1. Понятие пространства состояний
К многомерным системам относятся такие системы, у которых имеется несколько управляемых и управляющих величин. Например, системы автоматического регулирования частоты вращения двигателей переменного тока, системы регулирования напряжения и частоты синхронного генератора, системы управления промышленными роботами, системы управления подвижными объектами.
При исследовании многомерных систем пользуются методами пространства состояний. В отличие от подхода основанного на использовании структурных схем и передаточных функций использование метода пространства состояний основано на возможности описания поведения системы некоторым количеством дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния с начальными условиями. Понятие состояния, лежащее в основе современного подхода к описанию поведения динамических систем, было впервые введено Тьюрингом в 1936 г. Позднее это понятие было использовано Шенноном в его работах по теории информации.
Многомерная система предполагает наличие многомерного объекта управления, который характеризуется входными и выходными переменными, к которым относятся:
) входные переменные, представляющие сигналы, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой, и влияющие на ее поведение. Входные переменные разделяются на управляющие переменные, задаваемые вектором U:
=(u1 , u2 ,...uk )T , (1.1)
и возмущающие воздействия, задаваемые вектором f :
=(f1 , f 2 ,... fl )T , (1.2)
) выходные или регулируемые переменные, задаваемые вектором регулируемых величин y:
=(y1 , y2 ,...ym )T , (1.3)
) переменные (обобщенные координаты) состояния или промежуточные переменные, задаваемые вектором обобщенных координат x
= (x1 , x2 ,...xn )T (1.4)
Переменные многомерного объекта являются векторными величинами, зависящими от времени, а сам объект может быть структурой рис. 1.1.
Рис.1.1
передаточный функция многомерный система
Согласно понятию векторного пространства множество всех значений, которые может принять вектор управления Uв момент времени t , образует пространство управляющих величин. Аналогично, множество всех значений, которое могут принимать векторы возмущений f , регулируемых величин y и обобщенных координат x в момент времени t , образуют пространство возмущающих воздействий, пространство регулируемых величин и пространство состояний системы.
В любой момент времени t состояние системы является функцией начального состояния x (t0) и вектора входных величин.
Вектор регулируемых величин в момент t является также функцией начального состояния x0 (t0) и вектора входных величин U(t0 ,t) и f(t0 ,t) и может быть записан как
(t) =?x(t 0 ); u(t0 ,t); f(t) (1.5)
Уравнение (1.5) называют уравнением состояния системы. Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями, уравнения могут быть записаны в следующем виде:
(1.6)
Для линейных систем уравнения состояния сводятся к следующим:
(1.7)
Уравнение (1.6) и (1.7) устанавливает взаимосвязь между входными (управляющими и возмущающими) и выходными (фазовыми) координатами объекта, определяемую видом функций F[x(t);u(t);f(t)] и ?[x(t);u(t);f(t)], а также позволяет описать процесс движения системы в пространстве состояний, как результат решения векторного дифференциального уравнения (1.6) или (1.7).
2. Понятие матрицы передаточной функции
Введение векторных переменных позволяет для линейных систем использовать привычный аппарат передаточных функций и структурных схем, однако понятие передаточной функции значительно расширяется.
Пусть имеется многомерная система управления со структурной схемой показанной на рис. 1.2. и системой дифференциальных уравнений, записанных в символической форме.
