1. Расчет активного RC фильтра второго порядка на операционном усилителе с резистивной положительной обратной связью
1. Рассматриваем заданную схему ARC-цепи в соответствии с заданным вариантом: схема под номером 2.
Рисунок 1.1. Расчетная схема ARC-цепи
Параметры ARC-цепи, произведем расчеты для М=1:
R=10•M=10•1=10 кОм;
C=10/M=10/1=10 нФ;
K = 2,54
2. Для того чтобы найти операторную передаточную функцию составим схему замещения цепи (рис. 1.2). Для этого надо заменить усилитель источником напряжения, управляемым напряжением (ИНУН).
Рисунок 1.2. Схема замещения ARC-цепи
Записываем узловые уравнения для узлов 3 и 4.
(1/R+1/R+p•C)•U_3 (p)-1/R•U_1 (p)-p•C•U_2 (p)-1/R•U_4 (p)=0 (1)
(p•C+1/R)•U_4 (p)-1/R•U_3 (p)=0 (2)
U_2 (p)=K•U_4 (p)
U_4 (p)=(U_2 (p))/K
Из уравнения (2) выражаем U_3 (p) через U_2 (p):
(R•C•p+1)/R•U_4 (p)-1/R•U_3 (p)=0
U_3 (p)=U_4 (p)•(R•C•p+1)=(U_2 (p))/K•(R•C•p+1)
Подставляя в уравнение (1), получаем:
(2+R•C•p)/R•(R•C•p+1)/K•U_2 (p)-1/R•U_1 (p)-p•C•U_2 (p)-1/(K•R)•U_2 (p)=0
U_2 (p)•(((R•C•p)^2+3•R•C•p+2)/(K•R)-p•C-1/(K•R))=1/R•U_1 (p)
U_2 (p)•(((R•C•p)^2+(3-K)•R•C•p+1)/(K•R))=1/R•U_1 (p)
U_2 (p)•(((R•C•p)^2+(3-K)•R•C•p+1)/K)=U_1 (p)
Тогда отношение U_2 (p)/U_1 (p) примет вид:
(U_2 (p))/(U_1 (p) )=K/((R•C•p)^2+(3-K)•R•C•p+1)
Операторная передаточная функция:
(U_2 (p))/(U_1 (p) )=K/((R•C•p)^2+(3-K)•R•C•p+1)
H(p)=K/((R•C•p)^2+(3-K)•R•C•p+1)=(K/?(R•C)?^2 )/(p^2+((3-K))/(R•C)•p+1/?(R•C)?^2 )
После подстановки значений параметров цепи, получаем:
H(p)=(K/?(R•C)?^2 )/(p^2+((3-K))/(R•C)•p+1/?(R•C)?^2 )=(2,54/?(10•?10?^3•10•?10?^(-9))?^2 )/(p^2+((3-2,54))/(10•?10?^3•10•?10?^(-9) )•p+1/?(10•?10?^3•10•?10?^(-9))?^2 )= (2,54•?10?^8)/(p^2+4,6•?10?^3•p+1•?10?^8 )
3. Находим комплексную передаточную функцию, заменяя в H(p) переменную p=j?:
H(j•?)=(2,54•?10?^8)/(?(j•?)?^2+4,6•?10?^3•(j•?)+1•?10?^8 )=(2,54•?10?^8)/((1•?10?^8-?^2 )+j•4,6•?10?^3•?)
Необходимо рассчитать АЧХ. Исходная формула будет выглядеть следующим образом:
|H(j?)|=v(?Re?^2 (H)+?Im?^2 (H) )
В общем виде для комплексных чисел: ?/(?+j?)=(?(?-j?))/(?^2+?^2 )=??/(?^2+?^2 )-j??/(?^2+?^2 )
Тогда выражение для амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) в общем виде равно:
|H(j?)|=v((?^2 ?^2)/(??(??^2+?^2)?^2 )+(?^2 ?^2)/??(??^2+?^2)?^2 )=v((?^2 ?^2+?^2 ?^2)/(??(??^2+?^2)?^2 ))=|?| v((?^2+?^2)/(??(??^2+?^2)?^2 ))=|?| v(1/(?^2+?^2 ))=|?|/v(?^2+?^2 )
Выражение для АЧХ принимает вид:
|H(j•?)|=(2,54•?10?^8)/v(??(1•?10?^8-?^2)?^2+(4,6•?10?^3•?)?^2 ),
Где ?=2,542,54•?10?^8, ?=1•?10?^8-?^2, ?=4,6•?10?^3•?
Выражение для ФЧХ в соответствии с формулой ?(?)=argH(j?) будет равно [1]:
tg(?)=(Im(H))/(Re(H))
?=arctg((Im(H))/(Re(H)))
(-??)/(?^2+?^2 ) ???/(?^2+?^2 )=(-?)/?
?=arctg(-?/? )=-arctg(?/? )
Подставим значения:
?(?)=-arctg((4,6•?10?^3•?)/(1•?10?^8-?^2 ))
Вид графиков АЧХ и ФЧХ для ARC-цепи представлен на рис.1.3. и 1.4.
Рисунок 1.3. График амплитудно-частотной характеристики (АЧХ).
Рисунок 1.4. График фазо-частотной характеристики (ФЧХ).
Моделируем работу заданного ARC-фильтра в программе FASTMEAN.
Рисунок 1.5. Моделирование ARC-цепи в программе FASTMEAN.
Рисунок 1.6. АЧХ и ФЧХ ARC-цепи в программе FASTMEAN.
По графику АЧХ определяем значение квазирезонансной частоты
fкрез=1,5 кГц.
Значения АЧХ и ФЧХ на квазирезонансной частоте:
АЧХ(fкрез)=5,67; ФЧХ(fкрез)= -76°.
Определены граничные значения амплитудно-частотной характеристики: |H(0)|=2,54; |H(? )|=0.
4. Переходную характеристику h(t) цепи находим из соответствия:
h(t)?(H(p))/p
H(p)/p=(2,54•?10?^8)/(?p•(p?^2+4,6•?10?^3•p+1•?10?^8 ))
Оригинал для получившейся дробно-рациональной функции можно найти пользуясь таблицей соответствия.
?_1=v(?10?^8-(4,6•?10?^3 )^2/4)=v(?10?^6•(100-5,29))=?10?^3•v94,71=9,732•?10?^3
Теперь можно получить уравнение для h(t), зная, что A=2,54•?10?^8, ?=?10?^8, ?=4,6•?10?^3,?_1=9,732•?10?^3:
h(t)=((2,54•?10?^8 ))/?10?^8 -((2,54•?10?^8 ))/?10?^8 •e^(-(4,6•?10?^3)/2•t)•(cos?(9732t)+4600/(2•9732)•sin?(9732t) )=2,54-2,54•e^(-2300t)•(cos?(9732t)+0,2363•sin?(9732t))
Найдём граничные значения переходной характеристики
t=0,h(0)=2,54-2,54•e^0•(cos0+0,2363•sin0)=2,54-2,54•1•(1+0)=2,54-2,54=0
t=?,h(?)=2,54-2,54•1/e^? •(cos?+0,2363•sin?)=2,54-2,54•0•(cos?+0,2363•sin?)=2,54-0=0,
т.к. 1/e^? ?0
Очевидно, что связь между временными и частотными характеристиками ARC-цепи выполняется, так как равны соотношения для их граничных значений: h(0)=H(?)=0; h(?)= H(0)=2,54.
Рисунок 1.7. График переходной характеристики.
Рисунок 1.8. Моделирование ARC-цепи в программе FASTMEAN.
Рисунок 1.9. Переходная характеристика ARC-цепи
На рис. 1.9. представлен график h(t), рассчитанный с помощью программы FASTMEAN.
По графику определяем: амплитудное значение переходной характеристики h_max=h(0,105 мс)=1,3509; период свободных колебаний T=0,65 мс.
Частота свободных колебаний:
f_св=1/T=1/(0,65•?10?^(-3) )=1549 Гц
?_св=2•?•f_св=2•?•1549=9732 рад/с
Декремент затухания свободных колебаний:
?=e^(?•T)=e^(2300•0,65•?10?^(-3) )=4,46
5. Найдём спектральные характеристики сигналов на входе и выходе ARC-цепи при подаче на вход прямоугольного видеоимпульса напряжения (рис. 1.1, а).
Длительность импульса равна:
t_и=(3,6•T_св)/N=(3,6•0,65)/1=2,34 мс
Спектральная плотность амплитуд входного напряжения вычисляется по формуле
|U"1" (j?)|=2U (|sin (?t_и)/2|)/?=Ut_и (|sin (?t_и)/2|)/((?t_и)/2)
Нормированная спектральная плотность амплитуд напряжения на выходе цепи равна:
|U"2" (j?)|/(Ut_и )=|U"1" (j?)|/(Ut_и )•|H(j?)|=(|sin (?t_и)/2|)/((?t_и)/2)•|H(j?)|,
где выражение для АЧХ ARC-цепи имеет вид
|H(j•?)|=(2,54•?10?^8)/v(??(1•?10?^8-?^2)?^2+(4,6•?10?^3•?)?^2 )
Расчёт выполним в пределах
0???4•?_0,где ?_0=(2•?)/t_и =(2•?)/(2,34•?10?^(-3) )=2,685•?10?^3 1/c с шагом 0,2•?_0
Частота f_0=?_0/(2•?)=(2,685•?10?^3)/(2•?)=427 Гц (0?f?4•f_0)
Расчет производим в программе Microsoft Excel. Построение характеристик производим в программе FASTMEAN.
? x=?•?10?^(-3),1/c |U"1" (j?)|/(Ut_и ) |H(j•?)| |U"2" (j?)|/(Ut_и )
0 0 1 2,54 2,54
537 0,537 0,935 2,547 2,382
1074 1,074 0,757 2,566 1,942
1611 1,611 0,505 2,600 1,312
2148 2,148 0,234 2,649 0,619
2685 2,685 0,000 2,713 0
3222 3,222 0,156 2,796 0,436
3759 3,759 0,216 2,900 0,627
4296 4,296 0,189 3,027 0,573
4833 4,833 0,104 3,183 0,331
5370 5,370 0 3,372 0
5907 5,907 0,085 3,600 0,306
6444 6,444 0,126 3,875 0,489
6981 6,981 0,116 4,199 0,489
7518 7,518 0,067 4,572 0,306
8055 8,055 0 4,976 0
8592 8,592 0,058 5,358 0,313
9129 9,129 0,089 5,622 0,501
9666 9,666 0,084 5,651 0,475
10203 10,203 0,049 5,391 0,265
10740 10,740 0 4,909 0
На рис. 1.10. показаны графики АЧХ и нормированных спектральных плотностей амплитуд на входе и выходе цепи.
Красным цветом нарисован график АЧХ |H(j•?)|, зеленый график соответствует нормированной спектральной плотности амплитуд напряжения на выходе цепи |U"2" (j?)|/(Ut_и ) и синий график, соответственно, - график нормированной спектральной плотности амплитуд на входе цепи |U"1" (j?)|/(Ut_и ).
Из графиков видно, что данная ARC-цепь сильно искажает спектр входного сигнала, следовательно, выходной сигнал резко изменяет свою форму.
Рисунок 1.10. графики АЧХ и нормированных спектральных плотностей амплитуд на входе и выходе цепи.
Рисунок 1.11. график АЧХ, созданный в Microsoft Excel в интервале
0???4?_0
6. Найдём реакцию цепи при подаче на её вход последовательности прямоугольных видеоимпульсов напряжения. Период следования импульсов равен
T=0,1•(M+N)•?=0,1•(1+1)•?=0,2•? мс
Скважность Q=T/t_и =3.
При таком значении скважности в ряду Фурье для воздействия будут отсутствовать третья и шестая гармоники.
Частота первой гармоники равна
?_1=(2•?)/T=(2•?)/(0,2•?)=?10?^4 1/c
Тогда напряжение на входе цепи запишется с учётом данных в следующем виде:
U_1 (t)=U_0/2+?_(k=1)^6-?U_k1•cos?(k?•??_1•t+?_k1)?
U_1 (t)=0,167+0,551•cos?(?10?^4 t-60"°)"+0,276•cos?(20•?10?^3-120"°)"+0,138•cos?(40•?10?^3-60"°" )+0,11•cos?(50•?10?^3-60"°"), В
Реакция цепи U2(t) на периодическое воздействие U1(t) есть сумма реакций на гармонические составляющие этого воздействия:
U_2 (t)=U_0/2•H(0)+?_(k=1)^6-?U_k2 ?•cos??(k•?_1•t+?_k2 ) ?,
U_k2=U_k1•|H(j?•k•??_1 )|
?_k2= ?_k1+?(k•?_1)
Выражения для АЧХ и ФЧХ получены ранее:
|H(j•?)|=(2,54•?10?^8)/v(??(1•?10?^8-?^2)?^2+(4,6•?10?^3•?)?^2 )
?(?)=-arctg((4,6•?10?^8)/(1•?10?^8-?^2 ))
Вычислим значения АЧХ и ФЧХ на частотах гармоник входного напряжения.
При ?=0: |H(j?)|=2,54;
При ?=?_1=1??10?^4,1/с:
|H(j•?)|=(2,54•?10?^8)/v(??(1•?10?^8-?(10?^4 )^2)?^2+(4,6•?10?^3•?10?^4)?^2 )=5,522
?(?)=-arctg((4,6•?10?^3•?10?^4)/(1•?10?^8-?10?^4 ))=-90"°"
При ?=?_2=2??10?^4,1/с:
|H(j•?)|=(2,54•?10?^8)/v(??(1•?10?^8-?(2•10?^4 )^2)?^2+(4,6•?10?^3•?2•10?^4)?^2 )=0,809
?(?)=-arctg((4,6•?10?^3•2•?10?^4)/(1•?10?^8-(2•?10?^4 )^2 ))=-arctg((0,92•?10?^8)/(-3•?10?^8 ))=-(180°-arctg((0,92•?10?^8)/(-3•?10?^8 )))=-(180°-17,05°)=-162,95"°"
При ?=?_4=4??10?^4,1/с:
|H(j•?)|=(2,54•?10?^8)/v(??(1•?10?^8-?(4•10?^4 )^2)?^2+(4,6•?10?^3•?4•10?^4)?^2 )=0,168
?(?)=-arctg((4,6•?10?^3•4•?10?^4)/(1•?10?^8-(4•?10?^4 )^2 ))=-173,01"°"
При ?=?_5=5??10?^4,1/с:
|H(j•?)|=(2,54•?10?^8)/v(??(1•?10?^8-?(5•10?^4 )^2)?^2+(4,6•?10?^3•?5•10?^4)?^2 )=0,105
?(?)=-arctg((4,6•?10?^3•5•?10?^4)/(1•?10?^8-(5•?10?^4 )^2 ))=-174,53"°"
На выходе ARC-цепи амплитуда k-й гармоники изменяется в |H(k•j•?_1)| раз, а начальная фаза – на величину ?(k?_1). Тогда напряжение на выходе ARC-цепи равно:
U_2 (t)=0,167•2,54+5,552•0,551•cos?(10•?10?^3 t-60°-90°)+0,809•0,276 ?•cos??(20•?10?^3 t-120°-162,95°) ?+ 0,168•0,138•cos???(40•?10?^3 t-60°-173,01°) ?+ 0,105•0,110•cos???(50•?10?^3 t-120°-174,53°),? ? В.
Тогда U_2 (t) равно (отрицательные углы переводим в положительные):
U_2 (t)=0,424+3,042•cos?(?10?^4 t+210°)+0,223 ?•cos??(2•?10?^4 t+77,05°) ?+ 0,023•cos???(4•?10?^4 t+126,99°) ?+ 0,012•cos???(5•?10?^4 t+65,47°),? ? В.
а)
б)
Рисунок 1.12. а) график спектров амплитуд и фаз входного напряжения
б)график спектров амплитуд и фаз выходного сигнала
?
2. Расчет фильтра верхних частот (ФВЧ) с характеристикой Баттерворта.
Необходимо рассчитать фильтр верхних частот с характеристикой Баттерворта.
