1.3 Определение поверхностного интеграла второго типа
Предваряя определение поверхностного интеграла второго типа, дадим понятие двусторонней и односторонней поверхности.
Если поверхность ограничивает некоторое тело, то у нее различают внешнюю и внутреннюю стороны. Примером такой поверхности является сфера. Если поверхность задана уравнением , то у нее различают верхнюю и нижнюю стороны. Наряду с ними существуют так называемые односторонние поверхности. Сформулируем теперь строгие определения.
Если каждой точке области поставлен в соответствие вектор , то говорят, что в области задано векторное поле. Векторное поле называется непрерывным в области , если его координаты – функции - являются непрерывными в области . Гладкая поверхность в каждой внутренней точке имеет нормаль , причем существует окрестность этой точки, вырезающая часть поверхности, в которой поле нормалей непрерывно.
Если можно задать векторное поле нормалей, непрерывное на всей поверхности, то такая поверхность называется двусторонней (сфера, гиперболоиды). Поверхность, на которой не существует непрерывного векторного поля нормалей, называется односторонней (лист Мёбиуса).
Двусторонняя поверхность характеризуется следующим свойством: для любой точки и для любого замкнутого контура, проходящего по поверхности и не пересекающегося с границей поверхности, выбранное в точке направление нормали, непрерывно меняясь при движении точки по контуру, не изменит своего направления (на противоположное) при возвращении в точку .
На односторонней поверхности существует такой контур, при обходе которого направление нормали изменится на противоположное.
На каждой двусторонней поверхности можно задать два непрерывных поля нормалей, противоположных по направлению: и . Выбор одного из этих полей называется выбором стороны поверхности. Таким образом, двусторонняя поверхность имеет две стороны.
Пусть - гладкая или кусочно гладкая поверхность. Выберем одну из ее сторон, определяемую полем нормалей . Пусть - углы, которые вектор составляет с осями координат , и пусть на поверхности заданы три функции .
Поверхностные интегралы первого типа
, , (1.19) называются поверхностными интегралами второго типа соответственно от функций по выбранной стороне поверхности . Они обозначаются также следующим образом [3, 1, 5]:
, , .
Такие обозначения связаны с тем, что элемент площади можно рассматривать как площадь проекции элемента поверхности с площадью на координатную плоскость , то есть (или в зависимости от знака ) (рис. 1.3) и, аналогично,
Рисунок 1.3 , .
Из определения следует, что поверхностный интеграл второго типа зависит от выбора стороны поверхности. Если взять другую сторону поверхности, то вектор изменит направление на противоположное; поэтому направляющие косинусы вектора , а следовательно, и интегралы изменят знак.
Сумма (1.20)
называется общим поверхностным интегралом второго типа.
Считая, что функции непрерывны на , получаем формулы для вычисления поверхностных интегралов второго типа.
Пусть гладкая двусторонняя поверхность задана параметрически уравнениями , , , , и не имеет особых точек. Выберем ту сторону поверхности, на которой . Тогда:
где , , , (1.21)
определяются по формулам (1.5).
По формуле (1.8) получаем
Аналогично вычисляются и . Тогда:
(1.22)
Если , причем ,
то (1.23)
Если гладкая поверхность задана уравнением , , и выбрана верхняя сторона поверхности, то есть , то , и по формуле (1.9) находим:
(1.21)
Для нижней стороны поверхности имеем , откуда .
Аналогично получаются формулы для вычисления интегралов и , если поверхность задана соответственно уравнением , и уравнением , .
