Основанная часть
Теория игр — это теория математических моделей принятия решений в условиях неопределенности, когда принимающий решение субъект («игрок») располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности находится, о множестве решений («стратегий»), которые он может принять, и о количественной мере того «выигрыша», который он мог бы получить, выбрав в дан ной ситуации данную стратегию.
Содержание теории игр: установление принципов оптимального поведения в условиях неопределенности, доказательство существования решений, удовлетворяющих этим принципам, указание алгоритмов нахождения решений, их реализация.
В настоящее время теоретико-игровые модели используются в различных областях экономики и других наук, в частности:
? для выбора эффективных стратегий в бизнесе и оптимального поведения фирмы,
? для рационального управления финансами, в теории инвестирования.
Кроме того, теория игр используется:
? в оценке эффективности проектов,
? в страховании,
? в управлении городским транспортом,
? в области рынка жилья,
? в теории инноваций,
? в анализе и управлении эколого-экономическими системами,
? и др [7].
Неопределенность, с которой мы встречаемся в теории игр, может иметь различное происхождение и содержание.
1. Неопределенность является следствием сознательной деятельности другого лица (лиц), отстаивающего свои интересы. На принимаемые игроками решения может существенно повлиять доступная им информация о намерениях других игроков (какие они выберут стратегии, одновременно или в какой-то последовательности делают ходы), их возможностях (могут ли они договариваться, действовать сообща против других игроков).
2. Неопределенность вследствие появления случайности в игровой ситуации: сознательные действия игроков (субъектов игровой ситуации), осуществляющих выбор своих стратегий на основе рандомизации множества допустимых альтернатив (частотного или вероятностного распределения исходных или чистых стратегий). Моделирование механизма такого выбора (симуляции случайного процесса) выполняется в форме как физического эксперимента (например, бросание монеты, игрального кубика, использование рулетки и др.) или компьютерным способом (на основе получения псевдослучайных чисел).
Такой способ позволяет расширить множество стратегий, которые игрок может выбрать (по сравнению с множеством исходных стратегий), и имеет смысл при многократном повторении игровой ситуации. Тогда результат игры для игрока определяется как средний выигрыш (за одну игру), вычисляемый по формуле математического ожидания выигрыша, рассматриваемого как случайная величина.
3. Случайность в игровой ситуации как следствие действия так называемой «природы», характеризуемой обстоятельствами, не зависящими от субъектов игровой ситуации. К таким обстоятельствам можно отнести условия внешней среды (в которых принимаются решения): состояние погоды, рыночная конъюнктура, выход из строя техники и др. Для таких игровых ситуаций в качестве противной стороны (как игрока 2) выступает «природа». При этом понимается, что поведение «природы» субъекту игровой ситуации (игроку 1) неизвестно, однако она ему сознательно не противодействует. На основании какой-то, например, статистической информации, можно сделать n предположений о возможных условиях обстановки (состояний «при роды»), которые трактуются как бы стратегиями «природы» — игрока 2. Необходимо найти такую оптимальную стратегию, которая по сравнению с другими является наиболее выгодной. Выбор наилучшего решения в условиях неопределенной обстановки существенно зависит от того, какова степень этой неопределенности (вероятности обстановок), какой используется критерий оценки результата действий игрока 1 [2].
Подобные модели изучает такой раздел математики как «Теория игр с природой» («Теория принятия решений»). Она служит для выработки рекомендаций по рациональному образу действий в условиях риска и неопределенности, вызванной не зависящими от нас причинами.
Игру с природой можно определить как парную игру, в которой сознательный игрок А, заинтересованный в наиболее выгодном для него исходе игры, выступает против участника, совершенно безразличного к результату природа П.
Очевидно, что при решении игр с природой достаточно найти наилучшие рекомендации только для игрока А, потому как природа в рекомендациях не нуждается, развиваясь в соответствии с определенными законами независимо от того, удобно это человеку или нет.
Пусть игрок А располагает m возможными стратегиями, которые обозначим A1, A2,…, Am, тогда как природа П может принимать одно из n своих состояний П1, П2,…, Пn..
Предполагается обычно, что игрок А в состоянии оценить результаты выбора им каждой из своих стратегий Аi , i=1,…,m, при каждом состоянии природы Пj , j=1,…,n, количественно выражающиеся действительными числами сij. Эти числа называются выигрышами игрока А. В таком случае игра может быть задана матрицей Р = [аij] m?n, называемой платежной матрицей (или матрицей игры) (рис.1).
Рисунок 1– Платёжная матрица (матрица игры)
Если в платежной матрице элементы k-ой строки не меньше соответствующих элементов s-ой строки, т.е. , то доминируемую (дублируемую) строку s можно удалить, т.к. она определяет стратегию A , s заведомо не лучшую стратегии A . Это позволяет значительно упростить платежную матрицу игры. Отбрасывать же те или иные состояния природы нельзя, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо от того, выгодно оно игроку А или нет.
После упрощения платежной матрицы иногда выгодно перейти от нее к матрице рисков, которая позволит более четко выявить преимущество одной стратегии по сравнению с другой при данном состоянии природы.
Риском rij игрока А, когда он пользуется чистой стратегией Ai при состоянии Пj природы, называется разность между максимальным выигрышем max ij , a который он мог бы получить, достоверно зная, что природой будет реализовано именно состояние Пj , и тем выигрышем aij, который он получит, используя стратегию Ai , не зная, какое из состояний Пj природа реализует.
Таким образом, элементы rij матрицы рисков определяются по формуле:
rij = ?j ? aij ? 0 (1)
где ?j – максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии Пj (максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы).
Учитывая специфику игр с природой, при поиске оптимальных решений обращаются к различным критериям, дающим некоторою логическую схему принятия решения [6].
Для принятия решения в условиях неопределенности используется ряд критериев, среди которых: критерий Вальда, критерий максимакса, критерий Гурвица, критерий Сэвиджа, критерий Лапласа и др. Рассмотрим подробнее каждый из них.
1. Критерий Вальда
Данный критерий опирается на принцип наибольшей осторожности основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий. Тем самым выбранные варианты полностью исключают риск, т.е. принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Данный критерий не требует знания вероятностей состояний второго игрока и достаточно только матрицы.
В платёжной матрице элемент cij представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение. Сначала игрок выбирает минимальный элемент в строке, что соответствует его гарантированному результату при применении этой стратегии:
(2)
Далее, из всех своих гарантированных результатов он выбирает наилучший:
(3)
Таким образом, наилучшей стратегией будет та, которая в наихудших условиях принесет максимальный результат. Этот критерий применяется для развивающейся экономики на ранней стадии или в условиях кризисной ситуации [4].
2. Критерий максимакса (критерий крайнего оптимизма)
Данный критерий основывается на предположении «все или ничего». В платежной матрице элемент cij представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение.
Сначала игрок выбирает максимальный элемент в строке:
(4)
Далее, из всех своих выбранных результатов он выбирает наилучший:
(5)
3. Критерий Гурвица (критерий пессимизма-оптимизма)
Данный критерий основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью k и в самом выгодном состоянии с вероятностью (1-k), где k– коэффициент пессимизма.
Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1-k) и k, где 0 ?k? 1.
Если в исходной задаче матрица возможных результатов Cij представляет выигрыш, прибыль, полезность, доход и т. п., то критерий Гурвица записывается как:
(6)
Если k = 1, получим критерий Вальда, а если k = 0, то приходим к критерию максимакса.
В зависимости от значения коэффициента пессимизма критерий Гурвица применяется при различном состоянии экономики [5].
4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа
При применении этого критерия рассматривается матрица рисков R = rij. Матрица рисков является преобразованной определенным образом платежной матрицей. Элементы матрицы рисков rji связаны с элементами матрицы полезности (выигрышей) следующим соотношением:
(7)
(в каждом столбце выбирается максимальный элемент, а затем из него вычитается соответствующий элемент столбца). Таким образом, получается матрица рисков.
Далее в каждой строке выбирается максимальный элемент:
(8)
Это гарантированный результат, при применении игроком той или иной стратегии, максимум, что игрок может потерять. Среди всех гарантированных результатов игрок будет выбирать ту стратегию, которая принесет ему минимальный проигрыш:
(9)
Оптимальной является а стратегия, которая принесет максимально возможный выигрыш при минимальном риске. Выбранная по данному критерию оптимальная стратегия совпадет с выбранной стратегией по критерию Вальда [1, с.58].
5. Критерий Лапласа
Данный критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» Si, i ? 1, n полагаются равновероятными qi = 1/n.
Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена матрицей выигрышей С, то для выбора оптимальной стратегии Rj выбирают максимальное значение среди предварительно вычисленных по строкам матрицы средних арифметических значений, дающих наибольший ожидаемый выигрыш [6], т. е.:
(10)
Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена матрицей рисков R, то критерий Лапласа принимает следующий вид:
(11)
Также рассмотрим следующие критерии.
6. Критерий Гермейера
Этот критерий ориентирован на величину потерь, т. е. на отрицательные значения матрицы С. При этом:
(12)
Правило выбора согласно критерию Гермейера формулируется следующим образом: матрица решений С дополняется ещё одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния qj, а затем выбирается вариант с наибольшим значением этого столбца.
Т.к. в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие cij < 0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин cij > 0 встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования cij - t при подходящим образом подобранном t > 0. При этом оптимальный вариант решения зависит от t.
Данный критерий является объединением критериев Лапласа и минимакса. Правило выбора для этого критерия формулируется следующим образом: матрица решений С дополняется тремя столбцами. В первом из них записываются математические ожидания каждой из строк, во втором - разность между опорным значением (13)
и наименьшим значением (14) соответствующей строки. В третьем столбце помещаются разности между наибольшим значением (15) каждой строки и наибольшим значением (16) той строки, в которой находится значение V0. После этого выбираются те варианты, строки которых дают наибольшее математическое ожидание, а именно соответствующее значение (17) из второго столбца должно быть равно некоторому заранее заданному уровню риска. Значение же из третьего столбца должно быть больше значения из второго столбца [5].
7. Критерий произведений
Данный критерий имеет следующую формулу расчета:
(18)
В этом случае правило выбора формулируется так: матрица решений С дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки, из которого затем выбирается вариант с наибольшим значением.
Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все cij положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг cij + t с некоторой константой (19). Результат при этом будет, естественно, зависеть от t. На практике чаще всего (20)
8. Критерий Ходжа-Лемана
Этот критерий опирается одновременно на минимаксный критерий (критерий Вальда) и критерий Лапласа. С помощью параметра ? выражается степень доверия к используемому распределению вероятностей.
