Математическая модель движения БПЛА
В работе рассматривается движение в вертикальной плоскости. Системы координат, которые применяются в дальнейших выводах представлены на рисунке 1.
Рис.1. Системы координат, используемые при разработке математической модели БПЛА
На летательный аппарат действуют сила тяжести, тяга двигателя, аэродинамические силы и силы, необходимые для управления. Эти силы определены как: mg, P, F_a. Силы, которые созданы для управления БПЛА более подробно рассмотрены далее.
Математическая модель БПЛА представляет собой системой линейных однородных дифференциальных уравнений 2 – ого порядка:
, (1)
где
- перемещение ЛА вдоль оси Х (по горизонтали) системы координат ;
– перемещение ЛА вдоль оси Y (по вертикали) системы координат ;
– угол разворота ЛА относительно оси Z (угол тангажа) системы координат ;
- масса БПЛА;
- момент инерции БПЛА относительно оси Z системы координат ;
- сумма сил, которые приложены к БПЛА, действующих вдоль оси X системы координат ;
- сумма сил, которые действуют вдоль оси Y системы координат ;
– сумма моментов, которые приложены к БПЛА относительно оси Z системы координат .
Детально распишем правую часть системы уравнений (1):
, (2)
где
- сила тяги БПЛА;
- сила аэродинамического сопротивления и подъёмная сила;
- сила на рулевой поверхности;
L1 – плечо силы
– сумма моментов, которые приложены к БПЛА относительно оси Z системы координат ;
момент, созданный аэродинамическими силами, которые приложены к фюзеляжу БПЛА;
Проекция аэродинамической силы на ось X выглядит следующим образом:
,
где
аэродинамический коэффициент лобового сопротивления;
плотность воздуха;
скорость полёта;
площадь аэродинамических поверхностей ЛА;
- коэффициент.
Рис.2. Схема действия аэродинамических сил на крыло
Проекция аэродинамической силы на ось y имеет следующий вид:
где
подъёмная сила крыла;
аэродинамическая сила, которая создана элеронами;
аэродинамический коэффициент крыла;
площадь крыльев;
? - угол поворота элерона;
аэродинамический коэффициент элерона;
площадь элеронов;
- коэффициент;
- коэффициент.
Рис.3. Схема действия моментов от аэродинамических сил
Сумма моментов корпуса рассчитывается согласно формуле:
где
момент аэродинамических сил, действующих на 1 часть корпуса ЛА;
момент аэродинамических сил, действующих на 2 часть корпуса ЛА;
угол тангажа;
плечо действия сил ;
– аэродинамические коэффициенты лобового сопротивления 1 и 2 – ой части фюзеляжа;
– площади 1 – ой и 2 – ой части корпуса соответственно;
– аэродинамический коэффициент, стабилизирующий БПЛА по углу .
Примем угол довольно малым ( <30°), тогда . Так же считаем, что в математической модели
После преобразования системы (2) выглядит следующим образом:
(3)
Основные формулы и расчеты описываются в приложении 1.
1.1 Приведение системы дифференциальных уравнений (1) к форме Коши
Преобразуем исходную систему (1). Для этого введем дополнительные переменные:
Тогда система (1) примет вид:
(4)
Система (4) является системой дифференциальных уравнений первого порядка.
1.2 Векторно-матричная форма модели БПЛА
Запишем систему уравнений (4) в векторно-матричном форме:
(5)
Учитывая выполнение условия: , формула (5) приобретет вид:
(6)
Таким образом, движение БПЛА можно рассматривать в виде уравнения в векторно-матричной форме, представленной ниже:
(7)
где,
- вектор состояния динамической системы;
- вектор управления;
Коэффициенты А1 (динамическая матрица системы) и B1 (матрица при управлении):
A1=
B1=
Размерность вектора X1 (6*1), вектора управления U1 (3*1).
Расчетная модель пространственного движения БПЛА
Математическая модель БПЛА представляет собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений 2 – ого порядка:
, (8)
где
- перемещение ЛА вдоль оси Z системы координат ;
– угол разворота ЛА относительно оси X (угол крена) системы координат ;
– угол разворота ЛА относительно оси У (угол рыскания) системы координат ;
- масса БПЛА;
- момент инерции БПЛА относительно оси Х системы координат ;
- момент инерции БПЛА относительно оси У системы координат ;
- сумма сил, приложенных к БПЛА, действующих вдоль оси Z системы координат ;
– сумма моментов, приложенных к БПЛА относительно оси X системы координат ;
– сумма моментов, которые приложены к БПЛА относительно оси У системы координат ;
Рис.4. Схема БПЛА, вид сверху
Рис.5. Схема БПЛА, вид по направлению полета
Детально распишем правую часть системы уравнений (8):
, (9)
где
- управляющая сила по оси z;
- управляющая сила по углу ? (крен);
- управляющая сила по углу ? (курс);
L2 – плечо силы
L3 – плечо силы
момент, который возникает из-за действия аэродинамических сил, создаваемыми крыльями ЛА;
момент, который возникает из-за действия аэродинамических сил, создаваемыми корпусом БПЛА;
Рис.6. Схема БПЛА, вид по направлению полета
Сумма моментов? M?_xkр рассчитывается по формуле:
M_xkр= M_(xkр 1)-M_(xkр 2)=1/2 ??V_x?^2 ?(L_кр1 C_(x 1) S_кр1-L_кр2 C_(x 2) S_кр2)??(K_? ) V_x ??K_? ?;
где,
M_хkр1- момент аэродинамических сил, которые действуют на 1 часть крыла БПЛА;
M_xkр2 - момент аэродинамических сил, которые действуют на 2 часть крыла БПЛА;
? - угол крена;
L_кр1,L_кр2 - плечо действия сил F_хkр1 и F_xkр2;
C_x1,C_x2 - аэродинамическая характеристика первой и второй части крыла;
S_кр1,S_кр2 - площадь частей 1 и 2;
K_? – коэффициент.
Полагаем, что угол ? достаточно мал (? <30°) тогда, cos ? ? 1. Так же предполагаем, что в математической модели V_x=V_(x const).
Рис.7. Схема БПЛА, вид сверху
Сумма моментов? M?_yk вычисляется по формуле:
M_yk= M_(yk 1)-M_(yk 2)=1/2 ??V_x?^2 ?(L_корп1 C_(x 1) S_к1-L_корп2 C_(x 2) S_к2)??(K_? ) V_x ??K_? ?;
где,
M_yk1- момент аэродинамических сил, воздействующих на 1 часть корпуса БПЛА
M_yk2 - момент аэродинамических сил, воздействующих на 2 часть корпуса БПЛА;
F_Zкорп1=1/2 ??V_x?^2 C_(x 1) S_к1 - аэродинамическая сила, которая возникает на первой части корпуса;
F_Zкорп2=1/2 ??V_x?^2 C_(x 2) S_к2 - аэродинамическая сила, возникающая на второй части корпуса;
? - угол курса (рыскания);
L_корп1,L_корп2 - плечо действия сил F_zk1 и F_zk2;
C_x1,C_x2 - аэродинамическая характеристика частей 1и 2 корпуса;
S_1,S_2 - площадь частей 1 и 2;
K_? – коэффициент.
Подразумеваем, что угол ? довольно мал (?<30°). Отсюда следует, что cos? ? 1. Так же предполагаем, что в математической модели V_x=V_(x const).
Поучаем преобразованную систему :
, (10)
Основные расчетные формулы и вычисления приведены в приложении 1.
2.1 Приведение системы дифференциальных уравнений (8) к форме Коши
Преобразуем систему (8). Для этого введем дополнительные переменные:
Тогда исходная система (8) примет следующий вид:
(11)
Система (11) представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка.
2.2 Векторно-матричная форма модели БПЛА
Преобразуем систему уравнений (13) в векторно-матричную форму:
(12)
Тогда, движение БПЛА запишется в виде уравнения в векторно-матричной форме:
(13)
где
- вектор состояния динамической системы;
- вектор управления;
Коэффициенты А2 (динамическая матрица системы) и B2 (матрица при управлении):
A2=
B2=
Размерность вектора X2 (6*1), вектора управления U2 (3*1).
2.3. Уравнение пространственного движения
Таким образом, в работе найдено уравнение движения в вертикальной плоскости (6). Присвоим элементам данного уравнения индекс 1:
(14)
Затем построена математическая модель поперечного движения (12). Присвоим элементам данного уравнения индекс 2.
(15)
Соединим эти два вида движений в одно уравнение. Тогда векторно-матричное уравнение пространственного движения примет вид:
(16)
Матрицы уравнения (16) состоят из матриц уравнений (14) и (15), полученных выше:
X=[¦(X_1@X_2 )], U=[¦(U_1@U_2 )], A=[¦(A_1&0@0&A_2 )], B=[¦(B_1&0@0&B_2 )].
3. Формирование оптимального управления
Итак, векторно-матричное уравнение движения БПЛА представлено в виде:
Неоходимо подобрать такое управление, которое будет обеспечивать , где
Для синтеза оптимального регуляторов линейных стационарных систем в Matlab в блоке ControlSystemToolbox есть функция , вычисляющая оптимальную матрицу коэффициентов регулирования c квадратичным функционалом качества:
J=?_0^(t_k)-{X^T QX+U^T RU}dt,
здесь - квадратичный критерий качества, и - квадратные весовые матрицы, Q - неотрицательно определенная симметрическая матрица размера (n*n), R - положительно определенная симметрическая матрица (q*q).
