Войти в мой кабинет
Регистрация
ГОТОВЫЕ РАБОТЫ / КУРСОВАЯ РАБОТА, ПЕДАГОГИКА

Построение таблицы кэли группы, заданной образующими и определяющими соотношениями

irina_k200 384 руб. КУПИТЬ ЭТУ РАБОТУ
Страниц: 32 Заказ написания работы может стоить дешевле
Оригинальность: неизвестно После покупки вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100% с помощью сервиса
Размещено: 25.09.2020
Объектом исследования в работе являются группы различных видов, а соответственно, предметом исследования являются образующие элементы группы. Так как образующий элемент — это одно из основных понятий группы, следовательно, предмет исследования является частью объекта исследования. Целью курсовой работы является рассмотрение и описание образующих элементов в теории групп, описание некоторых конечных групп с помощью их таблиц Кэли А для достижения поставленной в курсовой работе цели нами решались следующие задачи: — рассмотрение основных определений группы: алгебраической операции, понятие группы, циклической группы — определение сущности понятия образующих элементов — рассмотрение систем образующих элементов на примерах
Введение

Изучение алгебраических уравнений в начале ХIХ века привело математиков к надобности выделения особого математического понятия — понятия группы. Новое понятие оказалось так плодотворным, что не только проникло почти во все сегменты современной математики, но и стало играть весомую роль в некоторых разделах других наук, к примеру, в квантовой механике и в кристаллографии. Исследования, связанные с понятием группы, выросли в отдельную ветвь современной математики — теорию групп. Собственно что же дает собой понятие группы в математике? Какое значение несут образующие элементы в группе? Что такое система образующих? На эти и другие вопросы предстоит ответить в данной курсовой работе. Курсовая работа приурочена к обсуждению и описанию образующих элементов в теории групп. Группа — один из ведущих типов алгебраических систем, а теория групп — один из ведущих разделов современной алгебры. В настоящее время теория групп считается одной из самых развитых областей алгебры, имеющих многочисленные использования как в самой математики, так и за ее пределами — в топологии, теории функции, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания. Конечной целью именно теории групп считается описание всех групповых композиций. Понятие же группы приобретает в настоящее время все большее господство над наиболее разными разделами математики и ее приложений и наряду с понятием функции относится к наиболее базовым понятиям всей математики. Образующие элементы в группе — это базовое понятие теории. Элементы эти можно сравнить с буквами, из которых состоят слова. Отсюда делаем вывод, что изучение темы: «Образующие элементы» — имеет практическое и теоретическое значение, а в следствии этого актуальным на сегодняшний день.
Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3 1.1. Исторические сведения о возникновении теории групп 5 1.2. Рассмотрение основных определений группы: алгебраической операции, понятие группы, циклической группы. 6 1.3. Определение сущности понятия образующих элементов 18 1.4. Рассмотрение систем образующих элементов на примерах 19 ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 25 2.1. Построение таблиц Кэли и рассмотрение основных свойств групп 25 Заключение 32 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 33
Список литературы

1. Введение в теорию групп / П. С. Александров — М.: Издательство «Наука», 1980. — С. 144. 2. Группы и их графы / И. Гроссман, В. Магнус; под ред. В. Е. Тараканова — М.: Издательство «Мир», 1971. — С. 245. 3. Курс алгебры / Э. Б. Винберг — 2-е изд., испр. и доп. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2001— С. 544. 4. Лекции по математике. Т. 8 / Теория групп: учебн. пособие / В. Босс — М.: КомКнига, 2007. — С. 216. 5. Линейная алгебра и некоторые приложения / Л. И. Головина. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство «Наука», 1979. — С. 392. 6. Основы теории групп / М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. — 3-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1982.— С. 288. 7. Теория групп / А. Г. Курош. — М.: Издательство «Наука», 1967. — С. 648. 8. Группа (математика) // Википедия / Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. Режим доступа:
Отрывок из работы

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1.1. Исторические сведения о возникновении теории групп В 1 половине ХIХ в. факты теории групп играли еще вспомогательную роль, главным образом в теории алгебраических уравнений. Складывающаяся теория групп была еще большей частью теорией конечных групп -- групп подстановок. К середине века обнаружилось, что понятие группы содержит более широкое применение. Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы из теории групп. Кэли внес огромный вклад в развитие абстрактной теории конечных групп. Им было выяснено, что наиболее важные свойства группы зависят не от характера элементов подстановки, а от групповой операции. Это произошло в 50-х годах ХIХ века. Тогда работы Кэли не были замечены мировым сообществом. Лишь спустя некоторое время, они обрели известность и даже использовались как учебники. Процесс перехода к абстрактной теории групп ускорился с 1870 года. Теория групп была популяризована Серретом, который предназначил теории групп секцию из своей книги по алгебре. Он сделал огромную работу и включил в свои лекции по алгебре в Сорбонне большие части теории Галуа. Дальнейшие крупные открытия в теории групп связаны с именем воспитанника и профессора Политехнической школы, а также Коллеж де Франс, Камилла Жордана (1838--1922). В 1865 г. появляется первая работа Жордана по теории Галуа «Комментарии к мемуару Галуа» (Соmmеntаirеs sur lе mеmоirе dе Gаlоis.-- С. г. Асаd. sсi. Раris), в 1869 г. ее продолжение «Комментарии к Галуа» (Соmmеntаirеs sur Gаlоis.-- Mаth. Аnn.), Затем появились работы Жордана - «Действия над подстановками» («Trаitе dеs Substitutiоns еt dеs еquаtiоns аlgеbriquеs»,) Эта монография стала классикой. В ней были подытожены результаты теории конечных групп в применении к теории чисел, теории функций и алгебраической геометрии. Однако, хотелось бы отметить, что у Жордана еще не было определения группы, такого, каким мы его знаем сейчас. Оно появилось не сразу. Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком. Немалую роль в популяризации теории групп сыграл Евгений Нетто (1882 г.), чей труд был в 1892 г. переведён на английский язык Коулом. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики ХIХ века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё. Стоит также сказать, что до определенного момента большинство математиков рассматривало в основном конечные дискретные группы. Однако к концу ХIХ века на сцене появились бесконечные группы, а также непрерывные. В частности, в 1884 г. Софус Ли положил начало изучению групп преобразований . Эти группы сейчас называют группами Ли. За его трудами последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных бесконечных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов. К концу ХIХ в. теория конечных групп оформилась и достигнула высочайшего значения. Появился ряд сводных трактатов, содержащих ее периодическую разработку. В это же время появились первые приложения теории групп. Здесь можно, например, упомянуть имена таких ученых, как: Фёдоров, Шенфлис , Клейн. В начале ХХ века ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие. 1.2. Рассмотрение основных определений группы: алгебраической операции, понятие группы, циклической группы. Алгебраическая операция Весьма часто в различных приложениях встречаются множества, в которых определена (или в данный момент рассматривается) лишь одна алгебраическая операция. Дадим определение этого понятия. Определение Пусть дано некоторое множество М. Мы говорим, что в М определена бинарная алгебраическая операция, если всяким двум (различным или одинаковым) элементам множества М, взятым в определенном порядке, по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенный третий элемент, принадлежащий к этому же множеству). Требование однозначности операции и требование ее выполнимости для любой пары элементов входят, следовательно, в определение алгебраической операции. С другой стороны, в этом определении содержится указание на порядок, в котором берутся элементы множества М при выполнении операции. Иными словами, не исключается возможность того, что паре элементов а, b из М и паре b, а будут поставлены в соответствие различные элементы из М, т.е. что рассматриваемая операция будет некоммутативной. Примеры Можно указать многочисленные примеры числовых множеств с одной операцией, удовлетворяющих данному выше определению. Бинарными операциями считаются, к примеру, сложение на множестве натуральных или на множестве целых чисел, вычитание на множестве целых чисел. Данному определению не удовлетворяют, например, вычитание на множестве натуральных чисел, так как , например, упорядоченной паре (3, 5) вычитание не ставит в соответствие никакого натурального числа, множество отрицательных целых чисел относительно умножения, множество нечетных чисел относительно сложения, а также множество всех действительных чисел, если в качестве операции рассматривается деление — последнее ввиду невыполнимости деления на нуль. Хорошо известны также различные примеры алгебраических операций, выполняемых не над числами. Таковы сложение n-мерного векторного пространства, векторное умножение трехмерного евклидова пространства, умножение квадратных матриц порядка n, сложение действительных функций действительного переменного, умножение этих же функций и т.д. Примером алгебраической операции также является умножение подстановок. При рассмотрении множеств с одной алгебраической операцией мы будем, как правило, использовать мультипликативную терминологию и символику: операцию будем называть умножением, а результат применения операции к паре элементов а, b — произведением аb этих элементов. В некоторых случаях будет удобнее, однако, использовать аддитивную запись, т.е. называть операцию сложением и говорить о сумме а + b элементов а, b. Группа Дадим теперь общее определение группы. Определение 1 Группой называется множество G элементов а, b, ..., для которых определена некоторая алгебраическая операция (обычно называемая умножением или сложением), ставящая в соответствие каждой упорядоченной паре а, b элементов из G третий элемент с = а ? b, причем так, что выполнены следующие условия : 1. Эта операция ассоциативна: для любых трех элементов а, b, с из G: . 2. В G существует «нейтральный» элемент е такой, что: . 3. Для каждого элемента а из G существует «обратный» ему элемент а–1 такой, что: . Группа, в которой дополнительно выполняется коммутативный закон: для любых 2 элементов а, b G а ° b = b ° а, называется коммутативной, или абелевой. Операция в группе G не обязана быть коммутативной. Группа, состоящая из конечного числа элементов, называется конечной группой. Число элементов конечной группы называется ее порядком. Группа, не являющаяся конечной, называется бесконечной. В том случае, когда «групповая операция» а ° b называется сложением и обозначается знаком +, группа G называется группой по сложению, или аддитивной группой. В этом случае «нейтральный элемент» е обычно обозначается символом 0 и называется нулем, а элемент, обратный к а, обозначается через — а–1 и называется противоположным к а. В том случае, когда групповая операция называется умножением, а ° b обозначается через аb, группа называется группой по умножению, или мультипликативной группой, а нейтральный элемент называется единицей и часто обозначается символом 1. Комментарии к определению группы 1. Элемент а–1, обратный элементу а, единственен. 2. В определении группы вторую и третью аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции: 3. Вышеприведенные аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального () и левого обратного () элементов. При этом они автоматически являются е и а–1: . Свойства группы 1. Элемент а–1, обратный элементу а, всегда определяется однозначно. Доказательство В самом деле, если элементы у и z являются обратными для а, то у*х = е и z*х = е, откуда у*х = z*х и по закону сокращения у = z. 2. Верны законы сокращения: (левое сокращение); (правое сокращение). Доказательство Докажем первый закон. Используем существование обратного элемента и свойство ассоциативности операции. у = z. Что и требовалось доказать. Второй закон (для правого сокращения) доказывается аналогично. 3. Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент. Доказательство . Действительно, поскольку , имеем , откуда по закону сокращения получаем . 4. Для любых х, у уравнение вида х*z = у имеет одно решение, равное . Оно называется частным от деления у на х (или отношением элементов у и х) и обозначается у / х. Доказательство . Имеем: , и значит можно взять . Однозначность z следует из закона сокращения: . Этот закон справедлив для не абелевых групп. Здесь то и различаются левое и правое деления. Примеры групп Рассмотрим множество всех целых чисел. При сложении двух целых чисел получается снова целое число. Если одно из слагаемых равно (целому) числу 0, то сумма равна другому слагаемому: а + 0 = а; для каждого целого числа а противоположное к нему число – а (сумма которого с данным числом а равна 0) тоже является целым. Операция сложения (в частности, целых) чисел коммутативна (а + b = b + а для любых двух чисел а и b) и ассоциативна ((а + b) + с = а + (b + с) для любых трех чисел а, b, с). Далее, если из множества всех целых чисел выделить подмножество чисел, делящихся на данное число к, то и оно обладает такими же свойствами. Это множество тоже «замкнуто» относительно «операции сложения» — сумма любых двух чисел, делящихся на к, делится на к; это множество содержит 0 (нуль делится на любое число); и, наконец, если а делится на к, то и – а делится на к. Аналогичными свойствами обладают и множество всех рациональных чисел, множество всех вещественных чисел или всех комплексных чисел — каждое из них замкнуто относительно операции сложения; 0 является одновременно числом рациональным, вещественным и комплексным; для каждого (комплексного) числа а имеется противоположное к нему число – а такое, что а + (– а) = 0, причем — а при вещественном а будет вещественным, а при рациональном а — рациональным. Операция сложения в множестве комплексных чисел (а значит, и подавно, в множестве вещественных и в множестве рациональных чисел) коммутативна и ассоциативна. Все это — примеры «групп по сложению». Рассмотрим теперь множество всех отличных от нуля вещественных чисел и «операцию умножения» в нем. Произведение любых двух таких чисел — снова отличное от нуля вещественное число; произведение любого числа а на (вещественное, отличное от нуля) число 1 равно а, и для каждого (отличного от нуля!) вещественного числа а имеется обратное ему (и тоже отличное от нуля) вещественное число а–1 произведение которого на а равно 1. Аналогичными свойствами обладает и множество всех отличных от нуля рациональных чисел, множество всех положительных вещественных чисел или всех положительных рациональных чисел, а также множество всех отличных от нуля комплексных чисел или множество комплексных чисел, по модулю равных 1. Каждое из них замкнуто относительно операции умножения, все они содержат единицу и у каждого из их элементов имеется обратный элемент, принадлежащий тому же множеству. Умножение комплексных (а значит, и вещественных, и рациональных) чисел коммутативно (аb = bа для всех а и b) и ассоциативно ((аb)с = а(bс) для всех а, b, с). Это — примеры «групп по умножению». Можно привести и более неожиданный пример: группу по умножению образует, например, пара чисел, 1 и – 1. Впрочем, множество, состоящее из одного числа 1 (или 0), тоже образует группу по умножению (соответственно по сложению). Комплексные числа 1, i, – 1, – i также образуют, очевидно, группу по умножению. Складывать можно не только числа, но, например, векторы линейного пространства R, причем это сложение подчиняется тем же законам, что и сложение чисел: оно коммутативно и ассоциативно, в R имеется нулевой элемент 0 такой, что х + 0 = х для любого х ? R, и для всякого вектора х ? R имеется противоположный ему вектор – х, такой, что х + (– х) = 0. Складывать можно матрицы одного и того же строения (т.е. [m ? n]-матрицы, где m и п — какие-то заранее заданные целые положительные числа). Это сложение ассоциативно и коммутативно, имеется нулевая матрица, прибавление которой не меняет второго слагаемого — это матрица, состоящая из одних нулей, и для каждой матрицы [аik] имеется противоположная к ней матрица [– аik] — такая, что [аik] + [– аik] есть нулевая матрица. Если рассматривать только так называемые целочисленные матрицы (т.е. матрицы с целыми элементами аik), то и суммой двух таких матриц будет матрица такого же строения, нулевая матрица является целочисленной, и для каждой целочисленной матрицы, противоположной к ней, будет тоже целочисленная матрица. Все это — тоже примеры групп по сложению. С другой стороны, и перемножать можно не только числа, но, например, невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка п с вещественными (или только с рациональными или, наоборот, с комплексными) элементами. Произведение двух таких матриц тоже будет невырожденной матрицей (т.к. произведение невырожденных матриц также невырожденное) с вещественными (соответственно с рациональными, комплексными) элементами; единичная матрица является невырожденной, и у каждой невырожденной матрицы имеется обратная (тоже невырожденная и тоже с вещественными или соответственно рациональными, комплексными элементами). Умножение матриц ассоциативно, однако оно не коммутативно. Множество всех невырожденных матриц порядка п с вещественными (рациональными, комплексными) элементами представляет собой пример некоммутативной группы по умножению. Способы задания групп Конкретная группа может быть определена следующими способами: 1. Как множество элементов с бинарной операцией, удовлетворяющей трем групповым аксиомам. Это основное определение, из которого можно получить все другие. 2. При помощи графической схемы (сети), составленной из направленных отрезков и обладающей основными свойствами, которыми должен обладать граф группы. 2. При помощи квадратной таблицы символов, которую мы назвали таблицей умножения группы. Такая таблица задает группу, поскольку в ней указаны все произведения элементов группы. Хотя из таблицы умножения группы можно извлечь все то, что мы хотим знать о группе, поскольку в ней указаны все попарные произведения элементов группы, можно предвидеть ряд трудностей, которые возникнут при любой попытке неограниченно расширить область ее применения. Представьте себе, например, что вам нужно проанализировать группу порядка 60 с помощью ее таблицы умножения. Поэтому, следует рассмотреть еще одно фундаментальное понятие в теории групп, которое позволяет описывать группу способом, не зависящим от ее порядка. Речь идет об образующих элементах группы. Это и есть еще один способ задания группы, т.е. с помощью образующих и определяющих соотношений. Определение циклической группы Пусть а — произвольный элемент группы G. Умножим его на себя, т.е. возьмем элемент а•а. Этот элемент обозначим через а2. Точно так же обозначим а•а•а через а3 и вообще положим а•а•…•а = аn. Рассмотрим далее, элемент а–1 и обозначим последовательно а–1• а–1 через а–2 а–1• а–1• а–1 через а–3 а–1• а–1•…• а–1 через а–n. Обозначения эти оправданы тем, что, действительно, аn•а–n = 1. Для доказательства последнего утверждения заметим прежде всего, что в случае п = 1 оно очевидно (следует из самого определения а–1). Предположим, что оно верно для п–1 и докажем в этом предположении его справедливость для п. Имеем аn•а–n = (аn• аn–1) (а–(n–1)•а–1) = а•{аn–1•а–(n–1)}•а–1. Но в силу нашего предположения фигурная скобка равна единице, значит, аn•а–n = а•1• а–1 = 1. что и требовалось доказать. Мы определили выражение аn для любого положительного и для любого отрицательного значения п. Положим, наконец, что, по определению, а0 = 1. Пусть теперь р и q — два целых числа. Из наших определений следует, что для любых целых р и q имеем ар•аq = ар+q. Мы получаем следующий результат. Множество Н(а) тех элементов группы G, которые могут быть представлены в виде ап при целом п с той групповой операцией, которая задана в группе G, образует группу Н(а). В самом деле: 1) произведение двух элементов, принадлежащих Н(а), есть опять элемент Н(а); 2) единица принадлежит Н(а); 3) к каждому элементу аm из Н(а) найдется элемент а–m, который также принадлежит Н(а). Итак, Н(а) есть подгруппа G. Эта подгруппа называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом а. Определение Если любой элемент группы выражается в виде степени единственной образующей, то группа называется циклической. Примеры 1. Примером циклической группы может служить группа вращений правильного многоугольника. Пусть дан правильный n-угольник А1А2...Аn, и пусть О — его центр. Рассмотрим всевозможные повороты плоскости вокруг точки О, при которых этот n-угольник совмещается сам с собой. Таких поворотов, очевидно, п: а0 —поворот на ? 0 (тождественное преобразование), а1 — поворот на а2 — поворот на ………………… аn–1 — поворот на . По определению, умножение поворотов — это их последовательное выполнение одного за другим: ак ? аi = ак+I, при этом естественно считать, что ак+n = ак для любого к, в частности, ап = а0. Это умножение, очевидно, ассоциативна (и коммутативно). Поворот а0 является единичным элементов группы и ак–1 = ап — к. для всех к = 0, 1, ...., n – 1. Если положить а1 = а, мы будем иметь а2 = а2, а3 = а3, аn–1 = аn–1 и, наконец, ап = ап = а0. Можно сказать, что эта группа образована степенями одного из своих элементов (или что она «порождается» одним из своих элементов), а именно, элемента а = а1. Группа вращений правильного n-угольника является циклической группой порядка п; обозначается эта группа символом Сп. 2. Циклической группой порядка 3 является группа вращений треугольника. Выписав степени образующей а: а, а2, а3, а4, а5, а6, а7,… . Так как а3 = I, то эту последовательность можно переписать так: а, а2, I, а, а2, I, а,… . Она представляет собой циклическое повторение основной серии а, а2, I. Именно по этой причине данная группа — циклическая. 3. Группа целых чисел (по сложению) тоже является циклической — она порождается одним из своих элементов: ведь 2 = 1 + 1, 3 = (1 + 1)+ 1, — 1 есть элемент, противоположный к 1, и т.д. Эта группа является бесконечной циклической группой; обозначается она символом С?. Замечание Обычно мы будем использовать для обозначения циклической группы букву С, а ее порядок обозначать числом в нижнем индексе. Таким образом, С3 обозначает циклическую группу порядка 3, а Сn — циклическую группу порядка n.
Не смогли найти подходящую работу?
Вы можете заказать учебную работу от 100 рублей у наших авторов.
Оформите заказ и авторы начнут откликаться уже через 5 мин!
Служба поддержки сервиса
+7(499)346-70-08
Принимаем к оплате
Способы оплаты
© «Препод24»

Все права защищены

Разработка движка сайта

/slider/1.jpg /slider/2.jpg /slider/3.jpg /slider/4.jpg /slider/5.jpg