Войти в мой кабинет
Регистрация
ГОТОВЫЕ РАБОТЫ / ДИПЛОМНАЯ РАБОТА, ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТИПА

ang_not 240 руб. КУПИТЬ ЭТУ РАБОТУ
Страниц: 45 Заказ написания работы может стоить дешевле
Оригинальность: неизвестно После покупки вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100% с помощью сервиса
Размещено: 07.09.2018
Решение дифференциальных уравнений предполагает систематизированные методы и способы решения определенных видов ДУ в зависимости от области применения, степени сложности, решаемости. В данной работе рассматривается ДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами, решение которого сводится к формуле Лиувилля-Остроградского. Единственный способ решения данного вида ДУ основывается на методе нахождения частного решения путем подбора, поэтому список способов нахождения ограничен.
Введение

В математической практике известны сотни различных методов решения дифференциальных уравнений n-го порядка. Все они когда-то были доказаны и по сей день используются в различных сферах наук: не только в математике, но и в физике, биологии, экономике, системном анализе и других науках и сферах деятельности человека. Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени. Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость – производная от расстояния; аналогично, ускорение – производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем) [1, с.1]. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и, особенно, для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений. В данной работе рассматривается ДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами, решение которого сводится к одной единственной формуле – формула Лиувилля-Остроградского. Первое частное решение, как правило, находится путем побора, поэтому список способов нахождения довольно ограничен. По этой причине, в работе рассмотрен новый способ нахождения первого частного решения для ДУ 2-го порядка, являющийся альтернативным методу, основанному на формуле Лиувилля-Остроградского.
Содержание

ВВЕДЕНИЕ 5 1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 2-ГО ПОРЯДКА 6 1.1 Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка 6 1.2 Определитель Вронского 8 2 ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА 10 2.1 Структура общего решения ЛОДУ 2-го порядка 10 2.2 Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами 13 2.3 Линейное однородное уравнение с переменными коэффициентами. Определитель Вронского. 14 2.4 Фундаментальная система решений 16 2.6 Формула Лиувилля-Остроградского 16 3 УРАВНЕНИЕ РИКАТТИ 20 3.1 Существование и единственность решения задачи Коши 20 3.2 Структура общего уравнения Рикатти 22 3.3 Определение отражающей функции.Свойства. 24 4 ПРАКТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДУ 2-ГО ПОРЯДКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ В ВИДЕ y= e^?-?p(x)dx?. 35 4.1 Общий вид нахождения частных решений 37 4.2 Алгоритм нахождения частного решения 40 5 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ 41 Заключение 44 Список используемой литературы 45
Список литературы

1. Бушуев Е.Е., Беринцев М.М. Решение дифференциальных уравнений и их применение в различных областях науки/ Е.Е. Бушуев, М.М. Беринцев. – г.Пермь: МОУ «Лицей №1» г. Перми, 2003. – 15с. 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://life-prog.ru/2_6730_differentsialnie-uravneniya--go-poryadka.html (дата обращения: 11.05.2017) 3. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.studfiles.ru/preview/1801777/page:2/ (дата обращения: 11.05.2017) 4. Определитель Вронского. Линейная зависимость и независимость функций. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.studfiles.ru/preview/869220/page:2/ (дата обращения: 12.05.2017) 5. Теория линейных уравнений. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/lindu/lindu.htm (дата обращения: 16.05.2017) 6. Формула Лиувилля-Остроградского. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://scask.ru/lect_tust.php?id=19 (дата обращения: 16.05.2017) 7. Определитель Вронского [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://referatwork.ru/category/matematika/view/146815_opredelitel_vronskogo (дата обращения: 24.05.2017) 8. Дифференциальные уравнения, опускающие понижение порядка [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_dopuskajushie_ponizhenie_poryadka.html (дата обращения: 22.05.2017) 9. Методы понижения порядка уравнения. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_dopuskajushie_ponizhenie_poryadka.html (дата обращения: 24.05.2017) 10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://studopedia.ru/1_89048_lineynie-odnorodnie-differentsialnie-uravneniya-vtorogo-poryadka-s-postoyannimi-koeffitsientami.html (дата обращения: 25.05.2017) 11. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.studfiles.ru/preview/5405637/page:2/ (дата обращения: 27.05.2017) 12. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.math24.ru/однородные-дифференциальные-уравнения-второго-порядка-с-переменными-коэффициентами.html (дата обращения: 21.05.2017) 13. Определитель Вронского (вронскиан). [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://math1.ru/education/lin_funcs/vronskian.html (дата обращения: 23.05.2017) 14. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения / С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова.- М.: изд-во МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2004.- 132с. 15. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.mathprofi.ru/odnorodnye_sistemy_lineinyh_uravnenij.html (дата обращения: 23.05.2017) 16. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.math24.ru/однородные-дифференциальные-уравнения-второго-порядка-с-переменными-коэффициентами.html (дата обращения: 10.06.2017) 17. Дифференциальные уравнения. Основы теории. Методы решения задач [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://kpfu.ru/docs/F931321200/kiyasov_shurygin.pdf (дата обращения: 17.05.2017) 18. Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядк. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/pervogo-poryadka/teorema-sushchestvovaniya/ (дата обращения: 12.06.2017) 19. Уравнение Рикатти. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.math24.ru/.html (дата обращения: 03.06.2017) 20. Общее уравнение Рикатти. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.math24.ru/уравнение-риккати.html (дата обращения: 13.06.2017) 21. Нестационарное уравнене Рикатти. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://diplomba.ru/work/128929 (дата обращения: 13.06.2017) 22. Уравнение Рикатти с производной дробного переменного порядка [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.eduherald.ru/ru/article/view?id=16889 (дата обращения: 16.05.2017) 23. Отражающая функция уравнения Рикатти. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://knowledge.allbest.ru/mathematics/3c0a65625a3ac79a5d53a88421316c37_0.html#text (дата обращения: 16.06.2017) 24. Аксёнов А.П. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие / А.П. Аксёнов. - СПб.: изд-во СПбГТУ, 1998. - 124 с. 25. Гончар А.В. Практикум по дифференциальным уравнениям/ А.В. Гончар.- Нижний Новгород. 2004.- 130c. 26. Пособие "Control System Toolbox". Синтез оптимального управления с полной обратной связью. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/controlsystem/book1/5.php (дата обращения: 11.05.2017) 27. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач / М.А. Алексидзе.- М.: изд-во НАУКА, 1991.- 352с. 28. Зингер А.А., Зингер В.А., Сирота Ю.Н. Высшая математика: учебно-методическое пособие. Дифференциальные уравнения первого порядка/ А.А. Зингер, В.А. Зингер, Ю.Н. Сирота.- СПб.: СГУАП, 2005.- 156с.
Отрывок из работы

1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 2-ГО ПОРЯДКА 1.1 Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет следующий вид: , (1.1.1) где , , и – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a0(x) ? 0, производится деление (1.1.1) на и после того, как введены новые обозначения для коэффициентов, записывается уравнение в следующем виде: (1.1.2) Уравнение (1.1.2) имеет единственное решение, которое удовлетворяет любым начальным условиям , , если на промежутке функции , и являются непрерывными. Если , то уравнение (1.1.2) называется однородным и неоднородным в противном случае. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка: 1. Линейной совокупностью функций является выражение , где – произвольные константы. Теорема: Если и – решение линейного однородного дифференциального уравнения: , (1.1.3) то линейная совокупность будет решением этого уравнения. Доказательство: Производится подстановка общего решения в (1.1.3), в результате чего получается следующее тождество: . После группировки слагаемых получается: . Так как функции и являются решениями уравнения (1.1.3), то каждая из скобок в полученном уравнении тождественно равна нулю, что и требовалось доказать. [2] Следствие 1. Из доказанной теоремы при вытекает, что если – решение уравнения (1.1.3), то тоже является решением этого уравнения. Следствие 2. Считая, что , видно, что сумма двух решений линейного однородного дифференциального уравнения также является решением этого уравнения. [3] 1.2 Определитель Вронского Система функций является линейно независимой на некотором промежутке, если ни одна из этих функций не может быть представлена в виде линейной комбинации всех остальных функций [4].
Не смогли найти подходящую работу?
Вы можете заказать учебную работу от 100 рублей у наших авторов.
Оформите заказ и авторы начнут откликаться уже через 5 мин!
Похожие работы
Служба поддержки сервиса
+7(499)346-70-08
Принимаем к оплате
Способы оплаты
© «Препод24»

Все права защищены

Разработка движка сайта

/slider/1.jpg /slider/2.jpg /slider/3.jpg /slider/4.jpg /slider/5.jpg