Войти в мой кабинет
Регистрация
ГОТОВЫЕ РАБОТЫ / КУРСОВАЯ РАБОТА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методы и способы решения диофантовых уравнений

ichernogor1986 1700 руб. КУПИТЬ ЭТУ РАБОТУ
Страниц: 56 Заказ написания работы может стоить дешевле
Оригинальность: неизвестно После покупки вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100% с помощью сервиса
Размещено: 04.04.2021
Введение………………………………………………………………………3 1 Методы и способы решения диофантовых уравнений………………..5 1.1 История развития теории диофантовых уравнений……………………..5 1.2 Решение диофантовых уравнений с помощью перебора вариантов и метода остатков……………………………………………………………….10 1.3 Применение алгоритма Евклида при решении диофантовых уравнений..……………………………………………………………………13 1.4 Решение диофантовых уравнений с помощью цепных дробей……….16 1.5Использование способа рассеивания (размельчения) для решения диофантовых уравнений……………………………………………………..20 1.6 Методы решения диофантовых уравнений высших степеней………...24 2. Практическая часть……………………………………………………..29 2.1 Исследование диофантова уравнения второй степени с двумя переменными………………………………………………………………….29 2.2 Некоторые частные виды неопределенных уравнений второго порядка с двумя неизвестными………………………………………………………..30 2.3 Некоторые практические задачи, сводящиеся к составлению неопределённых уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными……………………………………………………………..….44 Заключение…………………………………………………………………..50 Список литературы……………...………………………………………….52
Введение

Задачи, сводящиеся к неопределенным или диофантовым уравнениям, встречаются в клинописных текстах Вавилона, написанных более чем за 2000 лет до нашей эры. Даже то немногое, что мы знаем об античном ученом Диофанте, представляет собой одну из увлекательнейших загадок в математической истории. В собрании античных и средневековых греческих эпиграмм под названием Палатинская антология содержится стихотворение – загадка о жизни Диофанта, решив которую нетрудно подсчитать, что он прожил 84 года. По научным трудам французского исследователя Поля Таннери можно определить примерный промежуток времени, в который жил Диофант – середина III века нашей эры. Главный след, который Диофант оставил в истории – это его произведение «Арифметика». Оно представляет собой сборник задач, большая часть которых эквивалентна неопределённым уравнениям. Каждая задача сопровождается решением. Многие задачи имеют длинную предысторию: некоторые из них восходят к школе Пифагора, другие – к древнему Вавилону. Однако до Диофанта эти задачи трактовались чисто арифметически. Диофант привнес в решение задач новые методы, которые ранее не использовались. В «Арифметике» Диофант систематизировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных алгебраических уравнений в целых числах. С тех пор эти уравнения стали называться диофантовыми. «Арифметика» Диофанта легла в основу современной теории чисел. В Актуальность исследования обусловлена тем, что в последнее время диофантовы уравнения различного вида стали одним из источников формирования базы задач ЕГЭ и применяется на олимпиадах школьников. Объектом исследования курсовой работы являются диофантовые уравнения. Предмет исследования – методика обучения решению диофантовых уравнений (методы и способы решения уравнений в целых числах). Цель курсовой работы: проанализировать и изучить диофантовы методы решения неопределённых уравнений первой и второй степеней с двумя неизвестными. Задача курсовой работы: - изучить и проанализировать литературу по данной теме; - изучить и изложить методы Диофанта; - рассмотреть методы решения неопределённых уравнений первой и второй степеней с двумя неизвестными в целых и рациональных числах; - привести примеры задач, сводящихся к составлению неопределённых уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для решения поставленных задач были использованы следующие методы: - анализ периодической и учебно-методической литературы; - обобщение опыта применения диофантовы уравнения; . практика применения диофантовых уравнений. Структура работы обусловлена целью и задачами исследования. Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников, приложения.
Содержание

Диофантовыми уравнениями принято называть уравнения с целыми коэффициентами, для которых надо найти целочисленные (или натуральные) решения. При этом количество неизвестных, входящих в уравнение, должно быть не менее двух [1]. Диофантовы уравнения можно записать в виде P (x1, x2, ..., xn) = 0, n ? 2, где P (x1, ..., xn) – многочлен с целыми коэффициентами, а все переменные xi принимают целочисленные значения [15]. Решить линейное диофантово уравнение означает установить следующее: 1) имеет ли оно хотя бы одно целочисленное решение; 2) конечно или бесконечно число его целочисленных решений; 3) найти все его целочисленные решения. Весьма часто диофантовы уравнения называют неопределенными. Свое название эти уравнения получили в честь одного из выдающихся математиков античности Диофанта Александрийского. О нем известно крайне мало. Большинство историков математики сходятся во мнении, что жил Диофант в III веке нашей эры [5]. Следы диофантовых уравнений можно найти в сохранившихся документах, дошедших до нас из глубины тысячелетий. Еще в Древнем Вавилоне занимались поисками пифагоровых троек – целочисленных решений уравнения х2 + у2 = z2. Формулы, позволяющие найти его решение, были получены пифагорейцами: x ?k 2 ?1, y ? 2k, z ?k 2 ?1. Отметим лишь, что при z ? 100 уравнение х2 + у2 = z2 имеет 16 примитивных троек: (3; 4; 5) (13; 84; 85) (16; 63; 65) (9; 40; 41) (20; 21; 29) (5; 12; 13) (36; 77; 85) (33; 56; 65) (11; 60; 61) (12; 35; 37) (8; 15; 17) (39; 80; 89) (7; 24; 25) (28; 45; 53) (48; 55; 73) (65; 72; 97) Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена из какой – либо другой пифагоровой тройки умножением на одно и то же натуральное число. Таким образом, примитивные пифагоровы тройки являются взаимно простыми. Другими словами, их наибольший общий делитель равен 1. В этом ряду, например, отсутствуют тройки (6; 8; 10), (12; 16; 20), (10; 24; 26). Их не относят к примитивным пифагоровым тройкам, так как они содержат числа, кратные числам из примитивных троек. В «Началах» Евклида (III в. до н.э.) содержится уравнение x 2 ? ay 2 ?1 (a – параметр), которое относится к неопределенным уравнениям. В этом замечательном труде для него приводятся целочисленные решения. Решение для случая произвольного неквадратного а знал древнегреческий математик Архимед (287 г. до н. э. – 212 г. до н. э.), который поставил перед другим ученым Эллады – Эратосфеном (276 г. до н. э. – 194 г. до н. э.) известную «Задачу о б
Список литературы

1. Чермидов С.И. Диофантовые уравнения внешне схожие с уравнениями Пелля // Диалоги о науке. 2011. № 2. С. 66-67. 2. Кочкарев Б.С. Сведение одного диофантова уравнения к классу алгебраических уравнений от двух натуральных параметров // Проблемы современной науки и образования. 2015. № 7 (37). С. 6-7. 3. Гой Т.П., Заторский Р.А. Решение квадратных диофантовых уравнений с помощью систем линейных рекуррентных уравнений // В сборнике: Математика и естественные науки. Теория и практика Межвуз. сб. науч. тр.. Министерство образования и науки Российской Федерации ; Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ярославский государственный технический университет». Ярославль, 2015. С. 31-34. 4. Ярыгин О.Н. Уравнение Эбергардта и другие диофантовы уравнения полиэдров // Математические исследования в естественных науках. 2011. № 7. С. 152-156. 5. Подлегаев А.В., Жафяров А.Ж. Изучение диофантовых уравнений первой степени на основе компетентностного подхода // Учебное пособие / Министерство образования и науки РФ, Новосибирский государственный педагогический университет. Новосибирск, 2016. 6. Глотов А.А., Гоглева К.Г. Диофантовы уравнения // В сборнике: В мире исследований Материалы III Международного форума студенческой и учащейся молодежи. Главный редактор М.П. Нечаев. 2017. С. 27-38. 7. Сикорская Г.А., Косилов Е.А. О Методах решения линейного диофантова уравнения с двумя неизвестными // В сборнике: Научный диалог: молодой ученый сборник научных трудов по материалам VI международной научной конференции. Международная Научно-Исследовательская Федерация «Общественная наука». 2017. С. 4-8. 8. Белевцов Л.В., Пасечник Н.М. Алгоритм факторизации в криптографии на основе диофантового уравнения X2-Y2=N // В сборнике: Актуальные проблемы обеспечения информационной безопасности материалы международной научно-практической и научно-методической конференций профессорско-преподавательского состава и аспирантов. 2016. С. 86-91. 9. Бокарев Н.Л., Буякова Е.В. Диофантовы уравнения второй степени от трёх переменных // Научно-методический электронный журнал Концепт. 2017. № Т2. С. 530-533. 10. Рожков А.В., Рожкова М.В. Диофантовы уравнения, коды, исправляющие ошибки - как обобщение олимпиадных задач // В сборнике: Математика и математическое образование сборник трудов по материалам VIII международной научной конференции "Математика. Образование. Культура" (к 240-летию Карла Фридриха Гаусса). 2017. С. 320-327. 11. Брюно А.Д. ОТ Диофантовых приближений до диофантовых уравнений // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. № 3 (59). С. 38-52. 12. Бокарев Н.Л., Буякова Е.В. Диофантовы уравнения второй степени от трёх переменных // European Research. 2017. № 6 (19). С. 7-10. 13. Алешников С.И., Алешникова М.В., Горбачёв А.А. Элементарное решение одного кубического диофантова уравнения // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Серия: Физико-математические и технические науки. 2017. № 2. С. 40-47. 14. Шибаев В.П. Опыт применение системы остаточных классов для нахождения частного решения линейного диофантова уравнения // Вестник Московского института государственного управления и права. 2016. № 16. С. 6-11. 15. Ионисян А.С. Применение системы остаточных классов для нахождения частного решения линейного диофантова уравнения // Успехи современной науки. 2016. Т. 6. № 11. С. 41-44. 16. Рыбалов А.Н. О Генерической сложности проблемы разрешимости систем диофантовых уравнений в форме сколема // Прикладная дискретная математика. 2017. № 37. С. 100-106. 17. Ковыршина А.И. Общее решение линейных диофантовых уравнений // В сборнике: Математика и проблемы обучения математике в общем и профессиональном образовании Материалы X Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 90-летию со дня рождения профессора Бориса Альбертовича Бельтюкова. Иркутский государственный университет, Педагогический институт. 2017. С. 186-191. 18. Борисова А.С., Живаева Е.Е. Решение диофантовых уравнений // В сборнике: Дорожно-транспортный комплекс: состояние, проблемы и перспективы развития Сборник научных трудов XVI Республиканской технической научно-практической конференции. 2017. С. 17-24. 19. Мельников Р.А. Краткий обзор этапов развития диофантовых уравнений // В сборнике: Математика: фундаментальные и прикладные исследования и вопросы образования материалы международной научно-практической конференции. 2016. С. 429-435. 20. Яковлева Е.Н., Яричина В.С. Элективный курс «Диофантовы уравнения» как предпрофильная подготовка учащихся 8 - 9 классов // В сборнике: концепции фундаментальных и прикладных научных исследований сборник статей международной научно-практической конференции: в 4 частях. 2017. С. 13-17. 21. Почеревин Р.В. Об одной многомерной системе диофантовых уравнений // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2017. № 1. С. 68-71. 22. Галицкая А.Д. История одного математического открытия. диофантовы уравнения // В сборнике: Актуальные проблемы экономики и бухгалтерского учета. математические методы, модели и информационные технологии // Сборник докладов XVII научно-практической конференции преподавателей, студентов, аспирантов и молодых ученых. 2016. С. 174-175. 23. Брюно А.Д. ОТ Диофантовых приближений до диофантовых уравнений // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2016. № 1. С. 1-20. 24. Вольфсон В.Л. Оценка количества натуральных решений однородных алгебраических диофантовых уравнений диагонального вида с целыми коэффициентами // Прикладная физика и математика. 2016. № 2. С. 15-26. 25. Дружинин В.В. Решение нелинейных диофантовых уравнений с помощью обобщенной теоремы ферма-Эйлера // Научно-технический вестник Поволжья. 2016. № 1. С. 13-14. 26. Зинченко Н.А. О числе решений диофантова уравнения с полупростыми числами из коротких промежутков // В сборнике: Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения Материалы XII Международной конференции,посвященной восьмидесятилетию профессора Виктора Николаевича Латышева. Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н.Толстого. 2014. С. 229-230.
Отрывок из работы

Великий древнегреческий математик Диофант жил и работал в Александрии. Время его жизни в точности неизвестно; большинство историков относит его к III или IV веку нашей эры. То немногое, что знаем о его жизни, известно только благодаря одной арифметической задаче, составленной в поэтической форме вскоре после Диофанта. Решая эту задачу, получаем ответ, содержащий, в частности, то, что Диофант умер 84 лет от роду. Диофант написал «Арифметику», состоящую из 13 книг, «Поризмы», «Полигональные числа». Большая часть его сочинений не сохранилась. Из 13 книг его «Арифметики» до нас дошло только 7 книг. Большая часть известных нам книг «Арифметики» посвящена решению неопределённых уравнений и систем неопределённых уравнений 2-й степени. Решая весьма разнообразные неопределённые уравнения и системы неопределённых уравнений, Диофант проявил большое мастерство и изобретательность. Он рассматривает рациональные, но, конечно, как во всей древнегреческой математике, только положительные значения неизвестных. В отличие от Эвклида и большинства других древнегреческих математиков Диофант не излагает строго логических доказательств, обосновывающих применяемые им приёмы. В данной работе был проведён обзор как методов Диофанта, так и обзор современных методов решения неопределенных уравнений первого и второго порядка. А также рассмотрены некоторые частные виды диофантовых уравнений, а именно уравнение Пелля и уравнение Каталана. Проведя анализ периодической и учебно – методической литературы, мы пришли к выводу, что в настоящее время существуют различные способы решения диофантовых уравнений, алгоритмы которых несложно запомнить. При решении диофантовых уравнений первой степени чаще всего используют следующиее методы и способы: - осуществление перебора вариантов; - применение метода остатков; - применение способа рассеивания (измельчения). Для решения диофантовых уравнений высших степеней существуют другие методы, а именно: применение метода разложения на множители, метод оценки, решение уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных. «Арифметика» Диофанта оказала определяющее влияние на формирование науки нового времени: при создании буквенной алгебры в математике Средневекового Востока и Европы, при становлении теории чисел и учения о неопределённых уравнениях в XVII – XVIII веках. Методы Диофанта явились основой для определения сложения точек эллиптических кривых и построения их арифметики.
Не смогли найти подходящую работу?
Вы можете заказать учебную работу от 100 рублей у наших авторов.
Оформите заказ и авторы начнут откликаться уже через 5 мин!
Похожие работы
Курсовая работа, Высшая математика, 43 страницы
450 руб.
Курсовая работа, Высшая математика, 16 страниц
500 руб.
Курсовая работа, Высшая математика, 29 страниц
450 руб.
Курсовая работа, Высшая математика, 29 страниц
348 руб.
Служба поддержки сервиса
+7(499)346-70-08
Принимаем к оплате
Способы оплаты
© «Препод24»

Все права защищены

Разработка движка сайта

/slider/1.jpg /slider/2.jpg /slider/3.jpg /slider/4.jpg /slider/5.jpg