Войти в мой кабинет
Регистрация
ГОТОВЫЕ РАБОТЫ / КУРСОВАЯ РАБОТА, ПЕДАГОГИКА

Применение логарифмических и показательных функций в задачах естествознания.

irina_k20 384 руб. КУПИТЬ ЭТУ РАБОТУ
Страниц: 32 Заказ написания работы может стоить дешевле
Оригинальность: неизвестно После покупки вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100% с помощью сервиса
Размещено: 16.06.2020
Курсовая работа на тему:"Применение логарифмических и показательных функций в задачах естествознания."
Введение

«Вряд ли мне следует объяснять, что одна из важнейших задач математики – помощь другим наукам. Стало уже общепринятым утверждение, что быстрее всего развиваются науки, фундаментальные результаты которых могут быть сформулированы математически. Использую математические методы, выводят важнейшие следствия, которые иным способом вряд ли можно было бы получить. Одно это, не говоря уже о других аспектах, оправдывает претензии математики на титул Королевы Наук». Морделл Л. Темой моей курсовой работы стало-Применение логарифмических и показательной функции в задачах естествознания. В курсе математики средней и старшей школы мы получаем большой объём математических знаний. Порой многие понятия курса алгебры и математического анализа 10-11 классов носят абстрактный характер, и мы задаёмся вопросом: «А где применяются те знания, которые мы получаем на уроках математики?» Так возникла идея: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая и показательная функции. Задавшись интересом, я провела большую исследовательскую работу и выяснила, что логарифмы, логарифмическая и показательная функции имеют прикладное значение в следующих областях естествознания: физике, химии, биологии, географии, астрономии, а так же экономике банковского дела и производства.
Содержание

1. Введение 3 1. Понятие логарифмической функции и ее история 4 1.1 Понятие логарифмической функции 4 1.2 История логарифмической функции 6 2. Методы решения логических задач 9 2.1 Логические операции 9 2.2 Универсальный способ решения логических задач 12 2.3 Другие способы решения логических задач 13 3. Решение задач различными методами 14 3.1 Решение логических задач универсальным способом и табличным методом 14 3.2 Решение задач при помощи рассуждения 18 3.3 Метод графов 20 3.4 Математический бильярд 22 4. Заключение 24 5. Список литературы 25
Список литературы

Отрывок из работы

1.1 История возникновения логарифма. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи. В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Логарифмом числа x называют показатель степени y, в которую надо возвести некоторое фиксированное число a, чтобы получить исходное число x: ay=x. Записывают: y = loga x. Уже спустя 5 лет, в 1619 г., лондонский учитель математики Джон Спайделл переиздал таблицы Непера, преобразованные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов (хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил). Термин «натуральный логарифм» предложил итальянский математик Пьетро Менголи в середине XVI век И только в ХХ веке Владимир Модестович Брадис придумал способ, позволяющий до минимума сократить утомительные расчеты. Выбрать наиболее необходимые для инженерных расчетов функции, один раз посчитать их значения с приемлемой точностью в широком интервале аргументов. А результаты расчетов представить в виде таблиц. Кропотливых расчетов В.М. Брадису предстояло проделать много. Но они экономили массу времени всем последующим пользователям его таблиц. Банковские расчёты В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять ранее, чем через год) принята следующая система начисления денег на сумму, внесённую в банк. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от вида вклада. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги - “проценты”, как их обычно называют. Если же он этого не сделал, то они капитализируются, т. е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Коротко говорят, что при такой системе начисляются “проценты на проценты”. В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах. Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 5 лет, если он положил на счёт в банк 1500 р. И ни разу не будет брать деньги со счёта, а тем временем сумма будет ежегодно увеличиваться на 10%: 10% от этой суммы составляют 0,1 1500 = 150р., и, следовательно, через год на его счёте будет 1500 + 150 = 1650 р. 10% от новой суммы составляют 0,1 1650 = 165 р., и, следовательно, через два года на его счёте будет 1650 + 165 = 1815 р. 10% от новой суммы составляют 0,1 1815 = 181,5 р., и, следовательно, через три года на его счёте будет 1815 + 181,5 = 1996,5 р. Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, “лобовом” подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 5 лет. Между тем этот подсчёт можно провести значительно более просто. Именно, через год начальная сумма 1500 увеличится на 10%, и поэтому новая сумма составит 110% от начальной, так что начальная сумма увеличится в 1,1 раза. Но в следующем году именно новая, увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%, т. е. снова увеличится в 1,1 раза. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 = 1,1 раза. Но ещё через год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 = 1,1 раза. Поскольку 1,1 = 1,331; 1,331 1500 = 1996,5, то через 3 года на счёте окажется 1996,5 р. При таком способе рассуждений совершенно понятно, что через 5 лет на счёте будет 1,1 1500 = 1,61051 1500 2415,77 р. Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна S р. p% от S составляют р., и через год на счёте окажется сумма S = S + = S, т. е. начальная сумма увеличилась в 1 + раз. За следующий год сумма S увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма S = S = S = S. Аналогично, S = S и т. д. Другими словами справедливо равенство S = S. Это равенство называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов. Пусть вкладчик положил в банк 10.000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится? Сначала давайте поймём, как будут накапливаться деньги. Через год на счету вкладчика будет сумма: 10.000 + 10.000 (руб.), т. е. исходная сумма плюс проценты. Ещё через год эта сумма составит + (руб.), т. е. сумма денег после первого года и проценты от денег первого года. Ясно, что дальше всё будет происходить по этой же схеме, однако не складывать же нам все эти суммы до тех пор, пока не получим сумму в 20.000 руб.! Попробуем найти закон образования суммы вклада после каждого года. После первого года: 10.000 + 1.000 = 10.000 . После второго года: 10.000 + 10.000 = 10.000 = =10.000 . После третьего года: 10.000 + 10.000 = 10.000 = 10.000 . Внимательно присмотревшись к правым частям наших равенств, можно заметить закономерность построения этих денежных сумм и увидеть, что через n лет хранения денег их количество составит 10.000 рублей. На самом деле мы сейчас вывели формулу, которая в экономике называется формулой сложных процентов: S = A , где A – начальная сумма вклада, P – процентная ставка (годовая), n – срок хранения вклада (в годах), а S – накопительная (итоговая) сумма вклада. Итак, в нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле S = = . Нам необходимо найти n, при котором = = , т. е. решить уравнение = . Мы можем решить это уравнение по определению логарифма числа и получить, что n = log. Вычислим этот логарифм, предварительно перейдя к основанию 10, пользуясь калькулятором. n = log = = . Таким образом, удвоение вклада произойдёт через 6 лет (с небольшим). Рассмотрим этот же пример, но в общем виде. Некоторая сумма денег в A руб. подвержена приросту в p% годовых. Через сколько лет эта сумма составит S руб.? Руководствуясь формулой сложных процентов, имеем уравнение относительно неизвестного n: S = A . Логарифмируя это уравнение по основанию 10 (так как видели, именно с этим основанием удобно работать в случаях с прямыми подсчётами), получим: lg S = lg , lg S = lg A + lg , lg S – lg A = n lg , откуда n = . Хочется обратить внимание на то, что умение проводить такие расчёты является очень важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с принятием оптимального решения. Однако мы рассмотрели примеры, когда деньги просто положены под проценты, причём неважно: в банк, в производство и т. д. Но реальные ситуации проводимых операций с деньгами намного более сложные, поэтому посмотрим пример с небольшим усложнением. Пенсионер 1 января положил на вклад все свои сбережения – 150.000 руб. под 5% годовых. Он намеревается каждый год 31 декабря снимать с вклада по 25 тыс. руб. На протяжении какого периода времени он это может делать? Рассмотрим сначала ситуацию в общем виде. Пусть A – исходная сумма, S – снимаемая сумма ежегодно, P – процентная ставка. Тогда через год на счету будет A , а после снятия денег A ; через два года: , или A ; через три года: , или A ; через четыре года: , или A и т. д. Получается, что после снятия в конце года денег на вкладе остаётся сумма в количестве A руб. Сумма представляет собой конечную геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем , а значит, эта сумма равна = Тогда в итоге получаем - закон образования суммы в конце каждого года после съёма денег с вклада. В нашем случае получаем: , и нам необходимо найти, при каком значении n эта сумма станет равной нулю. ; = ; ; ; ; ; ; ; . Таким образом, выполнение денежных операций в полном объёме возможно на протяжении 7 лет. Усложним задачу и попробуем определить условия выплаты по банковскому вкладу (с учётом «процентов на проценты»), если клиент банка хочет забрать вклад не в конце года, когда ему должны выплатить p% годовых, а, скажем, через 8 месяцев. Эти условия должны быть “справедливыми”: ведь весь этот срок банк уже вкладывал куда-то деньги клиента и получал определенную прибыль, и поэтому сумма на счете клиента также должна возрасти на какую-то часть. Но на какую именно? Математический ответ на этот вопрос дают расчеты все по той же формуле сложных процентов. Пусть за каждые 8 месяцев сумма S возрастает на q%. Тогда через 8 месяцев она станет равной S , через 16 месяцев – S , а ещё через 8 месяцев, т. е. за 24 месяца (за 3 срока) она станет равной S . Однако 24 месяца – это 2 года, и по условию хранения вклада (p% годовых) сумма на счете должна оказаться равной S . Поэтому должно выполняться равенство S = S , из которого можно найти коэффициент возрастания вклада за 8 месяцев: = . Если воспользоваться данным выше определением дробной степени, то мы будем иметь равенство = , и, следовательно, на счёте вкладчика через 8 месяцев должна оказаться сумма S = S . Другими словами, через года сумма на счёте увеличивается в раз. Данные рассуждения позволяют сделать вывод: формулу сложных процентов можно применять не только для целого числа лет, но и для любого срока хранения вклада. Например, можно рассчитать месячный процент при объявленных банком p% годовых: через 1 месяц начальная сумма S на счёте должна превратиться в S , т. е. увеличиться в раз. На практике, однако, часто пользуются более простым расчётом и при p% годовых (с учётом “процентов на проценты”) за 1 месяц выплачивают %. Возникает очень интересный практический вопрос – кто выигрывает от такого упрощения: банк или вкладчик? Ответить на этот вопрос дает возможность так называемое неравенство Бернулли, из которого, в частности, следует, что для любых x>0 и любого 0 < r < 1 справедливо неравенство < 1+rx. При x = и r = получаем, что < 1+ . Следовательно, в этом случае реальный рост суммы вклада за месяц несколько больше, чем объявленный банком, и поэтому от такого упрощения расчётов выигрывает клиент банка. В то же время на самом деле можно было обойтись и без неравенства Бернулли. Действительно, если бы за 1 месяц банк выплачивал %, то при простом процентном росте за 12 месяцев он должен был бы выплатить как раз p%, т. е. сумма на счёте составила бы, естественно, больше. География «Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как учёные изучают природные и социальные явления». Колмогоров А.Н. Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчёты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд. Покажем, как в таких расчётах применяются показательная функция и логарифмы. Задача №1. Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 1,5 раза? Решение. Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: Примем население города за a, тогда А = 1,5а, p = 3 и x – неизвестно. Сделав подстановку в формулу и сократив на а, получим: или Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его. xlg1,03 = lg1,5 , откуда x = Найдя по таблице lg1,5 и lg1,03 , получим Ответ: Примерно через 14 лет. Задача №2. Какова была численность населения города 10 лет тому назад, если в настоящее время в городе проживает 300 тыс. человек, а ежегодный прирост населения составляет 3,5%? Решение. Численность населения изменяется по формуле: В нашей задаче B = 300 тыс. человек, p = 3,5 %, x = 10 лет, - численность населения 10 лет тому назад. Тогда тысяч человек. Ответ: численность населения 10 лет назад равна 212,7 тыс. человек. Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря. Задача №3. Зависимость давления атмосферы р (в сантиметрах ртутного столба) от выраженной в километрах высоты h над уровнем моря выражается формулой Вычислим, каким будет атмосферное давление на вершине Эльбруса, высоты которой 5,6 км?
Не смогли найти подходящую работу?
Вы можете заказать учебную работу от 100 рублей у наших авторов.
Оформите заказ и авторы начнут откликаться уже через 5 мин!
Служба поддержки сервиса
+7(499)346-70-08
Принимаем к оплате
Способы оплаты
© «Препод24»

Все права защищены

Разработка движка сайта

/slider/1.jpg /slider/2.jpg /slider/3.jpg /slider/4.jpg /slider/5.jpg