ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ
АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
1.1. Алгоритмическая культура как показатель качества
математического образования младших школьников
В российском школьном математическом образовании понятие алго-ритма появилось недавно, хотя каждый его раздел содержит алгоритмы. Инициатором введения алгоритмической линии в математику начальной школы был Н.Я. Виленкин (1920-1991), известный советский математик, автор научно-популярных книг и учебников по математике для средней школы.
Еще в 70-е годы ХХ в. он утверждал, что в век «умных машин» детей нужно с начальной школы готовить к работе с ними. Эта подготовка, по его мнению, должна заключаться в формировании алгоритмического мышления. Н.Я. Виленкиным уже тогда были созданы учебники по математике для начальной школы, в которых рассматривались понятия «операция», «программа», «алгоритм» [Виленкин, 1988, с. 36].
В настоящее время Федеральный образовательный стандарт начального общего образования (далее ФГОС НОО) впервые в истории российского начального математического образования ввел понятие алгоритма в обучение математике и поставили задачу обеспечить «овладение основами … алгоритмического мышления; … записи и выполнения алгоритмов; … умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы». Кроме того, в учебных планах начальной школы появился новый учебный предмет «Информатика», для которого понятие алгоритма является одним из базовых понятий. Математика и информатика согласно ФГОС НОО составляют одну образовательную область и могут быть представлены одним учебным предметом или двумя [Федеральный государственный …, 2010, с. 18].
Алгоритм – это фундаментальное математическое понятие, продукт человеческой деятельности. Это особый способ описания после-довательности операций для осуществления процессов решения задач человеком или машиной. Алгоритм – также способ удержания информации о действиях, обеспечивающих повторяемость процессов перехода от исходного состояния некоторого объекта к конечному, от исходных данных к искомым результатам.
Алгоритм – точное, понятное предписание о том, какие действия и в каком порядке необходимо выполнять, чтобы решить любую задачу из данного класса однотипных задач.
Любой алгоритм есть описание общего способа решения. Поэтому конкретный алгоритм может быть содержательно понят, принят и даже изобретен учеником только в связи с решением им проблемы отыскания этого общего способа. А алгоритмическая линия обучения математике может быть реализована только тогда, когда учитель овладеет ее по-нятиями.
С.Е. Царева выделяет следующие виды алгоритмов: линейные и раз-ветвленные, без циклов и циклические.
Основные способы задания алгоритмов, используемые в начальном курсе математики:
а) словесное предписание (в виде «памятки» или инструкции, перечня шагов);
б) образец выполнения;
в) блок-схема [Царева, 2014, с. 150].
Термин «алгоритм» в математике закрепился в связи с проблемой пошагового описания общего метода решения.
Проблема формирования алгоритмической культуры учащихся в образовательном процессе всегда актуальна.
А.Д. Александров указывает, что под алгоритмической культурой принято понимать совокупность специфических «алгоритмических» представлений, умений и навыков, которые на современной этапе развития общества должны составлять часть общей культуры каждого человека и, следовательно, определять целенаправленный компонент общего школьного образования.
Известно, что понятие алгоритма является общенаучным. Оно используется не только в программировании, кибернетике, но и лингвистике, в технических и других науках. Это и определяет его большую дидактическую ценность.
Идея алгоритма является одной из важнейших и закладываться она должна в школе. На это указывали многие известные ученые Б.В. Енеденко, В.А. Успенский и др. «Умение использовать алгоритмы является весьма важным в человеческой деятельности: в наименьшей степени необходимо человеку и умение составлять алгоритмы. Более того, в последнее время во многих областях человеческой деятельности, и особенно в деятельности, связанной с решением нестандартных задач, используются так называемые эвристические алгоритмы. Поэтому работа с различными алгоритмами (их выявление, составление, исполнение) является исключительно важной для человека. Способность к этой работе и нужно развивать как можно раньше» [Успенский, 1987, с. 158].
Согласно другому определению, которое дал В.П. Беспалько, «под алгоритмом понимают точное, общепонятное описание определенной последовательности интеллектуальных операций, необходимых и достаточных для решения любой из задач, принадлежащих к некоторому классу» [Беспалько, 1989, с. 79].
В математическом обиходе под алгоритмом принято понимать «точное предписание, определяющее вычислительный процесс, ведущий от варьируемых исходных данных к искомому результату», считают А.В. Белошистая, В.В. Левитес [Белошистая, 2006, с. 17].
Л.Н. Ланда определяет алгоритм, как правило, предписывающее последовательность элементарных действий (операций), которые в силу их простоты однозначно понимаются и исполняются всеми. Алгоритм – это система указаний (предписаний) об этих действиях, о том, какие из них и как надо производить.
Одним из главных условий успешной реализации принципа прикладной направленности в обучении математическим дисциплинам в обучении является повышение алгоритмической культуры с учетом основных тенденций практики использования информационных технологий в современном обществе. Алгоритмическая культура является той частью математической культуры, которая способствует формированию и развитию специальных представлений, связанных с понятием алгоритма.
А.Д. Александров считает «Ведущая роль в формировании алгоритмической культуры учащихся принадлежит математике, в процессе изучения которой алгоритмические и различные операционные действия, формирование умений действовать по данному алгоритму и составлять новые алгоритмы относятся к числу важнейших составляющих содержания деятельности обучения математике. Поэтому к числу ведущих содержательно¬методических линий обучения математике относится и алгоритмическая. Вполне естественно, это обстоятельство, должно непосредственно сказаться и на курсе математики для учащихся начальной школы. Однако, как показывает практика, в программах и учебниках математики для младших школьников, методических пособиях для учителей недостаточно отражены вопросы, связанные с пропедевтикой основных элементов алгоритмической культуры учащихся». Особенно ярко это проявляется в процессе обучения математики средствами УМК «Школа России».
Л.С. Юнева дает следующее понятие: «Алгоритм (происходит от имени среднеазиатского ученого IX в. аль-Хорезми) – способ (программа) решения вычислительных и других задач, точно показывающих, как и в какой последовательности получить результат, который однозначно определяется исходными данными» [Юнева, 2015, с. 207].
К основным свойствам, присущим каждому алгоритму относится следующее:
– дискретность – алгоритм должен представлять собой процесс решения задачи как последовательности элементарных (или ранее определенных) шагов действий следующих друг за другом. Каждое действие, предусмотренное алгоритмом, исполняется только после того, как закончилось выполнение предыдущего;
– детерминированность – каждое действие алгоритма должно быть четким, однозначным и не оставлять исполнителю никакой свободы выбора;
– результативность – алгоритм должен приводить к решению любую задачу из данного класса задач за конечное число шагов;
– массовость – алгоритм предназначен не для решения одной конкретной задачи, а для решения любой задачи из данного класса однотипных задач».
Кроме алгоритмов для нахождения общего способа решения задачи данного класса однотипных задач на практике часто используются правила, которые напоминают собой свернутые алгоритмы.
Обычно в правилах четко не выделяются шаги алгоритма или же не задается строгая их последовательность, приводящая к решению задачи (в этом смысле они не обладают свойствами детерминированности и дискретности).
Любой алгоритм можно считать правилом, однако не всякое правило, как мы показали, является алгоритмом.
М.Ю. Шуба указывает, что в начальном курсе математики многие алгоритмы сформулированы в лаконичной форме в виде правил, не выделяя последовательность шагов и операции. Поэтому учащиеся, безошибочно формируют правило, часто затрудняются применять его в различных учебных ситуациях.
Возникает необходимость планирования работы по развитию у младших школьников умений определять элементарные шаги собственных действий, планировать свою деятельность. Л.С Юнева показывает, что «это способствует формированию у детей алгоритмической последовательности выполняемых операций и шагов, быстрому развитию умений выполнять соответствующие действия». Сказанное подтверждает необходимость целенаправленной подготовки учащихся не только действовать по заданному алгоритму, но к их составлению, что относится к числу важнейших условий формирования элементов алгоритмической культуры у младших школьников [Юнева, 2015, с. 208].
И.И. Аргинская уточняет: «Алгоритмическая культура учащихся характеризуется умением учащегося анализировать, моделировать явления и события, интерпретировать различные ситуации их совокупностью взаимосвязанных составляющих, формулировать предписание, выполнение которого приводит к решению задачи».
«Выделение детьми причинно-следственных связей в составе некоторой математической целостности, определение логической последовательности своих действий по временным параметрам, способность к операционной, деятельностной реализации плана выполнения математического задания составляет суть алгоритмической культуры», – по мнению А.Д. Александров.
С учетом сказанного можно выделить умения, входящие в понятие алгоритмической культуры, которое дает Г.Г. Шмырева:
«1) умение действовать по данному алгоритму безошибочно;
2) умение «открывать» алгоритм;
3) наглядно представлять, изображать алгоритмы;
4) переходить от развернутых действий к свернутым и наоборот;
5) находить более рациональные алгоритмы;
6) расчленять сложную задачу на более простые;
7) умение обосновать полученный алгоритм;
8) видеть взаимосвязь алгоритмов».
Анализ психолого-педагогической и методической литературы позволил нам установить, что ведущей теорией, которая составляет основу формирования алгоритмической культуры, является теория поэтапного формирования умственных действий, разработанных в трудах П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной и др. Основываясь на данную теорию, рассмотрим этапы формирования алгоритмической культуры у учащихся, которую предложил З.А. Анипченко:
«1 этап – мотивация «открытия» алгоритма. Основная цель этого этапа – актуализация у учащихся знаний, необходимых и достаточных для составления рассматриваемого алгоритма, показ необходимости его введения для решения практических задач;
2 этап – введение алгоритма. Цель этапа – подведение учащихся «открытию» нужного алгоритма, его формулировка.
3 этап – усвоение алгоритма. Главная цель этого этапа состоит в отработке операций, входящих в алгоритм, и усвоение их последовательности.
4 этап – применение алгоритма. Цель – отработка алгоритма в знакомых ситуациях и незнакомых ситуациях».
Рассмотрим реализацию этих этапов на примере формирования у учащихся алгоритма деления с остатком.
Вначале ученикам можно предложить решать примеры типа: 15 : 5, 28 : 7, 10 : 4.
Первые два они могут решить, используя знания таблицы умноже-ния, а при решении последнего примера возникает проблемная ситуации, связанная с дефицитом имеющихся у учащихся знаний. Здесь возникает потребность выяснить, как же можно решить этот пример.
Путем анализа ситуации они находят новый способ выполнения этого задания: нужно нарисовать 10 точек, обвести их по 4. В результате находят ответ – частное 2 и еще 2 точки оказались лишними.
Далее решая несколько аналогичных примеров, учащиеся открывают новый способ выполнения действия.
На следующем этапе ученикам предлагается выполнить следующие задания: 9 : 4; 8 : 5; 47 : 6.
Выполняя их, они обнаруживают, что новый способ действия не удобен для решения примеров с большими числами.
Здесь нужно отмечать большое количество точек. Отсюда возникает необходимость нахождения более эффективного способа действия. В рассматриваемой ситуации целесообразным является не предложение учащимся готовой формулы выполнения ориентировочной основы действия, а составление ее самими учащимися самостоятельно или под опосредованным руководством учителя. Здесь учитель косвенно направляет деятельность детей для подведения их к формулировке алгоритма. А задача учащихся состоит в определении действий, необходимых для разрешения поставленной проблемы, затем формулировке своих действий в виде алгоритма.
Такой подход позволяет приводить изучаемый материал в строгую логическую систему. Учащиеся путем проб и ошибок в ходе специально организованной деятельности (обмена мнениями, анализа, сравнения, обсуждения, идеями, версиями и т.д.) составляют алгоритм выполнения деления с остатком:
1. Находим небольшое число, меньшее делителя, которое делится на делитель без остатка;
2. Разделим данное число на делитель. Это будет значение частного;
3. Оставшаяся часть делимого – это остаток;
4. Проверим, остаток должен быть меньше, чем делитель.
Все выявленные учащимися операции необходимо располагать в строгой последовательности. Выполнение каждой операции возможно только после выполнения предыдущей. Выполнив все операции, ученики решают поставленную задачу.
Формирование алгоритмической культуры у младших школьников на основе поэтапной организации этого процесса, способствует активному развитию интеллектуальных способностей учащихся, более прочному усвоению математических знаний, более качественной подготовке их к продолжению обучения в основной школе.
Таким образом, под алгоритмической культурой будем понимать совокупность специфических представлений, умений и навыков, связанных с понятием алгоритма, формами и способами его задания.
1.2. Изучение алгоритмов курса математики начальной школы
Алгоритмы начального курса математики С.Е. Царева группирует по разделам математики, представленным в курсе математики начальной школы:
1) арифметические алгоритмы («Числа. Арифметические действия»);
2) алгебраические алгоритмы («Математические выражения, равен-ства, неравенства, уравнения»);
3) геометрические алгоритмы («Пространственные отношения. Геометрические фигуры»);
4) алгоритмы, относящиеся к величинам («Величины и их измере-ние») [Царева, 2014, с. 156].
К арифметическим алгоритмам относят:
– алгоритмы письма: алгоритмы написания математических знаков – цифр, знаков арифметических действий, скобок;
– алгоритмы определения числа объектов в группе (счет);
– алгоритмы записи и чтения натуральных чисел в десятичной системе счисления;
– алгоритмы сравнения натуральных, дробных чисел;
– алгоритмы арифметических действий с натуральными числами, с дробными числами (вычислительные алгоритмы, вычислительные приемы, алгоритмы нахождения значений выражений «в одно действие»);
– алгоритмы арифметического решения некоторых видов приклад-ных (текстовых сюжетных) задач.
К алгебраически алгоритмам относятся:
– чтение математических выражений;
– вычисления значений числовых и буквенных выражений поданным значениям букв;
– сравнений числовых и буквенных выражений;
– преобразование выражений;
– решения уравнений и неравенств с переменной;
– составление уравнения по текстовой задаче.
К геометрическим относят следующие алгоритмы:
– распознавание геометрических фигур;
– распознавание взаимного положения геометрических фигур;
– построение геометрических фигур;
– сравнение (установления сходства и различия; отношений «<», «>», «=» между геометрическими фигурами по длине, площади, объему);
– вычисления значений геометрических величин (длины, площади, объема) фигур и материальных тел.
Алгоритмы, относящиеся к величинам включают:
– алгоритмы сравнения (в том числе измерения) предметов, процессов, иных объектов по величине – длине, площади, объему, массе, времени, скорости, величине угла;
– алгоритмы перевода значений величин из одних единиц в другие;
– алгоритмы арифметических действий со значениями величин.
Существуют различные подходы к реализации алгоритмической линии в обучении младших школьников математике. По характеру пред-ставления в них понятия алгоритма можно выделить три подхода к формированию зачатков алгоритмической культуры. В соответствии с каждым из них при обучении математике достигается некоторый уровень умений читать алгоритмы, выполнять его команды, разделять процесс решения конкретной задачи на последовательность операций и обобщать эту последовательность (первоначально с помощью учителя) в пошаговое описание общего способа решения, т.е. в алгоритмическое описание.
При движении по каждому пути может быть достигнуто понимание учащимися того, что:
а) пошаговое описание общего способа выполнения работы, решения каких-либо задач (т.е. алгоритмическое описание) помогает успешно выполнять аналогичную работу, решать подобные задачи даже в случае, когда смысл выполняемых действий не очень понятен;
б) такое описание позволяет передавать способы решения другим людям, которые также смогут решать подобные задачи.
Далее дана характеристика каждого пути.
Первый путь (специальная тема не предусмотрена). Понятие алго-ритма и алгоритмическая терминология используются учителем как дидактическое средство формирования вычислительных умений, решения уравнений, сравнения объектов по различным основаниям-по различным величинам без измерения и с помощью прямого и косвенного измерения длины (площади, объема, времени и т.п.), построения отрезков заданной длины, нахождения значений числовых выражений и т.п. При изучении основных алгоритмов начального курса математики обобщенное понятие алгоритма является формой представления способов математических действий, в том числе арифметических, которые должны быть освоены согласно требованиям ФГОС НОО на требуемом уровне.
