической организации».
Опираясь на эти положения, А. Ф. Лазурским были разработаны конкретные программы исследования личности. Одна из таких программ помещена в приложении к названной книге. Она основана на исследовании отношения человека к определенным явлениям. При этом различают следующие четыре аспекта:
1. Наличие или отсутствие определенного отношения к данной категории явлений и степень его интенсивности. Имеется в виду не только положительное отношение (интерес, склонность), но и отрицательное (отвращение, ненависть, отталкивание). Наряду с прямым, непосредственным интересом к известным явлениям, здесь исследовалась возможность утилитарного отношения, т. е. оценка какой-либо области, с точки зрения ее полезности для чего-либо.
2. Специфические формы, качественные особенности интереса. Эти формы могут обусловливаться, во-первых, многообразием самих объектов, принадлежащих к данной категории, а во-вторых, формы интереса определяются многообразием отношений к объектам.
3. Уровень развития или дифференцированности интереса. Здесь рассматриваются: степень утонченности интереса; эволюция интереса или отношения, которая определяется интеллектуальным или общекультурным развитием человека; степень сознательности (в противоположность инстинктивности, бессознательности) от" ношения; степень культурности формы интереса или его осуществления.
4. Объем интереса — широта области, на которую он распространяется. Здесь прежде всего определяется количество объектов, привлекающих интерес данного человека. С другой стороны, важно отметить количество сторон объекта, на которые распространяется отношение в каждом данном случае. Каждый сложный объект или явление имеет целый ряд сторон, и интерес человека может охватывать их все или же сосредоточиваться только на некоторые из них. Так, например, по отношению к знанию и науке человек может быть узким специалистом, всецело погруженным в свою специальность, или, наоборот, энциклопедистом, интересующимся самыми различными отраслями знаний.
В программу вошло всего 15 рубрик об отношении человека:
1)к вещам; 2) к природе и животным; 3) к отдельным людям; 4) к любви; 5) к социальной группе (общественное сознание, корпоративное сознание); 6) к семье; 7) к государству; 8) к труду; 9) к материальному обеспечению и собственности; 10) к внешним нормам жизни; 11) к нравственности; 12) к миросозерцанию и религии;13) к науке и знанию; 14) к искусству; 15) к себе самому. Каждая из них содержит детальное описание выделенных сторон отношений. На основании рассмотрения таких вопросов составлялись индивидуальные характеристики школьников и давались конкретные рекомендации по их обучению. Значительный вклад в разработку исследуемой проблемы внесли работы Б. М. Теплова и его учеников. В их исследованиях изучался вопрос об основных свойствах нервной системы и их значении для психологии индивидуальных различий.
К числу таких свойств нервной системы были отнесены следующие.
I. Сила нервной системы по отношению к возбуждению, т. е. способность выдерживать длительное возбуждение, не обнаруживая запредельного торможения.
II. Сила нервной системы по отношению к торможению, т. е. способность выдерживать длительные и часто повторяющиеся тормозные влияния.
III. Уравновешенность нервной системы по отношению к возбуждению и торможению, которая проявляется в одинаковости реагирования нервной системы на возбудительные и тормозные процессы.
IV. Лабильность нервной системы, оцениваемая по скорости возникновения и прекращения нервного процесса возбуждения или торможения.
Опираясь на эти свойства, В. Д. Небылицын разработал классификацию свойств нервной системы человека. По его мнению, «эта концепция является наиболее продуктивной из всех предложенных до сих пор биологических теорий развития психологической индивидуальности. Ее очевидные преимущества вытекают из того, что она берет в качестве отправного момента не побочные или вторичные признаки биологической организации ... а признаки определяющей, ведущей системы человеческого организма — центральной нервной системы».
Автор выделяет такую ведущую, с его точки зрения, категорию для индивидуально-психологических различий, как темперамент, который рассматривается как «важный домен личностной организации, характеризующий индивидуальное поведение с его динамической стороны». В структуре темперамента выделяются два главных компонента: а) активность; б) эмоциональность. Эти характеристики темперамента и их измерение важны при определении особенностей поведения учащихся.
1.2. Способности.
Поскольку основные свойства нервной системы человека довольно устойчивы, то они образуют хорошую почву для формирования определенной формы поведения. Б. М. Теплов считал, что практическая задача обучения состоит не в том, чтобы изменять индивидуальные свойства, а в том, чтобы для каждого типа нервной деятельности определить наилучшие пути обучения. В связи с этим одно из ведущих мест в его работах заняло 95 исследование понятия «способность». Ученым в основополагающем труде «Проблемы индивидуальных различий» было выделено три главных п р и з н а к а, определяющих способности.
1. Под способностями разумеются индивидуально-психологические особенности, отличающие одного человека от другого.
2. Способностями называют не всякие вообще индивидуальные особенности, а лишь такие, которые имеют отношение к успешности выполнения какой-либо деятельности или многих деятельностей.
3. Понятие способности не сводится к тем знаниям, навыкам и умениям, которые уже выработаны у данного человека.
Важно подчеркнуть, что одной из существенных особенностей психики человека является возможность чрезвычайно широкой компенсации одних свойств другими, вследствие чего относительная слабость какой-нибудь одной способности вовсе не исключает возможности успешного выполнения даже такой деятельности, которая наиболее тесно с нею связана. Недостающая способность может быть в очень широких пределах компенсирована другими, развитыми у данного человека.
Другим выдающимся результатом Б. М. Теплова были исследования, посвященные анализу конкретных видов деятельности. Полученные выводы имеют принципиальное значение, а именно по отношению к способностям в любой области применимы следующие положения: способности могут быть выявлены только на основе анализа особенностей деятельности; успешность деятельности зависит от комплекса способностей; возможна в широких пределах компенсация одних способностей другими.
Эти положения стали отправными для многих исследовательских работ по психологии способностей. Важное место в этих работах занял вопрос об общих и специальных способностях.
Общие способности — это общие умственные, интеллектуальные способности, которые проявляются везде, во многих видах и областях знаний, деятельности, в том числе и в учении.
Специальные способности — это способности, которые обнаруживаются в какой-то одной области, в отдельном виде деятельности, например способности к определенным видам искусства, к языкам, математике, технике и т. д.
В работах, где рассматриваются способности к конкретным видам деятельности, выделяются компоненты этих способностей, в качестве которых выступают, прежде всего, индивидуальные особенности психических процессов ощущения, восприятия, мышления, памяти, воображения. Например, среди компонентов музыкальных способностей выделяют способность к слуховому представлению; среди компонентов способностей к изобразительному искусству — целостность восприятия, зрительную память, оценки светлотных отношений; среди компонентов литературных способностей — образное мышление, творческое воображение; среди компонентов конструктивно-технических
способностей — способность к пространственным представлениям, техническое мышление. Заметим, что все компоненты способностей нельзя, конечно, сводить только к индивидуальным особенностям психических процессов, они формируются на базе этих особенностей и включают эмоционально" волевые моменты, элементы отношений, имеют личностную окраску.
В результате многочисленных специальных экспериментов выяснилось, что все способности имеют некую общую основу, важную для развития и проявления практически любой способности. Общие способности определяют уровень и своеобразие любой умственной деятельности, именно поэтому их часто и называют умственными способностями.
Можно привести много впечатляющих примеров известных людей, у которых достаточно высокий уровень способностей к различным видам деятельности. Неслучайны выдающиеся рисунки А. С. Пушкина, который, по мнению современников, был одним из умнейших людей своего времени. А. С. Грибоедов — выдающийся музыкант и дипломат, — успешно учился на математическом факультете университета. Серьезно интересовался математикой Н. В. Гоголь, М. Ю. Лермонтов очень любил решать математические задачи. Известный драматург А. В. Сухово-Кобылин получил математическое образование в Московском университете. Серьезно занимался методикой математики, особенно в области преподавания арифметики, Л. Н. Толстой. Такие примеры можно найти и в среде математиков. Крупнейший ученый древности — Архимед был уникален в своем творчестве, он был математиком, механиком, физиком, инженером. Великие художники эпохи Возрождения Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер не просто увлекались математикой, они добились значительных результатов в теории многогранников и теории перспективы. С. В. Ковалевская была талантливой писательницей, ее литературные произведения оценивались весьма высоко.
Известный математик XIX в. В. Я. Буняковский был замечательным поэтом. Английский профессор математики Ч. Л. Доджсон был талантливым детским писателем. Под псевдонимом Льюис Кэрролл он написал знаменитые книги «Приключения Алисы в стране чудес» и «Алиса в зазеркалье». Известны блестящие способности крупнейшего физика-теоретика Л. Д. Ландау к истории и т. д.
Этот ряд примеров может быть продолжен. Важно еще раз подчеркнуть, что для того чтобы способности проявились, развились, нужна соответствующая среда, соответствующее обучение, отсутствие которых часто не дает проявиться всем возможностям человека. Задача школы — задатки — природные возможности превратить в способности. К сожалению, довольно часто так не происходит, и человек даже не подозревает о своих способностях. История знает много ярких примеров, когда только случайность помогала человеку найти свой путь. Например, Н. Н. Лузин.
«Ему наша математическая школа больше всего обязана: подавляющее большинство московских математиков — это ученики Лузина, ученики его учеников или его научные внуки и правнуки. Но именно он был отстающим в гимназии по математике, и нанятый репетитор сумел приоткрыть перед ним ее красоту».
Приведенные примеры указывают на недопустимость ранней специализации, наоборот, на предоставление необходимых условий, создание соответствующей атмосферы для наилучшего проявления всех возможных способностей индивида. В связи с этим необходимо упомянуть о так называемых сенситивных периодах развития способностей. Так психологи называют определенные возрастные сроки, наиболее благоприятные для развития специальных способностей. Для различных способностей такие периоды неодинаковы. Наиболее ранние имеют музыкальные способности и способности к языкам. Они ярко проявляются уже в начальных классах. Математические же способности обнаруживаются позже, в среднем школьном возрасте (приблизительно к 14—15 годам), могут проявиться немного раньше, но могут и позже. Вот почему профильное обучение должно начинаться в старших классах.
Обратимся теперь к исследованиям математических способностей, проведенных В. А. Крутецким. В его известной книге «Психология математических способностей школьников» способности к изучению математики определяются следующим образом:
«индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности, относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики». При этом выделяются следующие возрастные особенности развития математических способностей:
1) Формализованное восприятие математического материала.
2) Обобщение математического материала.
3) Свернутость математического мышления — тенденция мыслить в процессе математической деятельности сокращенными структурами.
4) Гибкость мыслительного процесса.
5) Стремление к своеобразной экономии умственных усилий — к изяществу решений.
6) Математическая память.
Специально проведенные исследования показали, что все перечисленные компоненты начинают развиваться неодновременно. Причем многие, а именно 3—6, формируются только в старших классах школы, что еще раз подчеркивает недопустимость ранней специализации учащихся.
Очень часто о способностях ученика судят по его успехам к определенной деятельности, что, в свою очередь, в немалой степени зависит от организации этой деятельности. Самые разные школьные предметы имеют много общего, предъявляют ряд сходных требований к особенностям мышления, памяти ученика, к таким психологическим качествам, как умственная активность, любознательность, творческое воображение. Поэтому в школе, в классах, как правило, выделяются группы ребят, которые хорошо или, наоборот, плохо успевают по всем предметам. Часто ученикам «приклеивают» ярлыки: «способные», «бестолковые». Между тем, специально проведенные исследования показывают, что при оптимально подобранных условиях обучения подавляющее большинство здоровых ребят имеют средние общие способности. Малоспособные ученики составляют только около 5%, одаренные, талантливые — тоже около 5%, а большинство, т. е. около 90%, составляют обычные учащиеся с хорошими средними способностями. Графически эту зависимость можно представить кривой нормального распределения учащихся по уровню способностей (рис. 4, а).
При этом если условия обучения одинаковы для всех учащихся, то их распределение по достигаемым результатам тоже описывается кривой нормального распределения (рис. 4,б). Если же для каждого ученика зафиксировать его результат обучения и начальные условия подобрать таким образом, чтобы каждый достиг своего результата, полного усвоения намеченного
материала, то в этом случае высоких результатов обучения достигают ученики не только с высокими, но многие со средними способностями. Соответствующий график изображен на рисунке 4, в.
2. Педагогические аспекты обучения математики с точки зрения компетентностного подхода.
Одной из основных проблем современного образования является качество математического образования. Состояние математического образования является одним из важнейших факторов, формирующих будущее. Задача повышения качества математического образования актуальна не только с позиции «потребностей будущего», но и с позиции актуального состояния математического образования в школе. В современном мире качественное освоение любой области человеческой деятельности неэффективно без владения конкретными математическими знаниями и методами, без интеллектуальных и личностных качеств, развивающихся в ходе овладения этим учебным предметом. Математика лежит в основе всех современных технологий и научных исследований, является необходимым компонентом экономики, построенной на знании. Занятия математикой имеют большой общекультурный образовательный потенциал.
Модернизация системы образования в целом коснулась и школьного математического образования. Изучение математики в школе перестает концентрироваться вокруг задачи формирования предметных знаний и учений. Необходимо ориентироваться на образовательные результаты совершенно иного типа. На первый план выступают задачи формирования интеллектуальной, исследовательской культуры школьников: способности учащегося самостоятельно мыслить, самому строить знание, опознавать ситуацию, требующую применения математики и эффективно действовать в ней, используя приобретенные знания в качестве личного ресурса. Важной целью является развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности. Это означает, что нужно менять подход к обучению математики. Учащиеся должны понимать, как создается математическое знание, откуда берутся теоремы и математические модели, иметь собственный опыт математической деятельности.
Математическая деятельность – это исследовательская деятельность, результатом которой является получение математического знания и способов его применения. О содержании математической деятельности писали известные математики и методисты Д. Пойа, А. Пуанкаре, Л. Эйлер. Занятия математикой в форме осуществления учебно-исследовательской деятельности позволяют развивать мышление, необходимое для понимания и совершенствования окружающего нас мира, развивают волевые качества, вырабатывают привычку к методичной работе, без которой немыслим ни один творческий процесс, а также способствуют воспитанию интеллектуальной честности, объективности, стремлению постичь истину, способности к эстетическому восприятию мира (постижению красоты интеллектуальных достижений, идей и концепций, познанию радости творческого труда), воображения и интуиции. Таким образом, при деятельностном подходе к организации учебного процесса школьное математическое образование может давать серьезный вклад в интеллектуальное и эмоционально-волевое развитие всех учащихся, способствовать освоению ими исследовательской культуры, без которой в современном мире невозможно успешное осуществление любой профессиональной деятельности.
Анализ ситуации с математическим образованием выявил следующие проблемы. В начальной школе очень важной является наглядная, инновационная среда объектов математики. Именно начальная школа закладывает основу для формирования базовой грамотности и основных жизненных навыков человека – компетенций, которые становятся ключевыми в будущей жизни. Поэтому принципиально важно увидеть в основной школе итоги обучения начальной школы на основе стартовой диагностики в пятом классе. Проводимый ежегодный мониторинг показывает, что при проведении диагностических контрольных работ в пятом классе процент пятиклассников, успешно выполнивших задания, подобные заданиям итоговой работы за четвертый класс, при переходе из начальной школы в среднюю, снижается. Таким образом, одной из основных проблем является отсутствие преемственности при переходе из начальной школы в среднюю, а так же проблемы с контрольно-оценочной деятельностью учащихся.
Одним из показателей качества освоения программы за курс основной и старшей школы обучающихся выступают результаты ГИА по математике. Анализ результатов показывает, что к окончанию обучения в школе результаты снижаются еще больше. Относительно невысокие результаты ГИА по математике, на мой взгляд, являются следствием следующих проблем в математическом образовании:
1. недостаточное количество часов на изучение предмета в учебном плане;
2. наличие пробелов в знаниях учащихся по базовой программе курса в начальной школе и, как следствие, появление неуспешных детей в обучении математике;
3. наличие и доступность «решебников»;
4. снижение мотивации обучающихся из-за однообразия форм и методов обучения, способов подготовки учащихся к ГИА;
5. отсутствие практической направленности при изучении математики;
6. отсутствие эффективной системы закрепления и действенной системы повторения изученного материала на протяжении всех лет обучения в основной школе;
7. неготовность ряда учителей к использованию на уроках математики продуктивных методов обучения;
8. недостаточная работа с одаренными детьми и, как следствие, недостаточная активность и результативность учащихся в олимпиадах и конкурсах различных уровней.
Одной из проблем является отсутствие умения у школьников самостоятельно добывать информацию, работая с учебной и дополнительной литературой, поэтому главной задачей учителя на сегодня является научить их самостоятельно добывать нужную информацию, работая осознанно с различной литературой.
Еще одной проблемой является формирование математического мировоззрения обучающихся. Интересы эффективности обучения требуют, чтобы учитель знал не только, чему учить, как учить, но и зачем учить. Это связано с главной задачей школы – не только дать сумму знаний, но и воспитать всесторонне развитого человека.
Стоит выделить качества личности, на развитие которых влияет математика: умственное воспитание; творческий характер; формирование мировоззрения; нравственный потенциал.
Различные исследования указывают на то, что основным и решающим фактором, влияющим на качество математического образования, являются педагоги и их квалификация. Необходимо создать образовательную среду, максимально способствующую раскрытию способностей и одаренности обучающихся всех категорий в области математики, охватывающую начальную, основную и старшую ступени школы. Кроме того, нужно продолжать развивать систему дополнительного образования, ориентированную как на отдельных одаренных школьников, так и на широкий круг интересующихся математикой учащихся за счет осуществления системы мероприятий.
