Войти в мой кабинет
Регистрация
ГОТОВЫЕ РАБОТЫ / КУРСОВАЯ РАБОТА, ИНФОРМАТИКА

Статическая обработка и математический анализ параметров экосистемы в среде MathCad

irina_krut2020 384 руб. КУПИТЬ ЭТУ РАБОТУ
Страниц: 32 Заказ написания работы может стоить дешевле
Оригинальность: неизвестно После покупки вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100% с помощью сервиса
Размещено: 01.04.2020
В данной курсовой работе проводится аппроксимация функции методом наименьших квадратов. Расчеты произведены при помощи программ Microsoft Excel и MathCad. . По окончании выполнения работы необходимо решить, каким методом задача решается лучше всего, а также определить каким средством это легче сделать: посредством Microsoft Excel или Mathcad.1. Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную таблично, аппроксимировать a) линейной функцией ; b) квадратичной функцией ; c) экспоненциальной функцией . 2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности. 3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а). 4. Для каждой зависимости построить линию тренда. 5. Построить график табличной функции и в той же системе координат график аппроксимирующей функции (для каждого вида аппроксимации отдельный рисунок). 6. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию . 7. Решение выполнить с помощью табличного процессора Microsoft Excel и математического пакета MathCad и сравнить полученные результаты.
Введение

Аппроксимация или приближение — метод, который состоит в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми. Основная задача аппроксимации — построение приближенной (аппроксимирующей) функции, в целом наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Такая задача возникает при наличии погрешности в исходных данных или при желании получить упрощенное математическое описание сложной или неизвестной зависимости. Для задачи аппроксимации наиболее часто используется метод наименьших квадратов. Суть метода заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных. Линия тренда – это графическое представление общей закономерности изменения ряда данных. Она может быть добавлена для любого ряда данных на диаграмме с областями, линейчатой диаграмме, гистограмме, графике или точечной диаграмме. При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции. Цель данной курсовой работы – с помощью аппроксимации установить зависимость между выбросами в атмосферу загрязняющих веществ, отходящих от стационарных источников и средней температурой воздуха в год, решить поставленную задачу разными способами, провести расчеты с помощью табличного процессора Microsoft Excel и математического пакета MathCad.
Содержание

Цель курсовой работы 9 Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную таблично,аппроксимировать линейной функцией ; 9 Математические методы и средства решения. 10 В случае экспоненциальной зависимости функция примет вид: 12 Исходные данные 13 Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel. 14 Аппроксимация функции с помощью Excel (графический способ) 21 Аппроксимация с помощью MathCad 25 Заключение 35
Список литературы

Отрывок из работы

Математические методы и средства решения. Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений. При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений: x x1 x2 … xi … xn y y1 y2 … yi … yn Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых хi (независимая величина) задается экспериментатором, а yi получается в результате опыта. Поэтому эти значения yi будем называть эмпирическими или опытными значениями. Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу ) (1) (где x=xi параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений y=yi. Обычно указывают класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т.п.) из которого выбирается функция f(x) , и далее определяются наилучшие значения параметров. Если в эмпирическую формулу (1) подставить исходные данные xi, то получим теоретические значения . Разности yi-yi называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек Mi до графика эмпирической функции. Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами a1,a2, …., am считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции будет минимальной. (2) Поясним геометрический смысл метода наименьших квадратов. Каждая пара чисел (x,y) из исходной таблицы определяет точку Mi на плоскости XOY. Используя формулу (1) при различных значениях коэффициентов a1,a2, …,am, …, можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (1). Задача состоит в определении коэффициентов Mi(xi,yi),таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек Mi(xi,yi) до графика функции (1) была наименьшей. Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров. Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y , то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых. Определение наилучших коэффициентов a1, a2, …, am, входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами. Для того, чтобы найти набор коэффициентов a1, a2, …, am, которые доставляют минимум функции S , определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов ai (i=1,2,…,m): (3) Таким образом, нахождение коэффициентов сводится к решению системы (3). Эта система упрощается, если эмпирическая формула (1) линейна относительно параметров ai, тогда система (3) - будет линейной. Конкретный вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости система (3) примет вид: Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера). В случае квадратичной зависимости система (3) примет вид: В случае экспоненциальной зависимости функция примет вид: (6) В этом случае нужно вначале линеаризовать формулу (6) с помощью логарифмирования: (7) Введем обозначения: (8) Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные, вводится характеристика – коэффициент детерминированности (9) Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности R^2, который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессивного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями у. в противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений у. Степень связи характеристик xi и yi предлагается оценить с помощью коэффициента корреляции: (10) Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае, когда выполняется равенство R^2=p то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.? Исходные данные Функция y=f(x) задана таблицей 3.1: Таблица3.1-Исходные данные 1 х у 1996 8,07 11,11 1997 9,48 12,53 1998 9,74 15,34 1999 5,07 8,92 2000 8,24 12,82 2001 1,82 7,14 2002 5,97 10,12 2003 0,33 7,2 2004 7,92 15,18 2005 7,66 12,79 2006 0,42 2,96 2007 6,75 13,76 2008 2,12 6,91 2009 3,43 10,08 2010 5,79 9,09 2011 6,42 9,38 2012 0,44 3,54 2013 2,91 9,6 2014 2,27 5,96 2015 7,58 10,74 Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel. 1) Для проведения расчетов, составим расчетную таблицу в Microsoft Excel (таблица 4.1) Таблица 4.1-Расчетная таблица для вычисления сумм в Microsoft Excel. Пояснение к таблице 4.1: 1. В ячейки В2:В21 заносим значения xi. 2. В ячейки С2:С21 заносим значения yi. 3. В ячейку D2 вводим формулу =B2^2 4. В ячейку E2 вводим формулу = B2*C2. 5. В ячейку F2 вводим формулу = B2^3. 6. В ячейку G2 вводим формулу = B2^4. 7. В ячейку H2 вводим формулу =D2*C2 8. В ячейку I2вводим формулу =Ln(C2). 9. В ячейку J2 вводим формулу =B2*I2. 10. Формулы в ячейках D2:J2 скопируем в нижележащие ячейки для всех номеров i 11. В строке с номером 22 вычислим суммы столбцов с именами от B до J. Выполним авто суммирование во втором столбце таблицы, при этом в ячейке B22 получим формулу: =СУММ(B2:B21), а затем скопируем полученную формулу в ячейки этой строки на всю ширину таблицы. 2) Составим и решим систему для вычисления параметров линейной аппроксимации (таблица 4.2) Таблица 4.2 – Вычисления параметров линейной аппроксимации Сформируем матрицу системы в ячейках N28:O29 по формулам: 1. В ячейку N28 введем формулу =А23. 2. В ячейку N29 введем формулу =В22. 3. В ячейку O28 введем формулу =D22. 4. В ячейку O29 введем формулу =В22. Сформируем правую часть системы в ячейках N32:N33 по формулам: 1. В ячейку N32 введем формулу =C22. 2. В ячейку N33 введем формулу =E22. Решение системы: 1. Составим обратную матрицу в ячейках (N35:O36).Для этого выделяем ячейки (N35:O36). В ячейку N35 введем формулу =МОБР(N28:O29). Набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. 2. Выделяем ячейки (R30:R31).В ячейку R30 введем формулу =МУМНОЖ(N35:O36; N32:N33). Набираем комбинацию Ctrl+Shift+Enter. Уравнение линейной аппроксимации имеет следующий вид: y= 4,7348+0,9809 x 3) Составим и решим систему для вычисления параметров квадратичной аппроксимации (таблица 4.3) Таблица 4.3 – Вычисления параметров квадратичной аппроксимации Уравнение квадратичной аппроксимации имеет следующий вид: y = 4,4767+1,1636х- 0,019x2 4) Составим и решим систему для вычисления параметров экспоненциальной аппроксимации (таблица 4.4) Таблица 4.4 – вычисления параметров экспоненциальной аппроксимации Найдем коэффициент с по формуле с=еа1,для этого в ячейку R90 введем формулу =EXP(R88) Уравнение экспоненциальной аппроксимации имеет вид: y = 4,903e0,119 ? Определение коэффициента корреляции и коэффициента детерминированности. Таблица 4.5 - Расчет остаточных и регрессионных сумм Пояснение о составлении таблицы 4.5: 1) Вычислим теоретические значения функции: 1. в ячейку L2 введем формулу =$G$28+$G$29*B2 2. в ячейку М2 введем формулу =$G$53+$G$54*B2+$G$55*D2 3. в ячейку N2 введем формулу =$H$86*EXP($H$85*B2) 4. копируем эти формулы в нижележащие ячейки 2) Вычисли остаточные суммы: 1. в ячейку P2 введем формулу =(C2-L2)^2 2. в ячейку Q2 введем формулу =(C2-M2)^2 3. в ячейку R2 введем формулу =(C2-N2)^2 4. копируем эти формулы в нижележащие ячейки 3) По выборочным данным находим выборочные средние и выборочные квадратичные отклонения X и Y, а также выборочный коэффициент корреляции, а именно здесь x , y - выборочные средние величин X, Y; ?х, ?у - выборочные квадратичные отклонения величин X, Y; r - выборочный коэффициент корреляции. Рисунок 4.6 – Вычисление среднего арифметического значения для x и y. Пояснения к рисунку 4.6: 1. в ячейку AC5 введем формулу =СРЗНАЧ(В2:В21) 2. в ячейку AC6 введем формулу =СРЗНАЧ(С2:С21) 3. в ячейку АС7 введем формулу =AC5*AC6 4. в ячейку АС8 введем формулу =AC5^2 5. в ячейку АС9 введем формулу =AC6^2 Таблица 4.7 – Вычисление остаточных сумм. (х-х ср)^2 (у-у ср)^2 х*у х*у-хср*уср 8,6937 1,8266 89,658 39,68 18,997 7,6812 118,78 68,806 21,331 31,153 149,41 99,433 0,0027 0,7031 45,224 -4,7538 9,725 9,3728 105,64 55,659 10,9 6,8565 12,995 -36,983 0,72 0,1307 60,416 10,438 22,958 6,5459 2,376 -47,602 7,8316 29,393 120,23 70,247 6,444 9,19 97,971 47,993 22,104 46,22 1,2432 -48,735 2,652 16,012 92,88 42,902 9,009 8,114 14,649 -35,329 2,8612 0,1034 34,574 -15,404 0,4469 0,4469 52,631 2,6529 1,6861 0,1433 60,22 10,241 21,916 38,67 1,5576 -48,421 4,8907 0,0251 27,936 -22,042 8,1311 14,429 13,529 -36,449 6,0442 0,9633 81,409 31,431 187,34 227,98 1183,3 183,77 ? (х-х ср)^2 (у-у ср)^2 ? х*у ? х*у-хср*уср Пояснение о составлении таблицы 4.7: 1. в ячейку W2 вводим формулу =(B2-$AC$5)^2 2. в ячейку Х2 вводим формулу =(C2-$AC$6)^2 3. в ячейку Y2 вводим формулу =B2*C2 4. в ячейку Z2 вводим формулу =Y2-$AC$7 5. копируем эти формулы в нижележащие ячейки 6. в ячейку W22 вводим формулу =СУММ(W2:W21) 7. копируем эту формулу в ячейки (Х2:Z2) Рисунок 4.8 – Вычисление выборочных квадратичных отклонений X и Y, а также выборочного коэффициента корреляции. Пояснение к рисунку 4.8: 1. в ячейку AC2 вводим формулу =КОРЕНЬ(0,05*W22) 2. в ячейку AD2 вводим формулу =КОРЕНЬ(0,05*X22) 3. в ячейку AE2 вводим формулу =(1/A23*Z22)/(AC2*AD2) Проверка коэффициента корреляции с помощью встроенной функции «=КОРРЕЛ» Для этого в ячейку AE5 вводим формулу =КОРРЕЛ(B2:B21;C2:C21) 1) Для оценки регрессионных сумм вычислим квадраты разностей теоритическими значениями наблюдаемой функции средним значением: 1. в ячейку S2 введем формулу =(L2-$AC$6)^2 2. в ячейку T2 введем формулу =(M2-$AC$6)^2 3. в ячейку U2 введем формулу =(N2-$AC$6)^2 4. копируем эти формулы в нижележащие ячейки 2) Для вычисления остаточных и регрессионных сумм: 1. в ячейку О22 вводим формулу =СУММ(O2:O21) 2. копируем эту формулу в ячейки (P22:U22) 3) Вычислим коэффициенты детерминированности: Рисунок 4.9 – Фрагмент рабочего листа с расчётами полной суммы и коэффициента детерминированности: 1) Для нахождения полной суммы: a) в ячейку W27 введем формулу =P22+S22 b) в ячейку W28 введем формулу =Q22+S22 c) в ячейку W29 введем формулу =R22+U22 1. в ячейку Х27 введем формулу =1-(P22/W27) 2. в ячейку Х28 введем формулу =1-(Q22/W28) 3. в ячейку Х29 введем формулу =1-(R22/W29) Таблица 4.10 – Результаты вычислений коэффициента корреляции и коэффициентов детерминированности Коэффициент корреляции 0,889 Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация) 0,791 Коэффициент детерминированности (квадратичная аппроксимация) 0,792 Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация) 0,796 Анализ результатов расчетов показывает, что экспоненциальная аппроксимация наилучшим образом показывает экспериментальные данные, так как имеет коэффициент детерминированности (0,796). Аппроксимация функции с помощью Excel (графический способ) Представим графическую интерпретацию полученных уравнений, сравнив их с эмпирическими данными.
Не смогли найти подходящую работу?
Вы можете заказать учебную работу от 100 рублей у наших авторов.
Оформите заказ и авторы начнут откликаться уже через 5 мин!
Служба поддержки сервиса
+7(499)346-70-08
Принимаем к оплате
Способы оплаты
© «Препод24»

Все права защищены

Разработка движка сайта

/slider/1.jpg /slider/2.jpg /slider/3.jpg /slider/4.jpg /slider/5.jpg