ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
Основные характеристики пористых сред
Большинство сред, встречающихся в природе и используемых в технике, не являются однородными и не могут быть отнесены к классу жидкостей, газов или твердых деформируемых тел. Различия в свойствах отдельных фаз, составляющих среду, и межфазные взаимодействия играют определяющую роль в динамике таких сред.
Пористая среда представляет собой твердое тело, пронизанное системой сообщающихся между собой пустот (пор). Эти пустоты могут быть заполнены газом или жидкостью (или смесью газов, паров и жидкостей).
Свойства пористой среды можно описать набором некоторых геометрических характеристик (приведем здесь лишь те характеристики, которые потребуются нам для описания распространения акустических волн в пористых средах). Причем, т.к. в общем случае строение парового пространства не отличается регулярностью, то приходится вводить осредненные характеристики (использование осредненных параметров для большинства практических важных случаев вполне допустимо, а в случае искусственно получаемых пористых материалов они вообще очень незначительно отличаются от реальных характеристик материала).
Важнейшей характеристикой пористой среды является ее пористость m, равная отношению объема, занятого в выделенном элементе порами, к общему объему элемента
m=V_m/V.
Определенная таким образом, она представляет собой среднюю пористость данного элемента.
Различают абсолютную (или общую) пористость, и активную пористость. Первая представляет собой отношение объема всех пор к общему объему тела. Пористость, однако, не характеризует размер пор. Например, если взять два пористых тела, геометрически подобных друг другу на микроуровне и отличающихся только размером частиц, то их пористость будет одинаковой. Поэтому для описания пористой среды необходимо ввести еще один характерный размер парового пространства a (например, средний радиус пор).
Еще одной важной характеристикой является удельная поверхность пористого материала, определяемая как площадь внутренних поверхностей пор, придающая на единицу объема материала. Очевидно, что у материалов, обладающих мелкозернистой структурой, удельная поверхность намного больше чем у материалов с крупной зернистой структурой
Уравнение неразрывности
Несмотря на то, что жидкость не представляет собой устойчивую систему, она подчиняется закону сохранения материи. Согласно данному закону в замкнутой системе масса жидкости не может ни появиться еще раз, ни исчезнуть.
М. Маскет сформулировал закон сохранения массы жидкости в замкнутой системе таким образом: избыток массы потока в чистом виде в единицу времени для бесконечно малого элемента объема жидкости точно равен изменению плотности жидкости в этом элементе в единицу времени, помноженному на объем элемента.
Выведем уравнение неразрывности (закон сохранения массы жидкости). Рассмотрим фильтрацию однородной сжимаемой жидкости в деформируемой пористой среде. Выделим в пористой среде мысленно элементарный объем ?V в форме параллелепипеда с ребрами ?x,?y и ?z, в которой совершается движение жидкости (рис. 1.1).
Элементарный объем параллелепипеда ?V определяется по следующей формуле
?V=?x?y?z .
Обозначим через d ? вектор массовой скорости фильтрации жидкости в пористой среде
d ?= ?w ? .
Здесь ? – плотность жидкости, зависящая как от координаты точки, так и от времени; w ? – вектор скорости фильтрации жидкости.
Рис. 1.1. Схематическое изображение пористой среды формы параллелепипеда
Рассмотрим движение жидкости через параллелепипед в направлении оси x. Через грань cdd'c' за малый промежуток времени ?t в параллелепипед втекает масса жидкости, определяемая по формуле
?(x,y,z,t) w_x (x,y,z,t)?y?z?t=d_x (x,y,z,t)?y?z?t, (1.1)
где w_x – проекция вектора скорости фильтрации жидкости на ось x; ?y?z – площадь грани cdd'c'; d_x – проекция вектора массовой скорости фильтрации жидкости на ось x. При записи формулы (1.1) предполагается, что значения плотности и скорости фильтрации жидкости на грани cdd'c' распределены равномерно и равны значениям их в некоторой точке с координатами (x,y,z), лежащей на грани cdd'c'.
За этот же отрезок времени ?t сквозь грань abb'a' вытекает массаж жидкости, определяемая по формуле
?(x+?x,y,z,t) w_x (x+?x,y,z,t)?y?z?t=d_x (x+?x,y,z,t)?y?z?t.(1.2)
Здесь (x+?x,y,z) координаты точки на грани abb^' a^'. В этом случае также считается, что значения плотности и скорости фильтрации на грани abb'a' распределены равномерно.
Используя выражения (1.1) и (1.2), можем найти изменение массы жидкости внутри объема ?V за промежуток времени ?t с помощью потока по оси абсцисс
d_x (x,y,z,t)?y?z?t-d_x (x+?x,y,z,t)?y?z?t=
(1.3)
=-(d_x (x+?x,y,z,t)-d_x (x,y,z,t))/?x ?x?y?z?t.
Таким же образом найдем изменения массы жидкости внутри объема ?V за промежуток времени ?t за счет потоков вдоль осей y и z
-(d_y (x,y+?y,z,t)-d_y (x,y,z,t))/?y ?x?y?z?t, (1.4)
-(d_z (x,y,z+?z,t)-d_z (x,y,z,t))/?z ?x?y?z?t. (1.5)
Сумма всех трех выражений (1.3)-(1.5) определяет изменение массы жидкости внутри объема ?V за промежуток времени ?t за счет потока через грани вдоль всех трех осей.
Вся жидкость внутри параллелепипеда находится в порах. Если активную пористость пористой среды обозначить через m, то суммарный объем жидкости внутри параллелепипеда равен
m?V=m?x?y?z .
Так как плотность жидкости и пористость среды зависят от времени, то для вычисления массы жидкости внутри объема ?V в момент времени t можно записать выражение + (?m)+|_t ?x?y?z. Тогда в момент времени t+?t масса жидкости в этом же объеме определится с помощью выражения: + (?m)+|_(t+?t) ?x?y?z . Следовательно, изменение массы жидкости внутри объема ?V за промежуток времени ?t равно
+ (?m)+|_(t+?t) ?x?y?z-+ (?m)+|_t ?x?y?z=(+ (?m)+|_(t+?t)-+ (?m)+|_t)/?t ?x?y?z?t . (1.6)
Приравняв сумму выражений (1.3)-(1.5) к выражению (1.6) и сократив на величину ?x?y?z?t, получим:
-[(d_x (x+?x,y,z,t)-d_x (x,y,z,t))/?x+(d_y (x,y+?y,z,t)-d_y (x,y,z,t))/?y++
(1.7)
+ + (d_z (x,y,z+?z,t)-d_z (x,y,z,t))/?z]=(+ (?m)+|_(t+?t)-+ (?m)+|_t)/?t .
Переходя к пределу, при котором ?x>0,?y>0,?z>0 и ?t>0, из уравнения (1.7) получим
-[(?d_x)/?x+(?d_y)/?y+(?d_z)/?z]=?(?m)/?t .
Учитывая, что d_x=?w_x,d_y=?w_y,d_z=?w_z, окончательно уравнение неразрывности (или уравнение сохранения массы жидкости при ее фильтрации в пористой среде) получим в виде
(?(?m))/?t+(?(?w_x))/?x+(?(?w_y))/?y+(?(?w_z))/?z=0 . (1.8)
Уравнение (1.8) можно записать в векторной форме
(?(?m))/?t+div(?w ? )=0 . (1.9)
Уравнения (1.8) и (1.9) справедливы лишь только в том случае, если внутри элементарного объёма ?V нет источников или стоков, поглощающих или выделяющих жидкость, нет фазовых переходов и тому подобное.
Модели пористых сред
Вязкоупругость в механике твёрдого деформируемого тела, один из видов поведения материала под нагрузкой, при котором одновременно проявляются свойства, характерные как для упругого тела, так и для вязкой жидкости. Для упругого тела механическое напряжение ? пропорционально деформации (относительному удлинению)
?=E? (1.10)
где E - модуль упругости (закон Гука), а ?- относительная деформация.
Для вязкой жидкости напряжение пропорционально скорости деформирования
? ?=d?/dt,?=?(? ) ? (1.11)
где ? – коэффициент динамической вязкости (соотношение Ньютона).
Деформирование вязкоупругого тела в простейших случаях качественно описывается реологическим уравнением Максвелла, которая первоначально была предложена для описания движения сильно вязких жидкостей. Существует множество вязких жидкостей, ведущих себя как твердые тела в течении малых промежутков времени ( при условии, что эти промежутки времени гораздо больше по сравнению с молекулярными временами).Впоследствии так же выяснилось, что некоторые аморфные тела (например, стекло) можно рассматривать как предельный случай жидкости с очень большой вязкостью. Поэтому эта модель описывает состояние твердого тела, обладающего свойствами жидкости. Именно такая модель обычно применяется при описании распространения звука в жидкостях и медицинской акустике.
Механический аналог модели Максвелла представляет собой последовательное соединение элементов упругости и вязкости и изображен на рис. 1.2. При последовательном соединении одна и та же сила действует на оба элемента (соответственно, напряжение на каждом элементе одинаковы), а их деформации складываются:
?_E=?_? ,?=?_E+?_? (1.12)
Рис. 1.2. Модель Максвелла с последовательным соединением пружины и поршня в цилиндре
Учитывая, что
?_E=?/E,(d?_?)/dt=?/? ,
и выполняя дифференцирование (1.12) по времени , получим следующую связь напряжений и деформаций:
d?/dt=1/E d?/dt+?/? (1.13)
Тело, определяемое уравнением (1.13), называется телом Максвелла. Модель Максвелла удобна для качественного описание процессов релаксации напряжений.
Предположим что к телу Максвелла в начальный момент времени t=0 приложено некоторое постоянное напряжение ?_0 и деформация зафиксирована. Тогда d? / dt =0 и при t=0 имеем ?_0=E?_?.
На основе (1.13) получаем, что
?=E?_? e^(-t/?)=?_0 e^(-t/?) ,
где ?=? ?E - максвелловское время релаксации. Таким образом, при t>? получаем ?>0. В реальных твердых телах напряжение до нуля не релаксирует.
Вязкоупругие тела так же описываются с помощью уравнения Кельвина-Фохта, которая была независимо предложена Кельвином(1875) и Фохтом(1890). Ее механических аналог представляется в виде параллельно соединенных элементов упругости и вязкости (пружина и демпфер (гидравлический амортизатор)) и изображена на рис. 1.3. При таком соединении элементов деформация каждого из них будет одинакова, а общее напряжение будет складываться из суммы напряжение на каждом из элементов:
?=?_E+?_? (1.14)
Учитывая, что
?_E=E?,?_?=? d?/dt (1.15)
где E и ? - модуль упругости, и коэффициент динамической вязкости соответственно, (1.14) примет вид
?=E?+? d?/dt (1.16)
Тело, определяемое уравнением (1.16), может быть названо телом Кельвина-Фохта.
?
Рис. 1.3. Модель Кельвина - Фохта состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня в цилиндре
Модель Кельвина-Фохта позволяет качественно описать явление упругого последствия, при котором деформация развивается с запаздыванием по отношению к приложенному напряжению.
Предположим, что к телу Кельвина-Фохта в начальный момент времени t=0 приложено некоторое постоянное напряжение ?_0 (в начальный момент времени ?(0)=0). Тогда на основе (1.16) видно, что деформация тела будет возрастать по закону
?=?_0/E (1-e^(-E/? t) )=?_0/E (1-e^(-t/?) ),
где ?=??E –время релаксации ( запаздывания), в течении которого происходит затухание напряжений. При t>? получаем ?>?_0?E, т.е. деформация определяется удлинением пружины. Снятие напряжения ведет к убыванию деформации до нуля по экспоненциальному закону.
Уравнения Максвелла и Кельвина-Фохта соответствуют комбинированным механическим моделям, в которых образец из вязкоупругого материала представляется в виде двух последовательно соединённых элементов - упругой пружины и вязкого демпфера, представляющего собой поршень в цилиндре, заполненном вязкой жидкостью (маслом). При движении поршня вязкая жидкость просачивается через узкий зазор между поршнем и стенкой цилиндра, что и обеспечивает вязкое сопротивление движению.
При растяжении цилиндрического образца вязкоупругие свойства проявляются как сильное влияние скорости деформирования на зависимость ? от ? (кривая растяжения, изображена на рис. 1.4.-а), увеличение со временем t деформации ? при постоянном напряжении ? (ползучесть, изображена на рис.1.4.-б), уменьшение со временем t напряжения ? в растянутом и зафиксированном образце (релаксация, изображена на рис. 1.4. в).
Рис. 1.4. Вязкоупругие свойства цилиндрического образца при растяжении: а -влияние скорости деформирования ? на зависимость ?(?); б - ползучесть; в - релаксация
Существующие молекулярные теории дают лишь грубую, качественную картину механизма вязкоупругого поведения твёрдого тела. В полимерах большинство длинных цепных молекул находится в полусвёрнутом состоянии; растягивающее напряжение стремится выпрямить молекулу и сориентировать её параллельно направлению растягивающей силы. При этом часть молекул быстро достигает такого состояния, в то время как другая часть распрямляется замедленно (высокоэластическая деформация). Кроме того, может возникнуть течение материала, связанное с проскальзыванием одних цепей молекул относительно других. В резине и резиноподобных эластомерах длинные цепные молекулы уложены менее плотно, чем в полимерах, поэтому они могут свиваться и распрямляться относительно свободно, что и позволяет резине выдерживать огромные механические деформации.
Интерес к вязкоупругому поведению твёрдого тела связан с широким использованием полимеров, пластмасс, асфальтовых покрытий, твёрдого топлива ракетных двигателей и др. Теория вязкоупругости является важной частью реологии.
Для описания свойств пористых сред применяют различные модели. По предмету описания все модели можно разделить на два класса: первые моделируют структуру пространства пор, вторые - структуру скелета пористого тела. Эти два класса моделей взаимно дополняют друг друга.
К первому классу относятся модели, заменяющие сложное пространство пор совокупностью характерных элементов- пор определенной формы и размера.
Ко второму классу относятся модели, представляющие скелет пористого тела в виде некоторой укладки твердых частиц простейшей формы. Например, тела корпускулярного строения естественно моделировать укладками глобулярных частиц, а волокнистые материалы –совокупностью нитей.
При описании процессов, протекающих в порах, предпочтительнее использовать модели первого класса, а при описании физико-химических свойств пористых материалов ( прочности, упругости и т.д.) – второго класса. Модели второго класса более наглядны, так как большинство пористых материалов образовано частицами второй формы.
Использование различных моделей при рассмотрении пространства пор и скелета пористого материала приводит к задаче о соответствии моделей второго класса моделям первого класса, что позволяет создать единую модель пористой среды, пригодную для описания как свойств пространства пор, так и свойств скелета.
Некоторые модели распространения акустических волн в пористой среде
Исторически сформировались два подхода к описанию механики насыщенных пористо-упругих сред, которые интенсивно развиваются и в настоящее время. Один из них связан с именем Fillunger и основан на аксиоме о несмешивающихся взаимопроникающих континуумах с внутренним взаимодействием. Второй подход связан с именем Von Terzaghi , который описал консолидацию грунта, т.е. процесс осадки пористой, деформируемой среды, содержащей вязкую жидкость, под действием нагрузки [7].
Несмотря на взаимную непримиримую критику работ по механике грунтов, выдающиеся ученые Fillunger P. и Von Terzaghi считаются основоположниками первых теорий пористых сред. Они исследовали такие механические эффекты в насыщенных средах как капиллярность, трение поровой жидкости при движении относительно пористого скелета, повышение давления в поровой жидкости [7].
Первые работы, посвященные исследованию распространения волн в насыщенных пористых средах, возникли в научных дискуссиях на тему обнаруженного в 1939 году А.Г. Ивановым электросейсмического эффекта в поверхностных слоях почвы в результате распространения упругих волн.
Первую математическую модель распространения упругих волн в насыщенных жидкостью пористых средах создал Френкель Я.И. В теории Френкеля Я.И. поведение пористого скелета описывается линейным соотношением упругости, а сила межфазного взаимодействия представляется в виде стационарной силы вязкого трения. Получена система уравнений движения насыщенной пористой среды, впервые показана возможность существования в такой среде двух типов продольных волн [37].
Дальнейшее развитие теория насыщенных пористых сред получила в многочисленных работах Biot М.А. В работе 1941 года, посвященной консолидации грунта, Biot М.А. развил линейную теорию деформации упругой пористой среды, содержащей вязкую жидкость. Рассматривалась статистически изотропная среда.
Для описания распространения продольных волн в насыщенной изотропной упругой пористой среде, используя общие принципы термодинамики необратимых процессов, Biot М.А. получил линейную систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно деформации твердого тела и жидкости. Зависимости фазовой скорости и коэффициента затухания от частоты Biot М.А. получил как для низкочастотной области (для случая, когда течение жидкости в порах является пуазейлевым), так и для высокочастотной области (в этом случае течение жидкости в порах является непуазейлевым).
Показано, что в насыщенных пористых средах распространяются сразу три волны: одна поперечная волна и две продольные волны (первого и второго рода). Biot М.А. продольные волны назвал соответственно быстрой и медленной. В быстрой волне движение флюида и скелета направлено в одну сторону, а в медленной – в разные стороны.
Biot М.А. ввел также понятие критической частоты ( – кинематическая вязкость жидкости, – характерный размер пор). При частотах меньших на течение жидкости большее влияние оказывает вязкостное трение между жидкостью и скелетом, а при частотах больших значительное влияние на течение жидкости оказывает ее инерция.
В работах Biot М.А. при описании распространения акустических волн в пористых средах учитывается эффект анизотропии и вязкоупругие свойства среды. Вводится понятие «вязко-динамического оператора», который позволяет более детально описать динамику жидкости при ее движении относительно скелета. «Вязко-динамический оператор» определяется отдельно для низкочастотных и высокочастотных волн. Выполнен анализ различных диссипативных моделей, в том числе, вязкоупругой диссипации.
Большой интерес представляет процесс прохождения акустических волн через границу раздела двух сред с различными свойствами. В работе Deresiewicz H., Skalak R. приведены граничные условия на поверхности раздела между двумя пористыми средами, обеспечивающие единственность решения систем уравнений Био для насыщенных жидкостью пористых сред. Также исследованы частные случаи герметичного упругого тела или жидкой среды в контакте с насыщенным пористым телом.
