МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

Прикладная нелинейная динамика проходит бурное развитие. Возникает необходимость её внедрения в учебный процесс. Методический подход может быть основан на изучении простых прикладных задач, теоретических положений, методов и алгоритмов численного решения. Необходима преемственность ранее пройденному материалу. В программу обычно включаются разделы по математическому моделированию нелинейных процессов; динамическая система дифференциальных уравнений; устойчивость решений динамических систем; катастрофы, бифуркации динамических систем; хаос и синергетика. «Хаос и турбулентность долгое время ассоциировались с системами, имеющими огромное число степеней свободы. Развитая турбулентность считалась лишённой какого-либо порядка. Лишь с конца 60-х годов про-шлого столетия наметился прогресс в понимании структуры хаоса и природы турбулентности. Во-первых, была установлена возможность хаотического поведения нелинейных динамических систем с малым числом степеней свободы. Особенно активно исследования хаотического поведения таких систем началось после работы Лоренца [Lorenz, 1963]. В частности, в статье Д. Рюэля и Ф. Таккенса [Ruelle and Takens, 1971] впервые было сформулировано понятие странного аттрактора и указана его роль в формировании нерегулярного поведения системы. Во-вторых, было понято, что даже в самом развитом турбулентном потоке существуют элементы порядка, а число реально возбуждённых сте-пеней свободы значительно меньше ожидаемого. В 70-80-х годах появляются работы, посвящённые когерентным структурам в турбулентных потоках, и делаются попытки описания турбулентности на языке фракталов. Обычно рассматривают маломерные динамические системы, описыва-ющие хаотическое поведение во времени небольшого числа заданных в пространстве мод. Реальным прообразом таких динамических систем могут служить течения при малых надкритичностях (вблизи порога неустойчиво-сти). Напомним, что истинная развитая турбулентность хаотична не только во времени, но и в пространстве. Однако, теория маломерных ди-намических систем чрезвычайно полезна для понимания путей развития турбулентности (сценариев перехода к хаосу) и для отработки методов описания хаотических систем. Важно отметить, что нелинейность является необходимым, но не до-статочным условием возникновения хаотического поведения. Возникнове-ние хаоса связано с особым свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить решения в ограниченной области фазового пространства, а не с наличием источников шума или бесконечного числа степеней свободы. Нерегулярное поведение нелинейных систем, эволюция которых однозначно описывается динамическими уравнениями при заданных начальных условиях, называют детерминированным хаосом.» [11, c. 52-53]. Целью работы является структурирование известных теоретических результатов, подбор характерных примеров и разработка методического пособия по решению задач с помощью доступной компьютерной системы. Результаты методических подходов представлены в соответствующих разделах работы и приложении.