Войти в мой кабинет
Регистрация
ГОТОВЫЕ РАБОТЫ / РЕФЕРАТ, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Понятие и признаки подобия треугольников

gemsconslebria1971 190 руб. КУПИТЬ ЭТУ РАБОТУ
Страниц: 19 Заказ написания работы может стоить дешевле
Оригинальность: неизвестно После покупки вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100% с помощью сервиса
Размещено: 05.12.2018
Цель работы – рассмотреть нестандартные признаки подобия треугольников. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: ? описать преобразование подобия; ? определить понятие и признаки подобия треугольников; ? выявить способы применения подобия.
Введение

Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости. Таким образом, любой плоскостной многоугольник может быть разбит на треугольники. Подобными фигурами называются такие, которые могут быть переведены друг в друга путем умножения всех сторон на определенный коэффициент. При этом соответственные углы должны быть равны. Существуют такие фигуры, которые по некоторым свойствам могут быть отнесены к особым видам (равносторонние, равнобедренные, прямоугольные). Для утверждения, что такие треугольники подобны, необходимо выполнение меньшего количества условий. Чтобы определить, являются ли треугольники подобными, не обязательно знать длины всех сторон и градусные меры всех углов треугольников, это можно сделать проще, используя признаки подобия треугольников.
Содержание

Введение 3 1. Понятие и признаки подобия треугольников 4 2. Преобразование подобия 5 3. Способы применения подобия 7 Заключение 19 Список литературы 20
Список литературы

1. Артамонов, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: курс лекций для экономических специальностей / В.А. Артамонов. – М.: Дело АНХ, 2012. – 224 c. 2. Вестяк, А.В. Алгебра и аналитическая геометрия. В 2-х ч. / А.В. Вестяк. – Магадан: Магадан, 2012. – 1004 c. 3. Кармин, А.С. Курс математики для технических высших учебных заведений. Часть 1. Аналитическая геометрия. Пределы и ряды. Функции и производные. Линейная и вектор: Учебное пособие / А.С. Кармин. – СПб.: Лань, 2013. – 544 c. 4. Климов, А.С. Аналитическая геометрия. Лекции по геометрии. Часть I: Учебное пособие / А.С. Климов, Н.Е. Машнин. – СПб.: Лань П, 2016. – 416 c. 5. Соловьев, И.А. Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, производная и ее приложения: учебное пособие / И.А. Соловьев, В.В. Шевелев, А.В. Червяков и др. – СПб.: Лань, 2007. – 320 c.
Отрывок из работы

1. Понятие и признаки подобия треугольников Треугольники знакомы нам с детства. Более подробно мы узнали о них в курсе геометрии с 7 класса. Эта геометрическая фигура таит в себе много интересного и загадочного. С помощью треугольника можно решать много практических задач. Что такое подобные треугольники? Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон подобных треугольников [1]. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобных треугольников: 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. Подобие треугольников в жизни. Очень часто для применения подобия на местности, возникает необходимость построения. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог. ? 2. Преобразование подобия Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V-IV вв. До нашей эры трудами Гиппократа Хиосского, Архита Таренского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида, начинающейся следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны». Свойства подобных фигур издавна применяются на практике при составлении географических карт, планов и чертежей, при землемерных работах на местности [2]. Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y'фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k ? одно и то же для всех точек X, Y. Число k называетсякоэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением. Рис. 1. Преобразование фигуры F в фигуру F' Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ?. Запись F?F' читается так: «Фигура F подобна фигуреF'». Докажем, что если фигура F1 подобна фигуре F2, а фигура F2 подобна фигуре F3, то фигуры F1 и F3 подобны. Пусть Х1 и Y1 — две произвольные точки фигуры F1. Преобразование подобия, переводящее фигуру F1 в F2,переводит эти точки в точки Х2, Y2, для которых X2Y2 = k1X1Y1. Преобразование подобия, переводящее фигуру F2 в F3, переводит точки Х2, Y2 в точки Х3, Y3, для которыхX3Y3 = - k2X2Y2. Из равенств X2Y2=kX1Y1, X3Y3 = k2X2Y2 следует, что X3Y3 = k1k2X1Y1. А это значит, что преобразование фигуры F1 в F3, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F1 и F3 подобны, что и требовалось доказать [3]. В записи подобия треугольников: ?ABC??A1B1C1 – предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А1, В - в B1 и С – в С1. Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников ABC и А1В1С1 A= А1, В= В1, С= С1 ? 3. Способы применения подобия Подобие треугольников можно применять для разных целей. Например, для измерения высоты дерева. Измерение дерева Способ Фалеса. Самый легкий и самый древний способ – который греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и Фараон, собравшиеся у подножья высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывающего по тени высоту огромного сооружения. Фалес выбрал день, и час когда его тень ровнялась его росту, тогда и высота пирамиды должна соответствовать ее высоте [3]. Таким образом, можно измерить и высоту дерева. Но этот способ не всегда можно применить. Чтоб не дожидаться когда ваша тень станет равна вашему росту можно поступить проще. А Рис. 1. Измерение дерева по способу Фалеса ? Измерить тень дерева и вашу собственную. Во сколько раз тень дерева больше вашей, значит во столько же раз дерево выше вашего роста. Из этого можем составить пропорцию (рис. 1): AB:ED=BC:EF Это вытекает из геометрического подобия треугольников АВС и DEF. Но этим способом мы получаем не совсем точные результаты. С помощью равнобедренного треугольника. Вполне возможно обойтись при измерении высоты и без тени. Мы можем воспользоваться свойством равнобедренного прямоугольного треугольника. Для этого надо изготовить один простой прибор, его можно изготовить из дощечки и двух булавок (рис. 2). Рис. 2. Способ 2 На дощечке любой формы намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника. В них втыкается по булавке. К верхней булавке привязывается ниточка с грузиком. Приближаясь к дереву или отдаляясь от него вы всегда найдете такое место А (рис. 3), из которого, глядя на булавки E и F, увидите, что они покрывают верхушку С дерева: это значит что продолжение гипотенузы E F проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние ЕВ равно СВ, так как угол Е=В [4]. Рис. 3. Способ 3 Следовательно, измерив, расстояние ЕВ и прибавив OB, т. е. возвышение АЕ глаза над землей, получите искомую высоту дерева. Карманная записная книжка. Рис. 4. Способ 4 Можно измерить высоту дерева с помощью записной книжки, если она снабжена карандашом, всунутым в чехлик или петельку при книжке. Она поможет построить вам в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается искомая высота. Книжку надо держать возле глаза так, как показано на (рис. 4) [5]. Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигаться над верхним обрезом книжки на столько, чтобы глядя из точки Е, видеть вершину В дерева покрытой кончиком О карандаша. Тогда вследствие подобия треугольников ECB и EFO. Высота ВС определится из пропорции: BC:OF=EC:FE. К полученному расстоянию ВС нужно прибавить еще длину СD, т. е. – на ровном месте высоту глаза над почвой. Не приближаясь к дереву.
Не смогли найти подходящую работу?
Вы можете заказать учебную работу от 100 рублей у наших авторов.
Оформите заказ и авторы начнут откликаться уже через 5 мин!
Похожие работы
Служба поддержки сервиса
+7(499)346-70-08
Принимаем к оплате
Способы оплаты
© «Препод24»

Все права защищены

Разработка движка сайта

/slider/1.jpg /slider/2.jpg /slider/3.jpg /slider/4.jpg /slider/5.jpg