Анализ ARC-цепи
Выбор ARC-цепи
В соответствии с моим вариантом необходимо рассмотреть ARC-цепь под номером 20, схема цепи и её параметры показаны на рисунке 1.
Рис. 1 Электрическая схема ARC-цепи
Значения элементов при M = 4:
R_0=0,1 Ом
R=10M=10?4=40 кОм
C=10/M=10/4=2,5 нФ
K=62
2. Нахождение передаточной функции
Операторная передаточная функция определяется из выражения вида:
H(p)=(U_2 (p))/(U_1 (p) )
При определении операторной передаточной функции используется схема замещения цепи. Она аналогична исходной схеме цепи, однако ОУ в ней заменён эквивалентным источником напряжения, управляемым напряжением (ИНУН). В исследуемой схеме ОУ включён по схеме инвертирующего усилителя.
Схема замещения показана на рисунке 2 (пассивные элементы цепи сохраняют свои характеристики).
Составим схему замещения цепи:
Рис. 2 Схема замещения ARC-цепи
Запишем узловые уравнения для узлов 3 и 4:
(pC+1/R) U_3 (p)-pCU_4 (p)=0;
(3pC+1/R) U_4 (p)-pCU_3 (p)-pCU_1 (p)-pCU_2 (p)=0;
С учётом коэффициента передачи ИНУН:
U_2 (p)=-KU_3 (p)
Решаем уравнения совместно:
U_4 (p)=(1+1/pRC) U_3 (p)
(3pC+1/R)(1+1/pRC) U_3 (p)-pCU_3 (p)-pCU_1 (p)-pCU_2 (p)=0;
[(3+1/pRC)(1+1/pRC)-1] U_3 (p)-U_1 (p)-U_2 (p)=0
[(3+1/pRC)(1+1/pRC)-1+K] U_2 (p)+KU_1 (p)=0
Операторная передаточная функция:
H(p)?(U_2 (p))/(U_1 (p) )=-K/((3+1/pRC)(1+1/pRC)-1+K)=
=-K/(K+2+4/pRC+1/(p^2 R^2 C^2 ))=-(K/(K+2) p^2)/(p^2+4/(K+2)RC p+1/((K+2) R^2 C^2 ))
Подставляем числовые значения:
H(p)=-(0,9688p^2)/(p^2+625p+1,563•10^6 )
Комплексная передаточная функция определяется из операторной передаточной функции заменой переменной на произведение .
Комплексная передаточная функция:
H(j?)=(0,9688?^2)/(1,563•10^6-?^2+j625?)
Из комплексной передаточной функции получим выражения для АЧХ и ФЧХ цепи.
Выражение для АЧХ:
|H(j?)|=(0,9688?^2)/v((1,563•10^6-?^2+?^2 )^2+(625?)^2 )
Выражение для ФЧХ:
?(?)=-arctg??625?/(1,563•10^6-?^2 )?
3. Расчет частотных характеристик
В программе Multisim собираем схему ARC-цепи, которая представлена на рисунке 3:
Рис. 3 Модель ARC-цепи в программе Multisim
Получаем частотные характеристики.
АЧХ цепи и ФЧХ цепи показаны на рисунке 4. Цепь АЧХ имеет вид, характерный для активного ФВЧ.
Рис. 4 АЧХ и ФЧХ ARC-цепи
Квазирезонансная частота 215,146 кГц.
Граничные значения АЧХ: |H(0)|=0; |H(?)|=0,97.
4. Построение переходной характеристики
Переходную функцию цепи можно найти преобразования Лапласа: h(t)?H(p)/p
Переходную характеристику найдем из соответствия:
h(t)?H(p)/p=-0,9688p/(p^2+625p+1,563•10^6 )
Корни полинома знаменателя:
p_1,2=-625/2±v((625/2)^2-1,563•10^6 )=
=-312,5±j1211 (1/с) ;
Применим теорему разложения:
H(p)/p=-0,9688(A_1/(p-p_1 )+?(A_1 )/(p-p_2 ));
A_1=limT(p>p_1 )??p(p-p_1 )/(p-p_1 )(p-p_2 ) ?=p_1/(p_1-p_2 )=
=(-312,5+j1211)/(-312,5+j1211-(-312,5-j1211) )=
=0,5-j0,1291
h(t)=-0,9688•2 Re?(A_1 e^(p_1 t) )=
=-0,9688•2 Re?[(0,5-j0,1291) e^(-312,5+j1211)t ]=
=-0,9688 cos?1211t-0,387 sin?1211t
Граничные значения переходной характеристики:
h(0)=-0,9688; h(?)=0
В программе Multisim собираем схему ARC-цепи:
Рис. 5 Модель ARC-цепи в программе Multisim
Получаем переходную характеристику, которая изображена на рисунке 6:
Рис. 6 Переходная характеристика ARC-цепи
С помощью линейки находим период свободных колебаний и декремент затухания:
t_1=9,615 мс; h_1=490,116 мВ;
t_2=14,791 мс; h_2=96,596 мВ;
T_св=t_2-t_1=14,791-6,915=5,175 мс;
Частота свободных колебаний:
f_св=1/T_св =1/5,175=0,1913 кГц;
?_св=2?f=2•3,142•0,1913•10^3=1,214•10^3 1/с;
Декремент затухания свободных колебаний:
?=h_1/h_2 =490,116/96,596=5,074
5. Построение спектральной характеристики при действии одиночного видеоимпульса на входе схемы
Длительность входного импульса:
t_и=(3,6T_св)/N=(3,6•5,175)/4=4,658 мс;
Спектральная плотность амплитуд входного напряжения:
|U_1 (j?)|/(Ut_и )=2/(?t_и ) |sin??(?t_и)/2? |=429,4/? |sin?(2,329•10^(-3) ?) |;
Нормированная спектральная плотность амплитуд напряжения:
|U_2 (j?)|/(Ut_и )=|U_1 (j?)|/(Ut_и ) |H(j?)|,
где выражение для АЧХ ARC-цепи имеет вид:
|H(j?)|=(0,9688?^2)/v((1,563•10^6-?^2 )^2+(625?)^2 );
Расчет выполним в пределах: 0???4?_0 с шагом 0,2 ?_0, где:
?_0=2?/t_и =(2•3,142)/(4,658•10^(-3) )=1,349•10^3 1/с.
Данные для построения графиков спектральных плотностей представлены в таблице 1:
Таблица 1
? ?•10^3 |U_1 (j?)|/(Ut_и ) |H(j?)| |U_2 (j?)|/(Ut_и )
0 0 1 0 0
0,2?_0 0,2698 0,9355 0,047 0,044
0,4?_0 0,5397 0,7568 0,2145 0,1623
0,6?_0 0,8095 0,5044 0,6109 0,3082
0,8?_0 1,079 0,2337 1,441 0,3368
?_0 1,349 0 2 0
1,2?_0 1,619 0,1561 1,734 0,2707
1,4?_0 1,889 0,2163 1,486 0,3213
1,6?_0 2,159 0,1891 1,336 0,2527
1,8?_0 2,429 0,1038 1,244 0,1291
2?_0 2,698 0 1,832 0
2,2?_0 2,968 0,0852 1,141 0,0972
2,4?_0 3,238 0,1262 1,11 0,1401
2,6?_0 3,508 0,1163 1,087 0,1265
2,8?_0 3,778 0,0666 1,069 0,0713
3?_0 4,048 0 1,056 0
3,2?_0 4,317 0,0586 1,045 0,0612
3,4?_0 4,587 0,0891 1,035 0,0922
3,6?_0 4,857 0,084 1,028 0,0863
3,8?_0 5,127 0,0491 1,022 0,0501
4?_0 5,397 0 1,016 0
Графики нормированных спектральных плотностей амплитуд на входе |U_1 (j?)|/(Ut_И ) (штриховая линия) и выходе |U_2 (j?)|/(Ut_И ) (сплошная линия) цепи, а также график АЧХ |H(j?)| цепи в интервале 0???4?_0 представлены на рисунках 7 и 8.
Рис. 7 АЧХ ARC-цепи
Рис. 8 Нормированные спектральные плотности (штриховая линия для входного сигнала, сплошная – для выходного)
6. Нахождение реакции цепи на последовательность импульсов
Последовательность импульсов задана в виде усечённого ряда Фурье:
u_1 (t)=U_0/2+?_(k=1)^n-?U_k cos?(k?_1 t+?_k ) ?
Период следования импульсов:
T=0,1•(M+N)•?=0,1•(4+4)•?=0,8? мс.
Частота основной гармоники:
?_0=2?/T=2/(0,8•10^(-3) )=2500 рад/с
Таблица разложения входного сигнала:
Скважность Q=T/t_и =6.
Разложение в ряд Фурье входного напряжения:
u_1 (t)=U_01/2+?_(k=1)^6-?U_k1 cos?(k?_1 t+?_k1 ) ?
u_1 (t)=0,167+0,318 sin?(2500t-30°)+
+0,274 sin?(5000t-60°)+0,212 sin?(7500t-90°)+
+0,138 sin?(10000t-120°)+0,063 sin?(12500t-150°) (В).
Значения АЧХ и ФЧХ для частот представлены в таблице 2:
Таблица 2
? |H(j?)| ?(?)
0 0 0
2500 1,226 18,44°
5000 1,024 7,595°
7500 0,9928 4,899°
10000 0,9822 3,633°
12500 0,9773 2,891°
Реакция цепи u_2 (t) на периодическое воздействие u_1 (t) равна сумме реакций на гармонические составляющие данного воздействия:
u_2 (t)=U_01/2•H(0)+?_(k=1)^6-?U_k2 cos?(k?_1 t+?_k2 ) ?,
U_k2=U_k1•|H(jk?_1 )|; ?_k2=?_k1+?(k?_1 ).
Отсюда реакция цепи на последовательность импульсов:
u_2 (t)=0,167•0+
+0,318•1,226 sin?(2500t-30°+18,44°)+
+0,274•1,024 sin?(5000t-60°+7,595°)+
+0,212•0,9928 sin?(7500t-90°+4,899°)+
+0,138•0,9822 sin?(10000t-120°+3,633°)+
+0,063•0,9773 sin?(12500t-150°+2,891°)=
=0,3899 sin?(2500t-11,56°)+0,2806 sin?(5000t-52,41°)+
+0,2105 sin?(7500t-85,1°)+0,1355 sin?(10000t-116,4°)+
+0,0616 sin?(12500t-147,1°).
Значения спектров для выходного сигнала представлены в таблице 3:
Таблица 3
? |U_2 (j?)| ?_2 (?)
0 0 0
2500 0,3899 –11,56°
5000 0,2806 –52,41°
7500 0,2105 –85,1°
10000 0,1355 –116,4°
12500 0,0616 –147,1°
Спектр амплитуд и фаз входного сигнала показаны на рисунке 9.
Рис. 9 Амплитудные и фазные спектры входного сигнала
Спектры амплитуд и фаз выходного сигнала показаны на рисунке 10.
Рис. 10 Амплитудные и фазные спектры выходного сигнала
?
Расчет LC-фильтра
1. Определение типа фильтра и исходных данных
Вариант Д, N=4, M=4 код 22
Тип фильтра – фильтр верхних частот (ФВЧ).
Вид характеристики – характеристика Чебышева.
f_0=5M=5?4=20 кГц – граничная частота полосы пропускания.
f_К=3,4M=3,4?4=13,6 кГц – граничная частота полосы задерживания.
a_0=32,5 дБ – минимально допустимое рабочее ослабление в полосе задерживания.
?a=1,25 дБ– неравномерность характеристики ослабления в полосе пропускания.
R_1=100N=100?4=400 Ом – внутренне сопротивление источника сигнала.
Требования к форме характеристики ослабления представлены на рисунке 11 в графическом виде.
