ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Теоретические сведения
Ряд Тейлора
Для составления схемы, которая рассчитывает данную условием курсовой работы функцию необходимо использовать ряд Тейлора, чтобы разложить функцию в бесконечную сумму степенных функций. Поэтому рассмотрим, что такое ряд Тейлора.
Пусть функция f (x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a, тогда ряд:
f(x)= f(a)+?_(k=1)^?-?(f^((k) ) (a))/k! ?(x-a)?^k ?
называется рядом Тейлора функции f в точке a.
В случае, если a=0, такой ряд называют рядом Маклорена.
Формат представления чисел в схеме
В моделируемой схеме мы используем, как и компьютер, числа в двоичной системе счисления. Поэтому для корректного функционирования блоков электрической схемы необходимо самим иметь понимание, каким образом компьютер работает с числами, производя вычисления над ними.
Для работы с числами используется два основных формата: целочисленный и с плавающей точкой. Начнем по порядку.
Целочисленный формат используется для представления в компьютере целых положительных или отрицательных чисел. В форме с фиксированной запятой числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой или точки, отделяющей целую часть от дробной.
Данное представление имеет ограниченный диапазон. Если в результате какой-либо арифметической операции получается число, выходящее за этот допустимый диапазон, то происходит переполнение разрядной сетки, и все дальнейшие вычисления теряют смысл. Так числа могут записываться при помощи 1, 2 или 4 байтов.
Однобайтовое представление применяется только для положительных целых чисел. В этом формате отсутствует знаковый разряд. Наибольшее двоичное число, которое может быть записано при помощи 1 байта, равно 11111111, что в десятичной системе счисления соответствует числу 25510.
Для положительных и отрицательных целых чисел обычно используется 2 и 4 байта, при этом старший бит выделяется под знак числа: 0 – соответствует положительному знаку, 1 - минусу.
Самое большое по модулю целое число со знаком, которое может поместиться в 2-байтовом формате, это число 0111111111111111, то есть при помощи подобного кодирования можно представить числа от ?32 76810 до 32 76710. Если число вышло за указанные границы, произойдет переполнение. Поэтому при работе с большими целыми числами под них выделяется больше места, например 4 байта более.
Формат с плавающей точкой используется для представления в компьютере действительных чисел . Числа с плавающей точкой размещаются, как правило, в 4 или 8 байтах. Нормализованная форма представления чисел обеспечивает огромный диапазон их записи и является основной в современных ЭВМ.
Для представления целого положительного числа в компьютере используется следующий алгоритм:
число переводится в двоичную систему;
результат дополняется нулями слева в пределах выбранного формата;
последний разряд слева является знаковым, в положительном числе он равен 0.
Например, положительное число +13510 в зависимости от формата представления в компьютере будет иметь следующий вид:
для формата в виде 1 байта - 10000111 (отсутствует знаковый разряд);
для формата в виде 2 байтов - 0000000010000111;
для формата в виде 4 байтов - 00000000000000000000000010000111.
Теперь рассмотрим представление целых отрицательных чисел, для этого в компьютере используется дополнительный код, что позволяет заменить операцию вычитания числа операцией сложения с дополнительным кодом этого числа. Знаковый разряд целых отрицательных чисел всегда равен 1.
В общем виде представление отрицательных чисел происходит по следующему алгоритму:
число без знака переводится в двоичную систему;
результат дополняется нулями слева в пределах выбранного формата;
полученное число переводится в обратный код (нули заменяются единицами, а единицы - нулями);
к полученному коду прибавляется 1.
Чтобы получить обратный код нужно во всех разрядах, кроме знакового, инвертировать значение (т.е. нули заменить единицами и наоборот). Для положительного двоичного числа обратный код совпадает с его прямым.
Дополнительный код, так же как и обратный, для положительного числа совпадает с его прямым кодом, а для отрицательного образуется путем прибавления 1 к обратному коду. Рассмотрим эти преобразования на конкретных примерах. Представим число 13510 в двоичной системе счисления в 2-байтовом формате:
Переводим целое десятичное число без знака в двоичный код.
13510= 100001112
Дополняем результат нулями слева в соответствии с допустимым диапазоном выбранного формата.
0000000010000111
Переводим в обратный код.
0000000010000111=1111111101111000
Преобразование в дополнительный код.
1111111101111000=1111111101111001
Разберем работу компьютера с вещественными числами. Вещественное число может быть представлено в экспоненциальном виде, например:
1600000010=0,16?108
?0,000015610=?0,156?10?4
В этом формате вещественное число (R) представляется в виде произведения мантиссы (m) и основания системы счисления (P) в целой степени (n), называемой порядком. В общем виде это выглядит следующим образом: R=m?Pn.
Порядок n указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместиться в мантиссе точка, отделяющая дробную часть от целой. Мантисса, как правило, нормализуется, то есть представляется в виде правильной дроби 0 < m < 1.
Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным. При представлении в компьютере действительного числа с плавающей точкой тоже используется нормализованная мантисса и целый порядок.
Для размещения вещественного числа обычно используется 2 или 4 байта. В 2-байтовом формате представления вещественного числа первый байт и три разряда второго байта выделяются для размещения мантиссы, в остальных разрядах второго байта размещаются порядок числа, знаки числа и порядка (Рис.1.).
