Войти в мой кабинет
Регистрация
ГОТОВЫЕ РАБОТЫ / КУРСОВАЯ РАБОТА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Математические и логические парадоксы.

irina_k200 420 руб. КУПИТЬ ЭТУ РАБОТУ
Страниц: 35 Заказ написания работы может стоить дешевле
Оригинальность: неизвестно После покупки вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100% с помощью сервиса
Размещено: 15.09.2020
Целью данной работы является описание парадоксов в науке, а также выявление их роли в научном познании мира. Задачи: 1. Описать парадоксы логики; 2. Описать парадоксы целых чисел и дробей; 3. Описать парадоксы геометрии; 4. Описать парадоксы вероятности; 5. Описать парадоксы статистики; 6. Описать парадоксы времени. Реферат состоит из введения, в котором отражены цель и задачи работы; одной главы, содержащей материал, который посвящен проблеме парадокса в различных науках; заключения, в котором приведены основные выводы данной работы; списка использованной литературы.
Введение

Сегодня термин «парадокс» прочно вошел в нашу речь. Его можно встретить буквально везде, в научных текстах, художественной литературе и просто в повседневной жизни. Несложно догадаться, что сам термин понимается по-разному в разных ситуациях. Хотелось бы представить толкования данного термина: Парадокс это: «1-странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу. Говорить парадоксами. 2-явление, кажущееся невероятным и неожиданным». Парадокс это: «ситуация, когда в теории доказаны два взаимно исключающих друг друга утверждения, причем каждое из них вынесено убедительными с точки зрения данной теории средствами». Парадокс это: «мнение странное, на первый взгляд дикое, озадачливое, противное обществу». Казалось бы, три разных толкования из трех разных источников, но что-то общее между ними есть. Можно попытаться самой дать определение данному термину. По моему мнению «парадокс»- это некое мнение, которое воспринимается обществом как странное, непонятное, которое не поддается объяснениям. Получается это утверждение, которое резко расходится с общепринятыми мнениями. Особое место занимают парадоксы в логике и математике. Бывает так, что парадоксы приводят к большим открытия, а это в свое очередь может привести к существенным изменениям в целом всей теории, в конечном счете являясь стимулом для дальнейших исследований. Парадоксы привлекали к себе внимание еще со времен античности. Тогда их называли апориями. Пожалуй, самая известная апория является апория Зенона Элейского «Ахилл и черепаха». Гласит она о том, что быстроногий Ахиллес никогда не сможет догнать медленную черепаху, если при начале движения она уже находилась на некотором расстоянии от него. Как только Ахилл достигнет той самой черты, откуда стартовала черепаха, она в свою очередь уже преодолеет некоторое расстояние, пусть и меньшее; пока Ахиллес будет преодолевать это расстояние, она продвинется уже вперед и так далее. В современной математике такие парадоксы легко преодолеваются. Существенную роль в их преодолении играет выполнение в поле действительных чисел аксиомы Архимеда: для всяких действительных чисел a, b > 0 найдется натуральное число n, такое что n*a > b. И все же ситуация, изображенная Зеноном достаточно глубока. Для исследования концепции бесконечно больших и бесконечно малых величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в которой аксиома Архимеда не имеет смысла. Теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры. Еще один парадокс «Куча», сформулированный Евбулидом из Милета в 4 веке до нашей эры, имеет объяснение в современной математике. «Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то n+1 песчинка –тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образую кучи». Сейчас это можно объяснить следующим образом: метод полной математической индукции нельзя применять к объёмно неопределенным понятиям, которым как раз является понятие «куча песка». Объемно неопределенные понятия используются в основаниях математики уже со второй половины 20 века для установления непротиворечивости классической теории и свойства таких понятий исследуются точными методами. Древнегреческие математики долго ломали голову над тем, почему длину диагонали единичного квадрата невозможно измерить точно линейкой со сколь угодно мелкими делениями. Тогда это стало парадоксом для множества умов античных мыслителей. Отсюда началось расширение понятия числа и создание иррациональных чисел. Для математиков 19 века было необычным то, что между всеми элементами бесконечного множества и элементами его бесконечного подмножества можно установить взаимно-однозначное соответствие. Тогда этот парадокс привел к созданию современной теории множеств. Парадоксы, как показывает история, могут многому нас научить, ибо они подобно фокусам поражают наше воображение, заставляя его работать для получения секретной информации.
Содержание

Введение ГЛАВА 1. МНОГООБРАЗИЕ ПАРАДОКСОВ 1.1 Парадоксы логики; 1.2 Парадоксы целых чисел и дробей; 1.3 Парадоксы геометрии; 1.4 Парадоксы вероятности; 1.5 Парадоксы статистики; 1.6 Парадоксы времени. Заключение
Список литературы

Библиографический список: 4)М.Гарднер «А ну-ка догадайся!» Редакция научно-популярной и научно-фантастической литературы, 1984 год, стр.76-77 Электронные ресурсы: 1)gufo.me Толковый словарь Ожегова [Электронный ресурс] URL: https://gufo.me/dict/ozhegov/парадокс (дата обращения: 26.03.2020) 2)bigenc.ru Большая российская энциклопедия [Электронный ресурс] URL: https://bigenc.ru/mathematics/text/2706707 (дата обращения: 26.03.2020) 3)glosum.ru Толковый словарь Даля [Электронный ресурс] URL: https://glosum.ru/Значение-слова-Парадокс-в-словаре-Даля (дата обращения 26.03.2020)
Отрывок из работы

Глава 1. Парадоксы в науке 1.1 Парадоксы в логике. Логический парадокс – это положение, которое сначала ещё не является очевидным, однако, вопреки ожиданиям, выражает истину. В античной логике парадоксом называли утверждение, многозначность которого относится, прежде всего, к его правильности или неправильности. Логика- наука абстрактная. Здесь нет экспериментов и фактов. При построении своих систем, логика исходит из анализа реального мышления. Однако результаты такого анализа носят синтетический характер, поскольку они не констатируют какие-либо отдельные процессы или события. Логика играет огромную роль везде, где применяются дедуктивные умозаключения. Современная логика имеет гигантские успехи в разрешении классических парадоксов. В качестве примера можно представить работу Альфреда Нортома и Бертрана Рассела под названием «Основания математики», где излагались единые основы современной математики и логики. Разумеется, не все парадоксы современной логики были разрешены. Логика достигла столь полного развития, что о ней невозможно сказать ничего нового, отметил однажды Иммануил Кант. Однако логика времен Канта — это лишь незначительная часть нынешней логики. Сейчас существуют гораздо глубокие мысли, в которых многие парадоксальные вопросы еще не получили ответов. Рассмотрим некоторые из наиболее известных логических парадоксов. Самый известный логический парадокс- это парадокс «Лжец». Звучит он следующим образом: Легендарный греческий поэт Эпименид сказал: «Все критяне лжецы». Однако Эпименид был родом с острова Крид, отсюда следует, что он сам лжец. Получается его утверждение не может быть истинным. Однако оно не может быть и ложным, поскольку тогда это означало бы, что все критяне говорят правду, и то, что сказал Эпименид, также истинно. Этот вопрос очень беспокоил древних греков, никто не понимал, как утверждение не может быть ни истинным, ни ложным, чтобы при этом не возникало никаких противоречий. Существует огромное количество вариантов парадокса лжеца. Еще один пример: однажды Джорджа Эдварда Мура спросили, всегда ли он говорит правду, на что ответил: «Нет». Отсюда выплывает вопрос: «Сейчас он говорит правду?» Простейший вариант парадокса лжеца- утверждение «Это утверждение ложно». И что получается, оно истинно или ложно? Если оно истинно, то оно ложно, если оно ложно, то оно истинно. Такие противоречивые утверждения встречаются в нашей жизни чаще, чем мы думаем. Есть замечательный рассказ «Рассказ под присягой» из сборника произведений «Дух слоя Хэвисайда и другие фантастические истории», в котором представлен наш парадокс. Герою данного рассказа однажды повстречался дьявол, с которым он заключил сделку. По условиям сделки герой приобретал способность с оного удара попасть в лунку в игре в гольф. После того, как это произошло, нашего героя исключили из клуба за подозрение в жульничестве. В конце всего рассказа лорд Дансэни спросил нашего героя, что по условиям сделки дьявол получил взамен. Ответ был такой: «Он навсегда лишил меня способности говорить правду». Парадокс, не так ли? Рассмотрим следующие логические парадоксы. Это «пуговицы» и надписи на стенах. Есть две фразы: 1) «Долой пуговицы» (данная надпись была сделана на пуговицах) 2) «Долой надписи на стенах» (эта надпись была сделана на стене) Так как это понимать? Каждая из них противоречит тому, к чему призывает. Есть и другие аналогичные примеры, например: объявление «Уничтожайте объявления!» или надпись «Не читайте того, что здесь написано». Рассмотрим парадоксы, которые связаны со значением истинности некоторых утверждений. Здесь представлены три ложных утверждения, но какие именно- неизвестно. 1) 2+2=4 2) 3*6=17 3) 8/4=2 4) 13-6=5 5) 5+4=9 Несложно догадаться, что ложными будут примеры 2 и 4. Но по условию ложных утверждений три. Получается утверждение, что «здесь представлены три ложных утверждения» ложно, и тогда его можно считать третьим ложным утверждением. Все мы знаем такой вопрос: «Что появилось на свет раньше-яйцо или курица?» Этот вопрос наиболее подходящий пример того, что логики называют бесконечным спуском. Овсяная каша обычно продается в коробках, на которых изображен человек, держащий в руке коробку овсяной каши, на которой изображен … и так далее. Также в парикмахерских зеркала расставлены друг против друга, где можно увидеть начальный отрезок бесконечного спуска отражений. Соответственно далее я буду описывать парадокс бесконечного спуска. Такой прием использовали многие писатели в своих произведениях. Например, в романе Олдоса Хаксли «Контрапункт» Филип Кварлз пишет роман о романисте, который пишет роман о романисте, который … и так далее. Невозможно полностью описать чистый лист бумаги. При описании его на нем же, необходимо постоянно записывать то, что записано и так далее. В данном случае полное описание неосуществимо, бесконечно и требует постоянного продолжения. Платон. Следующее высказывание Сократа будет ложным. Сократ. То, что сказал Платон, истинно. Введем обозначения. Высказывание Платона будет- A, а высказывание Сократа – B. Пусть А истинно, а В ложно, но если В ложно, то А должно быть ложным. Но если А ложно, то В истинно, но если В истинно, то А должно быть истинным. Таким образом мы вернулись к тому, с чего начинали, и этот круговорот бесконечен. Очень парадоксально, ведь отдельно взятые утверждения А и В ничего не говорят о себе. Но стоит взять их вместе, то сразу можно заметить, как они влияю друг на друга, изменяют значение истинности другого на противоположное, поэтому ни об одном из них мы не можем сказать, истинно ли оно или ложно. Есть еще один забавный пример данного парадокса. Берем карточку, на одной стороне пишем УТВЕРЖДЕНИЕ НА ОБРАТНОЙ СТОРОНЕ ЭТОЙ КАРТОЧКИ ИСТИННО, а на обратной стороне пишем УТВЕРЖДЕНИЕ НА ОБРАТНОЙ СТОРОНЕ ЭТОЙ КАРТОЧКИ ЛОЖНО. Можно долго вертеть карточку и не понимать, что есть истина, что есть ложь, но в итоге все оказываются вовлечены в бесконечный спуск, в котором каждое утверждение попеременно становится то истинным, то ложным. Подводя небольшой итог, можно сказать, что в логике огромное количество парадоксов, которые озадачили ученых разных времен и скорее всего озадачат в будущем. Логические парадоксы следует рассматривать не как проблемы, а как материал для размышления, ведь они важны, так как затрагивают наиболее фундаментальные вопросы сей логики в целом, а значит, и всего мышления. Далее перейдем к обсуждению парадоксов в числах и дробях. ? 1.2. Парадоксы чисел и дробей. Сильное влияние на историю математики оказали парадоксы с числами. Они ни раз вводили математиков в тупик и приводили к изумлению, противореча нашей интуиции. Собранные в этом подпункте парадоксы относятся главным образом к рациональным числам. «Загадка шести стульев»-так называется первый рассмотренный нами парадокс чисел. Шестеро друзей заказали столик в популярной дискотеке. В последнюю минуту к ним присоединился еще один товарищ, седьмой по счету. Тогда владелица ресторана решила рассадить всех семерых на 6 стульев. Решила она так: первого гостя посадила на первый стул и попросила его на минуту взять на колени к себе девушку. Далее она посадила третьего гостя рядом с двумя первыми, четвертого- рядом с третьим. Пятый сел напротив того, кто держит девушку на коленях, шестой –рядом с пятым. Получается владелица рассадила всех шестерых, а одно место осталось свободным. Как это возможно? И тогда она попросила сесть на это место девушку, которая все это время была на коленях. Все, теперь все семеро рассажены на шести стульях, по одному на каждом стуле. Но здесь все нелогично. Как разрешить этот парадокс? Для этого надо понять, что девушка с коленок- это гость номер 2, а не номер 7. Получается 7 гостю места не нашлось. Рассмотри парадокс под названием «Вездесущая девятка» Число 9 является достаточно загадочным. Говорят, что оно присутствует в дате рождения любой знаменитости. Так ли это? Возьмем к примеру дату рождения Джорджа Вашингтона, который родился 22 февраля 1732 года. Запишем эту дату в одно число – 2221732. Затем переставим цифры в любом порядке и из больше числа вычтем меньшее. После проделанный действий сложим цифры все цифры разности и получим 36, а 3+6=9. Сложим цифры любого числа, затем цифры получившейся суммы и будем продолжать эту операцию до тех пор, пока не получится однозначная сумма, которая называется цифровым корнем исходного числа. Цифровой корень числа равен остатку от деления его на 9, поэтому описанную выше процедуру иногда называют «вычеркиванием девяток. Цифровой корень вычисляется особенно быстро, если вычеркивание девяток производить непосредственно в процессе сложения цифр. Например, если первые две цифры числа равны соответственно 6 и 8, то их сумма равна 14. Сумма цифр этой суммы равна 1 +4 = 5, поэтому мы можем сразу же вычеркнуть, или отбросить, девятку и запомнить только 5. Иначе говоря, всякий раз, когда частичная сумма ставится двузначной, следует заменять ее суммой цифр. Последняя однозначная сумма и будет цифровом корнем исходного числа. Математики сказали бы, что цифровой корень сравним с исходным числом по модулю 9. Так как остаток от деления числа 9 на 9 равен 0, то в арифметике вычетов (остатков) по модулю 9 числа 9 и 0 эквивалентны. До появления вычислительных машин арифметику вычетов по модулю 9 часто использовали для проверки сложения, вычитания, умножения и деления больших чисел. Пусть, например, мы вычитаем из числа А число В и находим разность С. Наши вычисления можно проверить: взять цифровой корень числа А, вычесть из него цифровой корень числа Ви сравнить полученный результат с цифровым корнем разности С. Если вычисления произведены правильно, разность цифровых корней должна совпадать с цифровым корнем разности. Совпадение цифровых корней еще не говорит о правильности результата, но зато, если цифровые корни не совпадают, мы можем с уверенностью утверждать, что где-то в вычислениях допущена ошибка. Совпадение же цифровых корней лишь придает большую правдоподобность правильности вычислений. Аналогичным образом проверяются с помощью цифровых корней результаты выполнения сложения, умножения и деления. Теперь уже нетрудно понять, на чем основан трюк с датами рождений. Пусть N— некоторое многозначное число. Переставив его цифры, мы получим новое число N'. Ясно, что N и N' имеют одинаковые цифровые корни. Следовательно, если мы вычтем один цифровой корень из другого, то разность будет равна 0, или 9, что то же в арифметике вычетов по модулю 9. Итак, число 0, или 9,— цифровой корень разности чисел N и N'. Следовательно, какое число мы бы ни взяли, переставив цифры и вычтя из большего числа меньшее, мы всегда получим разность с цифровым корнем, равным 0 (или 9). Из способа вычисления цифровых корней видно, что окончательный результат, равный 0, получится только в том случае, когда числа N и N' совпадают. Следовательно, демонстрируя трюк с вездесущей девяткой в датах рождения, необходимо следить за тем, чтобы при перестановках цифр возникали различные числа. Если числа N и N' не совпадают, то цифровой корень их разности равен 9. «Недостача» Представим, что в магазине 30 старых пластинок продавались по 100 рублей за 2 пластинки, а 30 других пластинок по 100 рублей по 100 рублей за 3 пластинки. К концу дня все 60 пластинок были раскуплены. 30 пластинок по 100 рублей за 2 пластинки проданы за 1500 рублей, 30 пластинок по 100 рублей за 3 пластинки проданы за 1000 рублей. Итого — 2500 рублей. Тогда на следующий день директор магазина выставил на продажу еще 60 пластинок. Продавец не мог понять, зачем сортировать пластинки и продавать по разным ценам, ведь можно продать все 60 пластинок по цене 200 рублей за 5 пластинок и будет то же самое. К закрытию магазина 60 пластинок были проданы по 100 рублей за 5 пластинок. При подсчете выручки продавец обнаружил, что оно составляет не 2500 рублей, а всего лишь 2400 рублей. Куда ж пропало 100 рублей? Из-за чего образовалась недостача? На самом деле виной всему-продавец, который по ошибке решил, что выручка от продажи 600 пластинок по 200 рублей за 5 пластинок будет такая же, как и от продажи пластинок, сортируя их. Никаких оснований для подобного заключения у него не было. Разница в выручке в обоих случаях невелика — всего 100 рублей, поэтому и создается впечатление, будто недостающая сумма затерялась или его отдали по ошибке, неверно сосчитав сдачу, причитающуюся кому-то из покупателей. В действиях продавца не было злого умысла, но, как показывает арифметика, он добросовестно заблуждался: число пластинок в наборе и цены нельзя усреднять так, как это предлагал делать он. Допущенную им ошибку можно проанализировать алгебраически, но, для того чтобы убедить вас в недопустимости подобного усреднения, достаточно одного наглядного примера. Необычное завещание Один адвокат, скопивший немалое состояние, собрал коллекцию из 11 старинных машин, каждую из которых знатоки оценивали примерно в 25 000 долларов. После смерти адвокат оставил необычное завещание. По его воле 11 машин должны были быть разделены между 3 его сыновьями. Полина машин должна была отойти старшему сыну, четверть-среднему и одна шестая- младшему. Сыновья были не на шутку озадачены. Ну как можно разделить пополам 11 машин или, скажем, отделить от них четверть или одну шестую? В разгар споров по поводу наследства мимо проезжала в своей новой спортивной машине знаменитый нумеролог миссис Зеро. Она спросила: Мальчики! Что-то вид у вас не очень веселый. Может быть, я могу вам чем-нибудь помочь? После того как братья объяснили миссис Зеро суть своих затруднений, она поставила свою машину рядом с 11 коллекционными машинами и выпорхнула из нее. М-с Зеро. Сколько теперь машин перед вами? Братья насчитали 12 машин. М-с Зеро распределила машины по завещанию, и одна машина осталась лишней. Это была ее машина.Этот парадокс представляет собой современный вариант старинной арабской головоломки, в котором вместо лошадей речь идет о машинах. Например, коллекция, оставшаяся после смерти адвоката, могла бы насчитывать 17 машин, а в завещании могло бы говориться о том, что сыновья должны получить соответственно 1/2, 1/3 и 1/9 всех машин. Если n— число машин в коллекции, 1/а, 1/b и 1/c — доли, причитающиеся сыновьям по наследству, то парадокс возникает только в том случае, если уравнение n/n+1=1/a+1/b+1/c допускает решение в положительных целых числах. Решение парадокса состоит в том, что сумма долей, указанных в завещании, меньше 1. Если бы сыновья во исполнение завещания вздумали бы резать машины, то после раздела наследства 11/12 машины остались бы «невостребованными». Миссис Зеро, по существу, показала братьям, как распределить между ними эти дополнительные 11/12 машины. В результате старший сын получает на 6/12, средний — на 3/12 и младший — на 2/12 машины больше, чем получили бы первоначально. В сумме эти три дроби (6/12 + 3/12 + 2/12) составляют 11/12, а поскольку каждый сын получает целое число машин, необходимость в разрезании машин отпадает.
Не смогли найти подходящую работу?
Вы можете заказать учебную работу от 100 рублей у наших авторов.
Оформите заказ и авторы начнут откликаться уже через 5 мин!
Похожие работы
Курсовая работа, Высшая математика, 56 страниц
1700 руб.
Курсовая работа, Высшая математика, 27 страниц
324 руб.
Курсовая работа, Высшая математика, 29 страниц
690 руб.
Курсовая работа, Высшая математика, 13 страниц
400 руб.
Курсовая работа, Высшая математика, 28 страниц
600 руб.
Курсовая работа, Высшая математика, 19 страниц
180 руб.
Служба поддержки сервиса
+7(499)346-70-08
Принимаем к оплате
Способы оплаты
© «Препод24»

Все права защищены

Разработка движка сайта

/slider/1.jpg /slider/2.jpg /slider/3.jpg /slider/4.jpg /slider/5.jpg