ГЛАВА 1. Теоретические основы формирования логических универсальных учебных действий у учащихся начальных классов в процессе пропедевтики понятия функции
1.1 Понятие логических учебных действий, их классификация, этапы формирования
В современных образовательных стандартах (ФГОС НОО) существенно изменились подходы к требованиям и результатам обучения. В настоящее время образование отходит от фактической оценки знаний, умений и навыков. Приоритетная задача начального образования трансформируется в необходимость развития системы универсальных учебных действий, позволяющих учащимся успешно добывать, анализировать и применять в разных ситуациях учебную информацию. В отношении раздела «Математика и информатика» на первый план выходит «умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные» [45].
Другими словами, основной целью образования на сегодня является не передача знаний ,умений и навыков, а формирование учебных и личностных компетенций, а также – универсальных учебных действий школьников.
Универсальные учебные действия (УУД) – это совокупность различных способов действий учащихся, обеспечивающих способность детей к самостоятельному усвоению новых знаний, умений, понятий, закономерностей и т.д. [23]
Универсальные учебные действия открывают школьникам возможность широкой ориентации в различных предметных областях, а также – в построении алгоритма самой учебной деятельности, включающей осознание ее целей, ценностно-смысловых и операциональных характеристик.
К основным функциям УУД можно отнести:
- обеспечение учащимся возможностей самостоятельно осуществлять познавательную деятельность, ставить цели, искать необходимые средства и способы их достижения, контролировать процесс и результаты деятельности;
- создание условий для гармоничного развития личности школьника и ее самореализации на основе готовности к непрерывному образованию;
- обеспечение успешного формирования компетентностей в любой предметной области, а также – в личностной сфере [46].
Учебные достижения рассматриваются в педагогическом процессе с разных позиций:
- как процесс продвижения школьника к поставленной учебной цели и как результат, полученный в ходе обучения;
- как процесс, в основе которого находятся познавательные потребности учащихся;
- как объективный и субъективный результат.
Причем, учащийся на сегодняшний день рассматривается именно как субъект образовательной деятельности, потому педагогу важно добиваться значимого роста достижений школьников посредством организации самостоятельного овладения основными понятиями.
Учебные достижения младших школьников, как отмечают В. В. Давыдов, Г. А. Цукерман, Д. Б. Эльконин и другие ученые, характеризуются их возрастными особенностями.
В младшем школьном возрасте происходит систематическое накопление знаний, развитие основных психических процессов. Усвоение основ наук расширяет кругозор учащихся, развивает мышление, формирует основы мировоззрения.
Данный возраст является определяющим для развития основных мыслительных действий и приемов: анализа, сравнения, выделения главного, обобщения, установления причинно-следственных связей и др. Однако, процесс формирования познавательной активности находится у младших школьников в начале становления. Это обусловливает тот факт, что получаемые на уроках знания оказываются неполными, неточными или даже ошибочными. Этот факт существенно осложняет процесс обучения, снижает его эффективность [12].
В младшем школьном возрасте происходят изменения в характере внимания: вдвое увеличивается объем, повышается устойчивость, развиваются навыки переключения и распределения внимания.
С позиций повышения эффективности восприятия, запоминания и понимания изучаемых понятий и явлений, следует выделить основные виды продуктивной деятельности младшего школьника:
- группировка объектов или событий,
- выделение главного,
- составление плана,
- определение структурных компонентов,
- составление схем,
- установление аналогий,
- мнемотехнические приемы,
- перекодирование,
- достраивание запоминаемого материала,
- серийная организация ассоциации,
- повторение изученного.
Налаженная система контроля помогает учащемуся стать равноправным субъектом обучения. У школьников появляется готовность и стремление к проверке своих знаний, к выяснению пробелов и проблем, вырабатывается способность к рефлексии, что существенно оптимизирует процесс формирования универсальных учебных действий.
Рассмотрим определение логических универсальных учебных действий, которое дает нам Федеральный государственный образовательный стандарт.
Логические универсальные учебные действия - овладения действиями сравнения, анализа, синтеза, обобщения, классификации по родовидовым признакам, установление аналогий и причинно - следственных связей, построение рассуждений, отнесения к известным понятиям [15].
А.Г. Асмолов утверждает что «Логические универсальные учебные действия являются частью познавательных универсальных учебных действий и направлены на формирование: анализа, синтеза, сравнения, классификации, установление причинно - следственных связей, представление цепочек объектов и явлений; построение логической цепочки рассуждений, анализ истинности утверждений, доказательство, выдвижение гипотез и их обоснование» [1].
В нашей работе мы будем использовать определение понятия логических универсальных учебных действий записанное в Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования.
Разберем подробнее умения, которые вытекают из определения логических универсальных учебных действий.
Умение сравнивать - это умение устанавливать черты сходства (сопоставлять) и различия (противопоставлять). Особую роль в организации продуктивной деятельности младших школьников в процессе обучения математике играет сравнение. Целесообразно, например, ориентироваться на такие этапы:
· выделение признаков или свойств одного объекта;
· установления сходства и различия между признаками двух объектов;
· выявление сходства между признаками трех, четырех или более объектов.
Так как работу по формированию у детей логического умения сравнения лучше начать с первых уроков математики, то в качестве объектов можно сначала использовать предметы или картинки с изображением предметов, хорошо им знакомых, в которых могут выделить те или иные признаки, опираясь на имеющиеся у них представления;
Умение анализировать позволяет разделить целое на части и детально исследовать его каждое составляющее. Умение синтезировать - это умение объединять выделенные анализом компоненты целого. Анализ и синтез всегда взаимосвязаны. Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств. Синтез - это соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое. B мыслительной деятельности человека анализ, синтез дополняют друг друга, так как анализ осуществляется через синтез, синтез - через анализ. Способность к аналитико - синтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и в умении включать их в новые связи, увидеть их новые функцию;
Умение обобщать - это умение выражать основные результаты в общем положении, делать вывод, придавать общее значение чему-либо. Обобщение - мыслительный процесс, который приводит к нахождению общего в заданных предметах и явлениях. Выделение существенных признаков математических объектов, их свойства и отношений - основная характеристика такого умения умственных действий, как обобщение.
Умение классифицировать - это умение распределять какие-либо объекты по классам, отделам, разрядам в зависимости от их общих признаков. Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходства и различие - основа приема классификации. Из курса математики известно, что при разбиении множества на классы необходимо выполнять следующие условия: 1. Ни одно из подмножеств не пусто. 2. Подмножество попарно не пересекаются. 3. Объединение всех подмножеств составляет данное множество. Предлагая детям задания на классификацию эти условия необходимо учитывать. Так же, как при формировании сравнения, дети сначала выполняют задание на классификацию хорошо знакомых предметов и геометрических фигур.
Умение проводить аналогии - это умение находить сходство, в каком либо отношении между предметами, явлениями или понятиями. Понятие «аналогичный» в переводе с греческого языка означает «сходный», «соответственный», понятие аналогия - сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий. В процессе обучении математике учитель довольно часто говорит детям: «Сделайте по аналогии» или «Это аналогичное задание». Обычно такие указания даются с целью закрепления тех или иных действий.
Умение обосновывать -- это приводить убедительные аргументы, или доводы, в силу которых, следует принять какое - либо утверждение. Непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способность обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. В практике эту способность обычно связывают с умение рассуждать, доказывать свою точку зрения [8].
Математика является полигоном для освоения логических универсальных учебных действий, которые являются частью познавательных универсальных учебных действий.
Формирование логических универсальных учебных действий напрямую зависит от того, каким образом выстроен образовательный процесс и организована учебная деятельность в классе. Для того, чтобы наиболее продуктивно формировать логические универсальные учебные действия на уроках математики необходимо следовать следующим методическим рекомендациям:
- целенаправленное использование заданий на формирование логических универсальных учебных действий;
- разнообразие заданий и их формулировок: необходимо избегать однотипности для формирования интереса и стимулирования активности детей;
- использование комплексных и многовариантных заданий, что обеспечивает активную мыслительную деятельность учащихся и тем самым осуществляет формирование логических универсальных учебных действий [4].
В начальной школе закладываются основы функциональной грамотности обучающихся. К задачам обучения на данном этапе относятся:
- овладение основными умениями и навыками общения и учебного труда,
- приобщение к отечественной и мировой культуре,
- создание базы для последующего освоения образовательных программ основной школы [30].
Таким образом, именно в данном возрасте формирование логических УУД является наиболее актуальным, эффективным и перспективным для дальнейшего развития познавательной сферы школьника.
В системе логических универсальных учебных действий, согласно ФГОС выделяют:
- анализ объектов с целью выделения существенных признаков
- синтез, или способность к составлению единого целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;
- выбор оснований и критериев для сравнения и классификации объектов;
- подведение основ под понятие, выведение следствий;
- установление причинно-следственных связей;
- построение логической цепи рассуждений;
- доказательство;
- выдвижение гипотез и их обоснование.
Постановка и решение проблемы из позиции логических УУД предполагает:
- формулирование проблемы;
- самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.
Основную дидактическую идею математического образования в начальной школе можно выразить формулой: «через рассмотрение частного к пониманию общего для решения частного». При этом ученик должен стремиться постичь суть предмета через естественную связь курса математики с окружающим миром. Другими словами, «знакомство с математическим понятием осуществляется при рассмотрении конкретной учебной ситуации, соответствующий анализ которой позволяет обратить внимание ученика на суть данного математического понятия. В свою очередь, такая акцентуация дает возможность добиться необходимого уровня обобщений без многочисленного рассмотрения частностей. Наконец, понимание общих закономерностей и знание общих приемов решения открывает ученику путь к выполнению данного конкретного задания даже в том случае, когда с такого типа заданиями ему не приходилось еще сталкиваться» [51].
Учебная дисциплина математика предоставляет большие возможности для развития логических универсальных учебных действий школьников. Программный материал данного предмета характеризуется высоким уровнем абстракции. Чаще всего математические понятия фиксируют лишь формы и отношения между предметами. Для решения же задач необходимо провести анализ системы понятий, сделать выводы, подобрать необходимый, более подходящий алгоритм, составить план действий и проч. То есть, применить методы логической оценки и формулирования выводов..
Сами математические понятия также характеризуются высокой степенью обобщенности и компактности, что дает возможность достаточно быстро усвоить их и перенести на уровень задач повседневной жизни и других предметных дисциплин. В то же время, подобный перевод нередко вызывает трудности для самостоятельного осмысления учащимися, что не позволяет им приводить конкретные примеры и использовать их в рассуждениях. Чтобы выделить количественные отношения и конкретные пространственные формы, необходимо применить ряд последовательных ступеней обобщения [4].
Формирование логических УУД необходимо начинать именно в начальной школе – не уровне установления простейших связей между предметами, нахождения сходства и отличия, понимания формы и размера предметов. Если эти связи осмыслены на достаточном уровне – то к переходу в среднее звено школы и началу изучения первичных основ геометрии с ее теоремами и доказательствами, ученик уже сможет легче ориентироваться в заданиях более высокого уровня.
1.2 Функциональная пропедевтика в курсе математики начальной школы
Пропедевтика (от др.-греч.-- предварительно обучаю) -- введение в какую-либо науку или искусство, сокращенное систематическое изложение науки или искусства в элементарной форме, приготовительный (предварительный, вводный) курс, предшествующий более глубокому изучению предмета. Пропедевтикой называется совокупность сведений и знаний, которыми необходимо запастись до начала какого-нибудь научного или специального занятия. Проблема пропедевтики основных понятий математики возникает при обнаружении определенных трудностей в их формировании в систематическом курсе. Ее можно осуществлять непрерывным образом, через основное содержание учебного материала предыдущих курсов. В этой связи возникает вопрос об организации учебной работы на основе содержания математического образования на каждой ступени, одним из условий ее осуществления является наличие содержательно-логических линий в предметном курсе. Проблема логической цельности школьной математики имеет вековую историю: в начале ХХ века определилась тенденция к алгебраизации курса, и ныне в основе преподавания лежит функциональный подход.
Понятие функциональной зависимости является одним из ведущих в математической науке, поэтому сформированность этого понятия у учащихся представляет важную задачу в целенаправленной деятельности учителя по развитию математического мышления и творческой активности детей. Развитие функционального мышления предполагает прежде всего развитие способности к обнаружению новых связей, овладению общими учебными приемами и умениями.
Пропедевтика функциональной зависимости способствует формированию мыслительных операций и воспитанию интеллектуальных качеств личности. Направления подобной работы выражаются в характере задач, предлагаемых учащимся. Материал начального математического курса содержит достаточное количество примеров, на которых можно разъяснить зависимость одной величины от другой. К ним, в частности, относятся: задачи на составление и решение уравнений, оптимизационные и комбинаторные задачи, задачи с величинами, находящимися в прямой и обратной зависимости, задачи с использованием таблиц, числовой оси и координатной плоскости.
Таким образом, на сегодняшний день особую актуальность приобретает необходимость совершенствования функциональной пропедевтики в младших классах и разработки конкретных методических указаний по осуществлению педагогического процесса в данной сфере.
Пропедевтика функциональной линии предваряет подготовку к изучению систематического курса математики средних и старших классах. Главной задачей пропедевтики понятия функции в младшей школе выступает развитие общих мыслительных умений:
- выделение признаков различия и сходства математических объектов;
- установление причинно-следственных связей,
- становление умений выделять главное и второстепенное свойство, подводить итог [34].
Новым в современной начальной школе является рассмотрение самого понятия функции, осознание основных ее свойств. Следует продемонстрировать учащимся, что функция обладает большими возможностями, позволяя увязать между собой многие разделы как самой математики, так и других школьных дисциплин, таких как естествознание, физика и т.д. [20]
При этом, следует учитывать, что, даже структурированного и систематизированного теоретического материала не достаточно для качественного овладения детьми младшего школьного возраста всеми особенностями понятия «функция». В связи с этим, пропедевтическая работа по созданию функциональной базы должна вестись через систему различных тренировочных упражнений, в основе которых лежит идея функциональной зависимости. Такая подача материала работа будет способствовать накоплению системы понятий и представлений о зависимостях между величинами и приобретению младшими школьниками опыта универсальных учебных действий, позволяющих сформировать правильные представления, помогающие дальнейшему образованию функциональных понятий и развитию системного функционального мышления.
Содержание курса математики в начальной школе позволяет формировать у учащихся представление об одной из важнейших математических идей – принципах соответствия величин. Так, при выполнении заданий на нахождение значений выражения, заполнении таблиц школьники устанавливают, что каждой паре чисел соответствует не более одного числа, полученного в результате выполнения определенного действия. Например, при вычитании числам 6 и 2 соответствует число 4, выражению 2 – 2 соответствует число 0, а выражение 3 – 5 невыполнимо на множестве целых неотрицательных чисел, и для него нет соответствующего значения. Чтобы дети научились осознавать подобную зависимость, необходимо учить их поэтапно самостоятельно анализировать содержимое таблиц, отвечая на вопросы:
- какие значения представлены в ячейках (целые или дробные, положительные или отрицательные);
- сколько значений может принимать каждое числовое выражение;
- зависит ли полученный результат от изменения одного из компонентов.
Научившись анализировать таблицы и определять единственно возможные соответствия, дети могут попробовать выполнить задание с использованием буквенных эквивалентов:
«В разности а – 12 подставь вместо а три числовых значения и вычисли значение выражения». Выполняя данное задание, учащиеся используют условие выполнимости вычитания на множестве целых неотрицательных чисел, подходя к азам определения функции [35].
Следует отметить, что в научной педагогической литературе приводятся различные понятия функции и описания ее содержательных линий.
Школьный курс математики во многом отражает рассмотрение исторических трансформаций данного понятия от классического к современному пониманию. Подобный подход предполагает повторение в обучении основных этапов, через которые это понятие прошло в науке. Однако, в современной школе рассматриваются только зависимости между числами и числовые функции.
Пропедевтический этап осуществляется в начальной школе. На данном этапе школьникам разъясняется принцип зависимости между величинами, осуществляется их знакомство с таблицами и диаграммами, отражающими функциональные зависимости [34].
К окончанию начальной школы дети уже могут решать задачи на основе связи между компонентами и результатами арифметических действий. При этом детей обучают действиям по алгоритму: сперва определяют, какое действие выполняется последним, затем – какой компонент действия содержит неизвестное, после чего выражают этот компонент через остальные.
В начальных классах школьники на уроках математики знакомятся с тремя способами задания функции:
- словесным,
- табличным,
- аналитическим.
Знакомство младших школьников с понятием функции стоит проводить не только при решении алгебраических выражений. При работе с геометрическими фигурами целесообразно планомерно использовать понятие функциональной зависимости. Такой зависимостью связано, множество многоугольников с множеством чисел, характеризующим количество углов или сторон в них. После введения буквенной символики появляется возможность задавать функциональные зависимости формулой, находить значения функции при заданных значениях переменной.
Понятие величины является одним из основных математических понятий. Оно немаловажно для формирования современных представлений о мире и практической деятельности, поэтому уже в начальной школе его следует изучать в более многостороннем и абстрагированном виде.
Сравнение величин производится с помощью измерения. При этом устанавливают соответствие: на сколько одна величина больше или меньше другой, а также – зависимость, например: как изменится длина стороны прямоугольника при увеличении второй стороны на 2 см.
Различают непосредственное и косвенное измерение.
При непосредственном измерении устанавливается равенство или неравенство однородных величин. Косвенным измерением величины называется отображение множества, являющегося областью определения величины, во множество действительных чисел таким образом, что, если дана величина а и выбрана единица величины е, то в результате измерения величины находится такое действительное число х, что а = х ? е. Число х называют численным значением величины а при единице измерения е.
Понятие величины в начальном курсе математики не определяется, то есть дается без определения. Данное понятие раскрывается на конкретных примерах и основывается на опыте учащегося. В освоении понятия величины можно выделить следующие этапы:
1) сравнение объектов непосредственными действиями и установление границ возможности использования таких приемов;
2) поиск опосредованного способа сравнения при выходе за эти границы;
3) выделение среди найденных опосредованных способов того, который связан с использованием произвольных мерок;
4) осознание основного правила использования мерок – необходимость использования одной и той же мерки при измерении сравниваемых объектов;
5) осознание удобства в использовании общепринятых единиц измерения величин и знакомство с ними;
6) знакомство с инструментами, предназначенными для измерения изучаемой величины общепринятыми единицами измерения, и (или) со способами косвенного определения величины [Давыдов].
При этом знакомые значения величин (рост, размер ручки и т.д.) дают возможность детям на основе непосредственного выполнения сравнений, а затем - на основе сравнений «на глаз» правильно оценивать значения величин при решении большего числа практических задач.
Следующим разделом пропедевтики понятия функции является введение в практику навыков работы с таблицами и графиками.
Система заданий, направленных на формирование умений работы с таблицами, должна включать задания, развивающие умения извлекать и анализировать информацию, представленную в таблице (умение читать), а также умение представлять необходимую информацию в виде таблицы.
Использование табличной формы позволяет расположить данные компактно, наглядно и рационально. За счёт чего облегчается их анализ, вскрываются те или иные характерные особенности изучаемых явлений: сходство и различие, взаимосвязь признаков и т. п. Это достигается тем, что внутри таблицы сведения располагаются рядами и столбцами, что дает возможность охватить их взглядом и сравнить между собой.
Таблицы могут быть сравнительными, обобщающими и тематическими: различия заключаются в графах. При работе с таблицами в начальной школе следует отметить, что в самом простом случае таблица делится на строки и столбцы. Обычно каждый столбец имеет название, которое указывается в первой строке таблицы. До выполнения заданий, в которых информация представлена в таблице, необходимо отработать умение ее читать. Это могут быть такие вопросы:
• как называется таблица; почему;
• какую информацию из нее можно извлечь;
• зачем нам таблица в задании;
• какая информация представлена в столбцах (диаграммы, таблицы), в строках;
• назовите, сколько строк в таблице; сколько столбцов;
• что представлено в столбцах, в строках (прочитай «входные» ячейки);
• какое значение у ячейки; какие данные в ней
